2019届高考数学总复习模块七选考模块第22讲不等式选讲学案理.docx

第22讲不等式选讲1.2018全国卷设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若f(x)1,求a的取值范围.试做2.2018全国卷已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.试做3.2017全国卷已知a0,b0,a3+b3=2,证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.试做 (1)形如|x-a|+|x-b|c(或c)的不等式主要有两种解法:分段讨论法:利用绝对值内表达式对应方程的根,将数轴分为(-,a,(a,b,(b,+)(此处设a0).(1)当a=1时,解不等式f(x)x-1;(2)若关于x的不等式f(x)4有解,求a的取值范围.听课笔记 【考场点拨】(1)对于形如|f(x)|g(x)|的不等式,可利用不等式两边平方的技巧去掉绝对值;(2)对于形如|f(x)|g(x)|a,|f(x)|g(x)|a的不等式,通常利用“零点”分区间法去掉绝对值.【自我检测】设函数f(x)=|2x-7|+1.(1)求不等式f(x)x的解集;(2)若存在x使不等式f(x)-2|x-1|a成立,求实数a的取值范围.解答2不等式的证明2 已知a0,b0,且a2+b2=2.(1)若1a2+4b2|2x-1|-|x-1|恒成立,求x的取值范围;(2)证明:1a+1b(a5+b5)4.听课笔记 【考场点拨】(1)证明不等式的基本方法有综合法、分析法,也常用到基本不等式进行证明;(2)对于含有绝对值的不等式,在证明时常用到绝对值三角不等式;(3)对于含有根号的不等式,在证明时可用平方法(前提是不等式两边均为正数);(4)如果所证命题是否定性命题或唯一性命题,或以“至少”“至多”等方式给出,可以考虑反证法.【自我检测】已知关于x的不等式12x+m|x+2|的解集为R.(1)求实数m的值;(2)若a,b,c0,且a+b+c=m,求证:a+b+c3.解答3含绝对值不等式的恒成立问题3 已知函数f(x)=|x-2|+2|x-1|.(1)求不等式f(x)4的解集;(2)若不等式f(x)2m2-7m+4对任意xR恒成立,求实数m的取值范围.听课笔记 【考场点拨】利用绝对值不等式恒成立求参数的值或取值范围常用以下结论:若f(x)g(a)恒成立,则f(x)ming(a);若f(x)g(a)恒成立,则f(x)max0的解集;(2)若对于任意xR,不等式f(x)2恒成立,求m的取值范围.第22讲不等式选讲典型真题研析1.解:(1)当a=1时,f(x)=2x+4,x-1,2,-12.可得f(x)0的解集为x|-2x3.(2)f(x)1等价于|x+a|+|x-2|4.而|x+a|+|x-2|a+2|,且当x=2时等号成立,故f(x)1等价于|a+2|4.由|a+2|4可得a-6或a2,所以a的取值范围是(-,-62,+).2.解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,x-1,2x,-1x1的解集为xx12.(2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,|ax-1|1的解集为x0x2a,所以2a1,故0x-1即为|x-1|-|3x+2|x-1.当x1时,不等式可化为-2x-3x-1,解得x1矛盾,此时不等式无解;当-23x1时,不等式可化为-4x-1x-1,解得x0,所以-23x0;当xx-1,解得x-4,所以-4x-23.综上所述,不等式的解集为x|-4x0.(2)f(x)=2x+a+2,xa.因为函数f(x)在-,-23上单调递增,在-23,+上单调递减,所以当x=-23时,f(x)max=23+a.不等式f(x)4有解等价于f(x)max=23+a4,解得a103,故a的取值范围为103,+.【自我检测】解:(1)由f(x)x,得|2x-7|+1x,即|2x-7|x-1.当x1时,显然不成立.当x1时,两边平方得3x2-26x+480,即(x-6)(3x-8)0,解得83x6,综上得,不等式的解集为x83x6.(2)因为存在x使不等式|2x-7|-2|x-1|+1a成立,所以|2x-7|-2|x-1|+1的最小值小于等于a.又因为|2x-7|-2|x-1|+1=6,x1,-4x+10,1x72,-4,x72,所以a-4.