高中数学第二章随机变量及其分布2.4第2课时正态分布的应用学案新人教A版.docx

24 第二课时 正态分布的应用一、课前准备1课时目标(1) 能熟练的应用正态曲线的特点求概率；(2) 能利用3原则解决实际问题；2基础预探1若X，则对于任何实数0，概率_即为直线与正态曲线和轴所围成的图形的面积.2.几个特殊结论：_，_.3.由于正态总体几乎总取值于区间_之内，而在此区间以外的取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取_之间的值，并简称之为3原则.二、学习引领一、小概率事件原理如果一个事件的发生的概率小于，那么这样的事件我们称为小概率事件对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均试验次，才可能发生一次所以认为在一次试验中，该事件几乎不可能发生的这里“几乎不可能发生”是针对一次试验说的，如对于一般人来说，发生车祸是一个小概率事件，但是对于整天开车的司机来说，这个事件发生的概率就不同了，因为司机可以看作是大量重复这些试验，使得概率值变大，从而不再是小概率事件当然，运用小概率事件几乎不可能发生原理进行推断时，我们也有犯错误的可能性二、3原则概率对于固定的而言，该面积随着的减少而变大.这说明越小，X落在区间的概率越大，即随机变量在附近取值的概率很大,在离很远处取值很小.随机变量X的取值落在区间()上的概率值约为68.3%,落在区间()上的概率值约为95.4%,落在区间()上的概率值约为99.7% .容易得出，它在之外取值的概率是0.3%.就是在大量重复实验中，平均抽取1000个落在这个区间外的零件仅有3个，我们可以认为个体在区间()之外的事几乎不可能发生的。如果发生，说明这是个体不再服从正态分布，就是生产发生了异常.三、典例导析题型一 3原则的应用例1 某砖瓦厂响应国家“建设绿色环保中国”号召，利用城市某种废弃物生产新型节能砖，其“抗断强度”X服从正态分布N(30，0.82)质检人员从该厂某天生产的1000块砖中随机地抽查一块，测得它的抗断强度为27.5公斤厘米2，你认为该厂这天生产的这批砖是否合格？思路导析：要知道这批砖是否合格，只需检查抽取的砖是否在3的区间内.解：由XN(30，0.82)可知X在（30-30.8，30+30.8）即（27.6，32.4）之外取值的概率只有0.0026.而27.5（27.6，32.4），说明在一次试验中出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此认为这批砖不合格.方法规律：本题是正态分布假设检验应用的一个实例，依据的准则是正态总体在区间之外取值的概率仅有，这一小概率事件几乎不可能发生来检验个别零件是在非正常状态下生产的变式训练：某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布，质检人员从该厂生产的100件零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7，则（ ）.A该厂生产的这批零件合格. B该厂生产的这批零件不合格.C该厂生产的这批零件50%合格. D无法判断.题型二 应用3原则的求值例2 设在一次满分150分数学考试中，某班学生的分数服从，这个班的学生共54人.求这个班在这次数学考试中及格（不小于90分）的人数和130分以上的人数.思路导析：和的概率值可由即通过对称得到，再乘以总人数即可得到在此范围内的人数.解：因为，所以，.所以的概率为.所以130分以上的人数为人.的概率为0.68260.15870.8413.所以及格的人数为人.归纳总结：本题充分利用在区间()上的概率值约为68.3%，通过构造得到题中需要的概率值，从而将问题解决。注意熟练记忆3原则的三个概率值的结论.变式训练：已知某地区计算机达标考试的成绩XN(60,82)（单位：分），此次考生共有1万人，估计在60分到68分之间约多少人？题型三 正态分布与二项分布的综合应用例3 已知测量误差（单位：cm），问必须进行多少次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10 cm的概率大于0.9？思路分析：由于每一次测量的结果只有绝对误差超过10和不超过10两种结果，所以独立重复测量的结果服从二项分布，所以可利用二项分布的相关知识解决.解：设表示N次测量中绝对误差不超过10 cm的次数，因为服从二项分布，即.其中又因为解得所以至少了三次测量才能使有一次测量的绝对误差不超过10 cm的概率大于0.9.规律总结：以正态分布为基础，综合二项分布的问题难度较大，处理时注意分清何时利用正态分布，何时利用二项分布.变式训练：生产工艺工程中产品的尺寸误差X(mm)N(0,1.52),如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5mm为合格品，求（1）X的概率密度函数；（2）生产的5件产品的合格率不小于80的概率.四、随堂练习1.某市中考语文考试的考生分数，则分数在70110分的考生占总考生数的百分比是( ).A31.7% B68.3% C95.4% D99.7%2.某厂生产的零件外直径XN(8.0，0.152),单位mm，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm，则可认为（ ）.A.上、 下午生产情况均为正常. B.