2018_2019学年高中数学第一章三角函数8函数y＝Asinωx＋φ的图像与性质二学案北师大版.docx

8函数yAsin(x)的图像与性质(二)内容要求1.掌握函数yAsin(x)的周期、单调性及最值的求法(重、难点).2.理解函数yAsin(x)的对称性(难点)知识点函数yAsin(x)(A0，0)的性质定义域R值域A，A周期T奇偶性k，kZ时，yAsin(x)是奇函数；k，kZ时，yAsin(x)是偶函数对称轴方程由xk(kZ)求得对称中心由xk(kZ)求得单调性递增区间由2kx2k(kZ)求得；递减区间由2kx2k(kZ)求得【预习评价】(1)函数y2sin(2x)1的最大值是()A1B2 C3D4解析当2x2k时，即xk(kZ)时最大值为3.答案C(2)函数f(x)sin的最小正周期为()A4 B2 C D.解析由题意T，故选C.答案C题型一函数yAsin(x)的最值问题【例1】求函数ysin，x的值域解0x，02x.2x.sin1.1sin，即1y.函数ysin，x的值域为1，规律方法求函数yAsin(x)，xm，n的值域的步骤：(1)换元，ux，并求u的取值范围；(2)作出ysin u(注意u的取值范围)的图像；(3)结合图像求出值域【训练1】求函数y2sin的最大值和最小值解x，02x，0sin1.当sin1时，ymax2；当sin0时，ymin0.方向1求函数yAsin(x)的周期【例21】求下列函数的周期：(1)ysin(xR)；(2)ysin(xR)解(1)T.(2)T4.方向2函数yAsin(x)的奇偶性与对称性【例22】(1)函数ysin的图像的对称轴方程为_，对称中心为_(2)若函数f(x)2sin是偶函数，则的值可以是()A. B. C.D解析(1)令y1，即sin1，则2xk(kZ)，x(kZ)，即对称轴方程为x(kZ)令y0，即sin0，则2xk(kZ)，x(kZ)，函数ysin的图像的对称中心为(kZ)(2)由f(x)2sin为偶函数得k(kZ)，即k.当k0时.故选A.答案(1)x(kZ)(kZ)(2)A方向3函数yAsin(x) 单调性【例23】求函数y2sin的递增区间解y2sin2sin，函数y2sin的递增区间就是函数u2sin的递减区间2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，函数y2sin的递增区间为：(kZ)规律方法1.关于函数yAsin(x)的对称性与奇偶性(1)将x看作整体，代入到ysin x的对称中心、对称轴的表达式可以求出函数yAsin(x)的对称中心、对称轴或求值(2)若函数yAsin(x)为奇函数，则k，kZ，若函数yAsin(x)为偶函数，则k，kZ，函数yAsin(x)的奇偶性实质是函数的对称中心、对称轴的特殊情况2求解函数yAsin(x)单调区间的四个步骤(1)将化为正值(2)根据A的符号确定应代入ysin 的单调增区间，还是单调减区间(3)将x看作一个整体，代入到上述的单调区间中解出x的范围即为函数在R上的单调区间(4)如果要求函数在给定区间上的单调区间，则给k赋值求单调区间题型三函数yAsin(x)性质的综合应用【例3】已知函数f(x)sin(x)(0,0)是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区间上是单调函数，求和的值解由f(x)是偶函数，得f(x)f(x)，即函数f(x)的图像关于y轴对称，f(x)在x0时取得最值即sin 1.依题设0，解得.由f(x)的图像关于点M对称，可知sin0，解得，kZ.又f(x)在0，上是单调函数，T，即，2.又0，当k1时，；当k2时，2.，2或.规律方法函数yAsin(x)综合应用的注意点(1)对于平移问题，应特别注意要提取x的系数，即将x变为后再观察x的变化(2)对于对称性、单调性问题应特别注意将x看作整体，代入一般表达式解出x的值(3)对于值域问题同样是将x看作整体，不同的是根据x的范围求x的范围，再依据图像求值域(4)对于奇偶性问题，由来确定，k(kZ)时是奇函数，k(kZ)时是偶函数【训练2】设函数f(x)sin(2x)(0)图像的一条对称轴是直线x.(1)求的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间解(1)x是函数f(x)sin(2x)的一条对称轴，2k，kZ.0，由此可得.(2)由题意，得2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，函数f(x)sin的单调递增区间为，kZ.课堂达标1函数y2sin1的图像的一个对称中心坐标是()A. B.C. D.解析3xk(kZ)，x(kZ)，令k0，则x，把x代入y2sin1，得y1，对称中心为.