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布丰的投针试验公元1777年的一天,法国科学家布丰(DBuffon1707-1788)的家里宾客满堂,原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验的。试验开始,但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来,纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准备好的小针,这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布:“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧!不过,请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”客人们不知布丰先生要干什么,只好客随主意,一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了,把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着,如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后,布丰先生高声宣布:“先生们,我这里记录了诸位刚才的投针结果,共投针2212次,其中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数704的比值为3.142。”说到这里,布丰先生故意停了停,并对大家报以神秘的一笑,接着有意提高声调说:“先生们,这就是圆周率的近似值!”众宾哗然,一时议论纷纷,个个感到莫名其妙。“圆周率?这可是与圆半点也不沾边的呀!”布丰先生似乎猜透了大家的心思,得意洋洋地解释道:“诸位,这里用的是概率的原理,如果大家有耐心的话,再增加投针的次数,还能得到的更精确的近似值。不过,要想弄清其间的道理,只好请大家去看敝人的新作了。”说着布丰先生扬了扬自己手上的一本或然算术试验的书。在这种纷纭杂乱的场合出现,实在是出乎人们的意料,然而它却是千真万确的事实。由于投针试验的问题,是布丰先生最先提出的,所以数学史上就称它为布丰问题。布丰得出的一般结果是:如果纸上两平行线间相距为d,小针长为,投针的次数为n,所投的针当中与平行线相交的次数是m,那么当n相当大时有:在上面故事中,针长等于平行线距离d的一半,所以代入上面公式简化 我想,喜欢思考的读者,一定想知道布丰先生投针试验的原理,下面就是一个简单而巧妙的证明。找一根铁丝弯成一个圆圈,使其直径恰好等于平行线间的距离d。可以想象,对于这样的圆圈来说,不管怎么扔下,都将和平行线有两个交点。因此,如果圆圈扔下的次数为n次,那么相交的交点总数必为2n。现在设想把圆圈拉直,变成一条长为d的铁丝。显然,这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些,可能有4个交点、3个交点、2个交点、1个交点,甚至于都不相交。由于圆圈和直线的长度同为d,根据机会均等的原理,当它们投掷次数较多,且相等时,两者与平行线组交点的总数可望是一样的。这就是说,当长为d的铁丝扔下n次时,与平行线相交的交点总数应大致为2n。现在再来讨论铁丝长为的情形。当投掷次数n增大的时候,这种铁丝跟平行线相交的交点总数m应当与长度成正比,因而有:mk式中
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