解答2例2解:(1)设f(x)=|2x-1|-|x-1|,则f(x)=x,x1,3x-2,12x1,-x,x12.由a2+b2=2,得12(a2+b2)=1,所以1a2+4b2=121a2+4b2(a2+b2)=121+4+b2a2+4a2b2121+4+2b2a24a2b2=92,当且仅当a2=23,b2=43时等号成立,所以92|2x-1|-|x-1|.当x1时,得x92,所以1x92;当12x1时,得3x-292,解得x136,所以12x1;当x12时,得-x92,解得x-92,所以-92x12.综上可得-92x92.(2)证明:1a+1b(a5+b5)=a4+b4+b5a+a5b=(a2+b2)2+b5a+a5b-2a2b2(a2+b2)2+2b5aa5b-2a2b2=(a2+b2)2=4,当且仅当b5a=a5b,即a=b=1时等号成立.【自我检测】解:(1)12x+m|x+2|,12x+m2(x+2)2,整理得3x2+(16-4m)x+16-4m20.由题意得=(16-4m)2-43(16-4m2)0,整理得(m-1)20,m=1.(2)证明:a+b+c=1,a+b2ab,b+c2bc,c+a2ac,当且仅当a=b=c=13时等号都成立,ab+bc+aca+b+c=1.又(a+b+c)2=a+b+c+2ab+2bc+2ac,(a+b+c)23,a+b+c3.解答3例3解:(1)依题意得f(x)=|x-2|+2|x-1|=4-3x,x2.不等式f(x)4等价于x4或1x2,x4或x2,3x-44,解得x83,故所求解集为(-,0)83,+.(2)由(1)可得,当x=1时,f(x)取得最小值1.f(x)2m2-7m+4对任意xR恒成立,f(x)min2m2-7m+4,即2m2-7m+41,2m2-7m+30,解得12m3,实数m的取值范围是m|12m3.【自我检测】解:(1)|x+1|+|x-2|=-2x+1,x-1,3,-12.当m=5时,f(x)0等价于x-1,-2x+15或-15或x2,2x-15,解得x3,不等式f(x)0的解集为(-,-2)(3,+).(2)由题意知m|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立,又|x+1|+|x-2|-2|(x+1)-(x-2)|-2=1,m1,即m的取值范围是(-,1.备选理由 例1考查含参绝对值不等式的求解,解题时要对参数进行分类讨论,有利于学生进一步掌握去掉绝对值的原则;例2考查不等式的证明,需要采用反证法证明,难度不大,但思维含量较高;例3考查绝对值不等式恒成立问题,需要分类讨论去掉绝对值,涉及分类与整合思想,分离参数法,利用基本不等式及导数求最值等知识与思想方法, 综合性较大.例1配例1使用 已知函数f(x)=|2x+1|+|x-a|,aR.(1)当a=2时,解不等式f(x)4;(2)若不等式f(x)1的解集为非空集合,求a的取值范围.解:(1)当a=2时,原不等式即为|2x+1|+|x-2|4.当x-12时,原不等式为-2x-1-x+24,可得-1x-12;当-12x2时,原不等式为2x+1-x+24,可得-122时,原不等式为2x+1+x-24,可得x.综上可知,原不等式的解集是-1,1.(2)f(x)=|2x+1|+|x-a|,aR.当a=-12时,f(x)=32|2x+1|0,显然不等式f(x)-12时,易知当x=-12时,f(x)取得最小值a+12,即f(x)=|2x+1|+|x-a|a+12.欲使不等式f(x)1的解集为非空集合,则需a+121,-12a12.当a-12时,易知当x=-12时,f(x)取得最小值-a-12,即f(x)=|2x+1|+|x-a|-a-12.欲使不等式f(x)1的解集为非空集合,则需-a-121,-32a-12.综上可知,当-32a12时,不等式f(x)0,n0,求证:m+n2.解:(1)f(x)=|x+1|+|x-1|x+1-(x-1)|=2,当且仅当-1x1时取等号,所以f(x)min=2,即a=2.(2)证明:假设m+n2,则m2-n,则m3(2-n)3,所以m3+n3(2-n)3+n3=2+6(1-n)22.由(1)知a=2,所以m3+n3=2.矛盾,所以假设不成立,即m+n2.例3配例3使用 已知函数f(x)=|2x|+|2x+3|+m,mR.(1)当m=-2时,求不等式f(x)3的解集;(2)若对任意x(-,0),都有f(x)x+2x恒成立,求m的取值范围.解:(1)当m=-2时,f(x)=|2x|+|2x+3|-2=4x+1(x0),1-32x0,-4x-5x-32.当x0时,得4x+13,可