2018_2019学年高中数学第二章平面向量7向量应用举例学案北师大版必修4.docx

7向量应用举例内容要求1.能运用向量的有关知识解决解析几何中直线方程的问题，以及在平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题(重点).2.能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等问题(难点)知识点1点到直线的距离公式及直线的法向量1点M(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.2(1)与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量(2)若直线l的方向向量v(B，A)，则直线l的法向量n(A，B)(3)设直线l的法向量n(A，B)，则与n同向的单位向量n0.【预习评价】1点P0(1,2)到直线l：2xy100的距离为_答案22直线2xy10的一个法向量是()A(2,1) B(1，2)C(1,2) D(2，1)答案D知识点2向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用【预习评价】1若向量(1,1)，(3，2)分别表示两个力F1，F2，则|F1F2|为()A(5,0) B(5,0)C. D答案C2已知F(2,3)作用一物体，使物体从A(2,0)移动到B(4，0)，则力F对物体作的功为_答案4方向1基底法解平面向量问题【例11】如右图，若D是ABC内的一点，且2222，求证：ADBC.证明设a，b，e，c，d，则aec，bed.a2b2(ec)2(ed)2c22ec2edd2.由已知a2b2c2d2，c22ec2edd2c2d2，e(cd)0.dc，e(dc)0，.即ADBC.方向2坐标法解决平面几何问题【例12】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值解如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系设A(2a,0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)，从而可求：(2a，a)，(a，2a)，不妨设、的夹角为，则cos .故所求钝角的余弦值为.方向3向量在平面几何中的综合应用【例13】如图所示，ABC三边长分别为a，b，c，PQ为以A为圆心，r为半径的圆的直径，试判断P、Q在什么位置时取得最大值解根据题意可以求得：，()()2r2()r2|cos BACr2bccosBACr2.当与同向时，最大值为|ra，即当与同向时，取得最大值bccosBACr2ar.规律方法用向量解平面几何问题的方法(1)基底法(基向量法)：选择两个不共线的向量作为基底，用基底表示有关向量，把问题转化为只含有基底向量的运算(2)坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化为向量的坐标运算题型二向量在解析几何中的应用【例2】已知直线l过点A(1,1)，且它的一个法向量为n(2，1)(1)求直线l的一般方程；(2)若与直线l垂直的直线l1经过点B(2,0)，求l1的一般方程解(1)直线l的一个法向量为n(2,1)，直线l的一个方向向量为v(1,2)直线l的斜率为2.直线l的点斜式方程为y12(x1)整理得2xy10.故直线l的一般方程为2xy10.(2)直线l1与l垂直，l1的一个方向向量v(2,1)直线l1的斜率为.直线l1的点斜式方程为y0(x2)整理得x2y20.故直线l1的一般方程为x2y20.规律方法1.已知直线的法向量n(a，b)，则其方向向量为m(b，a)，利用方向向量可求得直线的斜率k是求直线方程的关键2向量在解析几何中的应用问题主要是：(1)用向量语言表述几何性质(2)用向量法处理解析几何中平行、垂直、距离、夹角等问题【训练1】如图，在OABP中，过点P的直线与线段OA、OB分别相交于点M、N，若x，y(0x1)(1)求yf(x)的解析式；(2)令F(x)x，判断F(x)的单调性，并给出你的证明解(1)，则xy，()x(1x)，又，有xy(1x)0，即f(x)(0x1)；(2)由(1)得F(x)xx1(0x1)，设0x1x21，则F(x1)F(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2)，由0x1x21，得x1x20，x1x210，得F(x1)F(x2)0，即F(x1)F(x2)F(x)在(0，1)上为减函数题型三向量在解决物理问题中的应用【例3】在风速为75() km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向解设向量a表示风速，b表示无风时飞机的航行速度，c表示有风时飞机的航行速度，则cab.如图，作向量a，b，c，则四边形OACB为平行四边形过C、B分别作OA的垂线，交AO的延长线于D、E点由已知，|75()，|150，COD45.在RtCOD中，ODOCcos 4575，CD75.又EDBCOA75()，OEODED75.又BECD75.在RtOEB中，OB150，sinBOE，|150，BOE30.故没有风时飞机的航速为150 km/h，航向为西偏北30.规律方法1.