高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理课时提升作业2新人教A版.docx

平面向量基本定理一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014太原高一检测)下面说法中，正确的是()一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量；对于平面内的任一向量a和一组基底e1，e2，使a=e1+e2成立的实数对一定是唯一的.A.B.C.D.【解析】选B.因为不共线的任意两个向量均可作为一组基底，故正确，不正确，由平面向量基本定理知正确.2.(2014邢台高一检测)在平行四边形ABCD中，E，F分别是边CD，BC的中点，若=+，其中，R，则+的值为()A.B.2C.3D.1【解析】选A.设=a，=b，则=a+b，=b+a，又因为=b+a，所以=(+)，即=，故+=.3.若向量a，b为两个非零向量，且|a|=|b|=|a-b|，则向量a+b与a的夹角为()A.B.C.D.【解析】选A.作=a，=b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则=a-b，=a+b，AOC为向量a与a+b的夹角.因为|a|=|b|=|a-b|，所以OAB是等边三角形，平行四边形OACB是菱形，所以AOB=，AOC=AOB=.【举一反三】本题中“|a-b|”改为“|a+b|”，求a，b的夹角.【解析】作=a，=b，则=a+b，由|a|=|b|=|a+b|及向量三角形法则可知，表示向量a，b，a+b的有向线段可构成等边三角形OAB(如图所示)，所以a，b的夹角为.4.在ABC中，C=90，BC=AB，则与的夹角是()A.30B.60C.120D.150【解析】选C.如图，作向量=，则BAD是与的夹角，在ABC中，因为C=90，BC=AB，所以ABC=60，所以BAD=120.【误区警示】解答本题容易忽视向量夹角的定义要求两个向量共起点，导致误认为ABC是与的夹角的错误.5.(2014宜春高一检测)如图，在ABC中，=，P是BN上的一点，若=m+，则实数m的值为()A.1B.C.D.3【解析】选C.因为B，P，N三点共线，所以，设=，即-=(-)，所以=+，又因为=，所以=4，所以=m+=m+，对比，由平面向量基本定理可得：m=.【拓展延伸】三点共线的两种常用方式：(1)若A，B，C三点共线，则存在实数，使得=.(2)若A，B，C三点共线，则存在实数，和点O，使得=+且+=1.6.(2013大连高一检测)如图，在平面直角坐标系xOy中，两个非零向量，与x轴正半轴的夹角分别为和，向量满足+=0，则与x轴正半轴夹角取值范围是()A.B.C.D.【解题指南】先由+=0推知向量+与反向，然后通过分析向量+与x轴正半轴的夹角推知向量与x轴正半轴的夹角.【解析】选B.因为+=0，所以+=-，如图1所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OAC1B，则+=，=-，固定的长度，的长度缩小，点C1向B靠近(图2)，固定的长度，的长度缩小，点C1向A靠近(图3).因为向量，与x轴正半轴的夹角分别为和，所以与x轴正半轴夹角取值范围为，由与的方向相反知与x轴正半轴夹角取值范围为.二、填空题(每小题4分，共12分)7.设e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则向量a=e1+e2与向量b=-e1+2e2共线的条件是= .【解析】由于a，b共线，因此只需基底对应系数成比例即可，即=，所以=-2.答案：-28.(2014徐州高一检测)设e1，e2是平面内一组基底，且a=e1+2e2，b=-e1+e2，则向量e1+e2可以表示为另一组基底a，b的线性组合，即e1+e2=.【解题指南】设e1+e2=ma+nb(m，nR)，根据e1，e2不共线及平面向量基本定理求m，n.【解析】设e1+e2=ma+nb，因为a=e1+2e2，b=-e1+e2，所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2，因为e1，e2不共线，所以解得m=，n=-，故e1+e2=a-b.答案：a-b【变式训练】在如图所示的平行四边形ABCD中，=a，=b，AN=3NC，M为BC的中点，则=(用a，b表示).【解析】=+=-=b-=b-a.答案：b-a9.如图，在ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，F为AB上一点，且=4，若=x+y，则x=，y=.【解析】连接DE，因为=+=+=+4=+2.所以x=2，y=1.答案：21三、解答题(每小题10分，共20分)10.如图所示，在ABC中，点M是AB的中点，且=，BN与CM相交于点E，设=a，=b，试用基底a，b表示向量.【解题指南】本题需不断地利用三点共线进行转化，最后通过利用基底表示任意一向量的唯一性，即若a=1e1+1e2且a=2e1+2e2，则构建方程组从而使得问题获解.