上、 下午生产情况均为异常.C.上午生产情况正常，下午生产情况异常.D.上午生产情况异常，下午生产情况正常.3.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题不正确的是（ ）.A该市这次考试的数学平均成绩为80分；B分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；C分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；D该市这次考试的数学成绩标准差为10.4. 已知随机变量服从正态分布,则 .5.一批电阻的阻值X服从正态分布N(1000,)(单位).今从甲乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1011和982，可以认为 .(填写正确序号).甲乙两箱电阻均可出厂；甲乙两箱电阻均不可出厂；甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂；甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂.6.某灯管厂生产的新型节能灯管的使用寿命（使用时间：小时）为随机变量Y，已知YN(1000,302),要使灯管的平均寿命为1000小时的概率为99.74，问灯管的最低寿命应控制在多少小时以上？五、课后作业1.在一次环境保护知识测试中(满分为150分)中,某地区10000名志愿者的分数X服从正态分布,据统计,分数在110分以上的考生共有2514人,则分数在90分以上的志愿者的人数为（ ）. A.2514 B. 5028 C. 7486 D.86422. 已知某车间正常生产某种零件的尺寸满足正态分布，质量检验员随机抽查了10个零件，测量得到他们的尺寸如下：27.327.4927.5527.2327.4027.4627.3827.5827.5427.68，请你根据正态分布的3原则，帮助质量检验员确定（ ）. A.生产情况正常 B.生产情况异常C.部分零件生产正常，部分零件生产异常 D.偶尔异常，大部分时间正常3. 若正态总体的概率密度函数为，则正态总体在区间（1，4）内取值的概率为 .4. 华新机械厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布，现取1000个零件进行检验，则不属于区间(3，5)这个尺寸范围内的零件大约有_个?5. 有210名学生，在一次伦敦奥运会知识竞赛的预赛后，抽取了一个样本如下：成绩（分）12345678910人数分布0006152112330（1）求样本的知识竞赛平均成绩和标准差（精确到0.01）；（2）求总体服从正态分布，求正态曲线的近似方程；（3）若规定，预赛成绩在7.22分或7.22分以上的学生参加复赛，试估计有多少个学生可以进入复赛.6.某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1);第二条路较长不拥挤，X服从N(6,0.16).有一天她出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？参考答案24 第二课时 正态分布的应用2基础预探1. 2. 3. 三、典例导析例1变式训练答案：B解析： 由X服从正态分布，由正态分布性质可知，正态分布在之外的取值概率只有0.003，而.这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此认为这批零件不合格.例2 变式训练解：由题意=60，=8，因为=0.6826,所以，又此正态曲线关于x=60对称，所以=，从而估计在60分到68分之间约3413人.例3 变式训练解：（1）由题意知XN(0,1.52),即， 所以概率密度函数.（2）设Y表示5件产品中的合格品数，每件产品是合格品的概率为，P(|X|1.5)=P(-1.5X1.5)=0.6826，而YB(5,0.6826),合格率不小于80即Y50.8=4，所以P(Y4)=P(Y=4)+P(Y=5)=0.4927.四、随堂练习1.答案：C 解析： 因为XN( 90,100)，所以，则，分数在70110分的考生占总考生数的百分比是95.4%故选C2.答案：C 解析：根据3原则，在(8-30.15,8+30.15)即（7.55，8.45）之外时为异常.3.答案：B解析：因为u=80，所以A、D正确，根据原则知C正确4.答案：解析：服从正态分布，曲线关于对称，所以5.答案：解析：依据3原则，阻值应在（985，1015）内，982（985，1015），所以乙箱电阻不合格.6.解：因为，又YN(1000,302), 所以Y在（910，1090）内取值的概率为99.74，故最低寿命应控制在910小时以上. 五、课后作业1.答案：C解析：因为，所以，所以,故分数在90分以上的志愿者共有10000-2514=7486.2. 答案：B解析：有两个零件尺寸为27.23和尺寸27.68的两个零件，不落在区间（27.4530.05，27.4530.05）内，这些零件是在非正常状态下生产的.3.答案：0.997解析：，所以P=0.997.4.答案：3解：因为X，所以，所以，所以零件尺寸不属于（3，5）的概率为0.003，尺寸不属于（3，5）的零件有个5. 解：（1），所以，故样本的知识竞赛平均成绩为6分，标准差为1.22.（2）以，作为总体知识竞赛平均成