用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系2速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则3在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一【训练2】一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30，风速为4米/秒，这时气象台报告实际风速为2米/秒试求风的实际方向和汽车的速度大小解依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v车地、风对车的速度为v风车、风对地的速度为v风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地v风车v车地如右图，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v风地的有向线段是平行四边形ABDC的对角线|4米/秒，ACD30，|2米/秒，ADC90.在RtADC中，|cos 302(米/秒)，即风的实际方向是吹向正南方向，汽车速度的大小为2米/秒.课堂达标1已知ABC，a，b，且ab0，则ABC的形状为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D不能确定答案A2已知直线l：5xy70，向量p(k1,2k3)，且pv，则k的值为(向量v为l的方向向量)()A. B. C. D解析l的方向向量v(1,5)，由v与p平行得：5(k1)2k3.解得k.答案D3已知A(1,2)，B(2,1)，以AB为直径的圆的方程是_解析设P(x，y)为圆上任一点，则(x1，y2)，(x2，y1)，由(x1)(x2)(y2)(y1)0，化简得x2y2x3y0.答案x2y2x3y04在四边形ABCD中，已知(4，2)，(7,4)，(3,6)，则四边形ABCD的面积是_解析(3,6)，(4，2)(3,6)0，四边形ABCD为矩形，|，|，S|30.答案305正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，试求cosDOE的值解以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：，故cosDOE.课堂小结1用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量问题对具体的问题是选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键2用向量解决物理问题需注意：(1)用向量方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来(2)要根据它的物理意义列出数学模型，将物理问题转化为数学问题求解(3)要将数学问题还原为物理问题基础过关1已知直线l：mx2y60，向量(1m,1)与l平行，则实数m的值为()A1 B1 C2 D1或2解析l的方向向量为v(2，m)，由v与(1m,1)平行得2m(1m)，m2或1.答案D2若2e1，4e1，且与的模相等，则四边形ABCD是()A平行四边形 B梯形C等腰梯形 D菱形解析，又|，四边形ABCD为等腰梯形答案C3已知点O在ABC所在平面上，若，则点O是ABC的()A三条中线交点B三条高线交点C三条边的中垂线交点D三条角平分线交点解析，()0，.同理可证，O是三条高线交点答案B4已知作用在A(1,1)点的三个力F1(3,4)，F2(2，5)，F3(3,1)，则合力FF1F2F3的终点坐标为_解析FF1F2F3(8,0)又起点坐标为A(1,1)，终点坐标为(9,1)答案(9,1)5已知直线axbyc0与圆x2y21相交于A，B两点，且|AB|，则_.解析如图，作ODAB于D，则在RtAOD中，OA1，AD，所以AOD60，AOB120，所以|cos 12011().答案6过点A(2,1)，求：(1)与向量a(3,1)平行的直线方程；(2)与向量b(1,2)垂直的直线方程解设所求直线上任意一点P(x，y)，A(2,1)，(x2，y1)(1)由题意知a，(x2)13(y1)0，即x3y50.所求直线方程为x3y50.(2)由题意，知b，(x2)(1)(y1)20，即x2y40，所求直线方程为x2y40.7已知长方形AOCD，AO3，OC2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判定点P在什么位置时，PED45.解如图，建立平面直角坐标系，则C(2,0)，D(2,3)，E(1,0)，设P(0，y)，(1,3)，(1，y)，|，|，3y1，代入cos 45.解得y(舍)或y2，点P在靠近点A的AO的三等分处能力提升8已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有，其中等于()A2 B. C3 D解析如图所示，由题知ABC30，AEC60，CE，3，3.答案C9若O是ABC所在平面内一点，且满足|2|，则ABC的形状是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形解析|，|2|，|，设，四边形ABDC是矩形，且BAC90.ABC是直角三角形答案B10在ABC中，A60，AB3，AC2，若2，(R)，且4，则的值为_解析32cos 603，则()34934.答案11.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若m，n，则mn的值为_解析O是BC的中点，()又m，n，.M，O，N三点共线，1.则mn2.答案212已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，1)(1)求和ACB的大小，并判断ABC的形状；(2)若M为BC边的中点，求|.解(1)由题意得(3，1)，(1，3)，3(1)(1)(3)0.所以，即A90.因为|，所以ABC为等腰直角三角形，ACB45.(2)因为M为BC中点，所以M(2,0)又A(1,2)，所