【解析】易得=b，=a，由N，E，B三点共线知存在实数m，满足=m+(1-m)=mb+(1-m)a.由C，E，M三点共线知存在实数n，满足=n+(1-n)=na+(1-n)b.所以mb+(1-m)a=na+(1-n)b.由于a，b为基底，所以解得所以=a+b.11.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|=|=1，|=2，若=+(，R).求+的值.【解析】如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则=+，在直角OCD中，因为|=2，COD=30，OCD=90，所以|=4，|=2，故=4，=2，即=4，=2，所以+=6.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014德州高一检测)已知a，b是两个不共线的向量，m，nR，且ma+nb=0，则()A.a=0，n=0B.m，n的值不确定C.m=n=0D.m，n不存在【解析】选C.因为a，b是两个不共线的向量，ma+nb=0，故m=n=0.2.已知向量e10，e20，R，a=e1+e2，b=2e1，若a与b共线，则下列关系一定成立的是()A.e1e2B.e2=0C.=0D.e1e2或=0【解析】选D.因为a与b共线，所以a=xb，若e1，e2不共线，则2x=1，=0，若e1，e2共线，则a与b一定共线.3.(2014嘉兴高一检测)过ABC的重心G任意作一直线分别交AB，AC于点D，E，若=x，=y，xy0，则+的值为()A.4B.3C.2D.1【解析】选B.因为G，D，E三点共线，所以=+(+=1)，即=y+x；又设BC的中点为M，=，所以y=，x=，所以+=3+3=3.【变式训练】在ABC中，=2，=+，则的值为()A.B.C.-D.-【解析】选B.因为=2，所以A，D，B三点共线，=+，故+=1，解得=.【拓展延伸】三角形中的常用结论在ABC中：(1)若=，则AD是ABC中BC边的中线.(2)=G为ABC的重心，特别地，+=0G为ABC的重心.(3)|=|=|O是ABC的外心.4.(2013广东高考)设a是已知的平面向量且a0，关于向量a的分解，有如下四个结论：给定向量b，总存在向量c，使a=b+c；给定向量b和c，总存在实数和，使a=b+c；给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使a=b+c；给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使a=b+c；上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【解题指南】本题考查平面向量的加减运算、平面向量基本定理、平面向量的几何意义等知识，可逐一检验.【解析】选B.利用向量加法的三角形法则，易得是真命题；利用平面向量的基本定理，易得是真命题；以a的终点为圆心，作半径为的圆，这个圆必须和向量b有交点，这个不一定能满足，是假命题；由向量加法的三角形法则(不共线两边的和大于第三边)，即而给定的和不一定满足此条件，所以是假命题.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2014潭州高一检测)若e1，e2是表示平面所有向量的一组基底，且a=3e1-4e2，b=6e1+ke2不能作为一组基底，则k的值为.【解析】当a与b共线时，a与b不能作为一组基底，故存在，使得a=b，即3e1-4e2=(6e1+ke2)，所以6=3，k=-4，解得=，k=-8.答案：-8【变式训练】已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y= .【解析】由题意解得故x-y=3.答案：36.(2014厦门高一检测)e1，e2为两个不共线的向量，a=-e1+3e2，b=4e1+2e2，c=-3e1+12e2，用b，c为基底表示向量a=.【解题指南】利用平面向量的基本定理可设a=xb+yc(x，yR)，由于e1，e2为两个不共线的向量，利用向量相等求解x，y即可.【解析】设a=xb+yc(x，yR)，则-e1+3e2=x(4e1+2e2)+y(-3e1+12e2)，即-e1+3e2=(4x-3y)e1+(2x+12y)e2，所以解得所以a=-b+c.答案：-b+c三、解答题(每小题12分，共24分)7.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知=c，=d，试用c，d表示，.【解析】设=a，=b，则由M，N分别为DC，BC的中点，可得：=a，=b.又+=，即b+a=c，+=，即b+a=d，由可得a=2d-c，b=2c-d，即=2d-c，=2c-d.8.(2014常德高一检测)已知向量a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1，e2不共线，