答案D2函数y3sin的单调递减区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析y3sin3sin，y3sin的递减区间就是ysin(3x)的递增区间由2k3x2k(kZ)得x(kZ)答案C3函数f(x)sincos的最大值为()A. B1 C. D.解析cos cossin，则f(x)sinsinsin，函数的最大值为.答案A4函数f(x)3sin的图像为C，下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的序号)图像C关于直线x对称；图像C关于点对称；函数f(x)在区间内是增函数；由y3sin 2x的图像向右平移个单位长度可以得到图像C.解析由于2，故正确由于2，故正确；由x得2x，故函数f(x)为增函数，故正确；将函数y3sin 2x的图像向右平移个单位长度可得函数y3sin23sin的图像，故不正确答案5已知函数f(x)2sin，xR.(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标；(2)求函数f(x)在区间0，上的最大值和最小值解(1)由2xk(kZ)得，x(kZ)所以函数f(x)的对称轴方程为x，kZ.由2xk得x(kZ)所以函数f(x)的对称中心为，kZ.(2)因为0x，所以2x，所以当2x，即x0时，f(x)取得最小值1；当2x，即x时，f(x)取得最大值2.课堂小结1对于yAsin(x)，其奇偶性可由决定，取不同值可得不同的奇偶性2求yAsin(x)的单调区间时，要注意的正负3yAsin(x)的对称中心实质上是其图像与x轴的交点，对称轴即过最高点或最低点且与x轴垂直的直线.基础过关1已知函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则该函数的图像()A关于点对称B关于直线x对称C关于点对称D关于直线x对称答案A2函数y2sin在一个周期内的三个“零点”横坐标是()A，B，C，D，解析由题x，时y2sin0，故A、C、D错答案B3已知函数f(x)sin，若存在(0，)，使得f(x)f(x3)恒成立，则的值是()A. B. C. D.解析f(x)sin，f(x3)sin，因为f(x)f(x3)且(0，)，所以2x22x6.所以.故选D.答案D4函数ysin，x的单调递增区间为_解析x，x，ysin x在上单调递增x.解得x.故填.答案，5函数y2sin的图像与x轴的交点中，与原点最近的一点坐标是_解析函数y2sin的图像与x轴相交4xk，x(kZ)当k1时，交点离原点最近坐标为.答案6已知函数f(x)2asinb的定义域为，值域为5,4，求常数a，b的值解f(x)2asinb，x，2x.sin.则当a0时，a3，b1.当a0时，a3，b2.7已知函数yAsin(x)(A0，0)的图像过点P，图像与P点最近的一个最高点坐标为.(1)求函数解析式；(2)指出函数的增区间；(3)求使y0的x的取值范围解(1)图像最高点坐标为，A5.，T.2.y5sin(2x)代入点，得sin1.2k，kZ.令k0，则，y5sin.(2)函数的增区间满足2k2x2k(kZ)，2k2x2k(kZ)kxk(kZ)增区间为(kZ)(3)5sin0，2k2x2k(kZ)kxk(kZ)能力提升8将函数y3sin的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数()A在区间上单调递减B在区间上单调递增C在区间上单调递减D在区间上单调递增解析由题可得平移后的函数为y3sin3sin，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，故该函数在(kZ)上单调递增，当k0时，选项B满足条件，故选B.答案B9设函数f(x)cos，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2 Byf(x)的图像关于直线x对称Cf(x)的一个零点为x Df(x)在单调递减解析函数f(x)cos的图像可由ycos x的图像向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先递减后递增，D选项错误答案D10为正实数，函数f(x)2sin x的周期不超过1，则的最小值是_解析由1，得2.即的最小值为2.答案211函数ysin与y轴最近的对称轴方程是_解析令2xk(kZ)，x(kZ)由k0，得x；由k1，得x.答案x12已知方程sink在x0，上有两个解，求实数k的范围解令y1sin，y2k，在同一坐标系内作出它们的图像(0x)，由图像可知，当1k时，直线y2k与曲线ysin在0x上有两个公共点，即当1k时，原方程有两个解13(选做题)已知函数f(x)Asin(x)与对数函数yg(x)在同一坐标系中的图像如图所示(1)分别写出两个函数的解析式；(2)方程f(x)g(x)共有多少个解？解(1)由图像知