结合实习支教谈中学数学思维的培养-毕业论.doc

目 录 1引言12思维及数学思维12.1思维12.2数学思维及发展23数学思维的品质33.1数学思维的深刻性33.2数学思维的广阔性43.3数学思维的灵活性53.4数学思维的独创性63.5数学思维的批判性74数学思维的培养84.1实验演示，启迪思维8 4.2观察联想，活跃思维104.3反向练习，逆向思维114.4类比发现，激励思维124.5引导归纳，深化思维135结束语14参考文献15致谢16 结合实习支教谈中学数学思维的培养 xxx本xxx班 xxx 指导老师 xxx摘要：在数学教学中，要求学生通过自己的思维来学习，这是普通教育首要的教学目的和要求。学生学习数学，不仅要掌握教学大纲所规定的数学实践知识、技能和能力，而且要掌握数学思维的方法，促进思维的发展。因此，中学数学教学中，教师必须注重学生的数学思维过程及其培养。本文结合实习支教，在注重数学思维培养的基础上，通过对数学思维的发展及品质等问题的探究，提出从五方面着手对学生的数学思维进行培养。关键词：数学思维，中学数学，实习支教。 Combining with the teaching practice in middle school mathematics education thought xxxxxxxxxClass xxxx,Mathematics DepartmentTutor：xxxxxxxxxxAbstract: In mathematics teaching, students learn through their own thinking, this is the purpose of teaching and general education requirements of primary. Student learning in mathematics teaching, not only to master the practical mathematic knowledge, skills and abilities, but also to master the method of math thinking, promote the development of thinking. Therefore, the middle school mathematics teaching, teachers must pay attention to the students and the training of mathematical thinking process. Combining with the teaching practice, based on the mathematical thinking of students, through the research on the development of mathematical thinking and quality problems, put forward from five aspects of students mathematics thinking training.Key words: mathematics thinking, the middle school,teaching practice.ii1引言 21 世纪中国社会的进步与发展对中学生的综合素质提出了更高的要求，数学课程标准明确指出要以学生为主体，以培养学生的思维发展为己任，提高数学教学的质量，摆脱题海战术，真正减轻学生学习数学的负担，从而为提高学生的整体素质作出应有的贡献。 本文主要结合日常听课时对课堂教学手段、方法的观察，实际的课堂教学效果，教学中的实际例子，积极寻求培养数学思维的有效途径和具体方法。2思维及数学思维2.1思维 在现代心理学中，思维被理解为“受社会所制约的，同言语紧密联系的，探索和发现崭新事物的心理过程，是对现实进行分析和综合中间接概括反映现实的过程。思维在实践活动基础上由感性认识产生并远远超出了感性认识的界限。”也有人说:“思维是人脑对客观现实概括的和间接的反映，它反映的是事物的本质与内部规律性。”把他们的叙述概括起来:思维包括两个方面，一是能反映，二是有意识。能反映，在这点上，人和动物是一样的，反映的仅是事物的个别属性、个别事物及其外部联系，属于感性认识。有意识，这是指人和动物的一个显著区别，人脑可以产生意识(头脑中已有知识和自觉摄取知识的习性)，而动物没有意识。用意识装备起来的头脑去反映的可以是一类事物共同的、本质的属性和事物间内在的、必然的联系，即这时已超出了感性认识的界线，属于理性认识。这就是思维的直接本质。 思维是对客观事物的内在联系和本质属性的反映；反映的方式不是直观的零散的，而是间接的和概括的：思维要依靠感性认识，但远远超脱于感性认识的界限之外，去认识那些没有直接感知过的或根本无法感知到的事物，以及预见和推知事物发展的进程，其间接性关键在于知识与经验的作用，它随着主体知识经验的丰富而发展起来的，因此知识和经验对思维能力有重要影响。思维之所以能揭示事物的木质和内在规律性，主要来自抽象和概括的过程，以大量的己知事实为依据，在已有知识经验的基础上，舍弃个别事物的个别特征，抽取他们的共同特征，从而得出新的结论。2.2数学思维及发展 数学思维是人脑和数学对象交互作用并按照一般思维规律认识数学规律的思维过程。其表现是学生从原有的认知结构出发，通过观察、类比、联想、猜想等一系列数学思维活动，立体式的展示问题、提出过程，在温故知新的联想过程中产生强烈的求知欲，尽可能的参与概念的形成和结论的发展过程，并掌握观察、实验、归纳、演绎、类比、联想、一般化与特殊化等思考问题的方法。数学这门学科本身高度的概括性和抽象性，就决定了数学思维的特征：第一是概括性，第二是间接性。如：人们最熟悉的自然数其实并不“自然”，现实中并不存在，它是概括了不同事物在“数量”方面的特征后的结果；数学中的点、线、面也是概括了现实世界中相应事物的特征以后的理想化结果；数学的逻辑推理规则、方法也是对人类长期积累的经验的抽象概括的结果。因此，数学思维是概括之上的概括。再有，数学概念是对数学本质的抽象，这种抽象只保留了事物的数量关系和空间形式，而舍弃了其它自然属性，而且这种数量关系和空间形式是理想化的，这也就导致了数学这门科学与现实事物间的“天然距离”，从而使数学思维更加间接。数学思维还可根据不同的角度不同的标准进行分类，比较公认的是分为逻辑思维、形象思维和直觉思维三种。其中形象思维具备思维的各种特点，主要心理因素有联想、表象、想像和情感。形象思维是非常重要的，创新是数学或其它任何一门自然科学乃至社会科学发展的根本，它与形象思维的关系非常密切，数学中的形象思维激励着人们的想象力和创造性，常常导致重要的数学发现。当然形象思维不是独立的，它与逻辑思维在数学过程中相互渗透，相互补充，共同完成数学的创新活动。在数学学习中，随着学习内容的不断加深，学生的数学思维也逐渐的发生改变，中学生的数学思维较小学生有了更高的发展： （1）思维活动有一定的自觉性。低年级学生做完一道题，往往不易说出自己是怎样想的，因而很少检查或验算结果是否正确；而中年级学生大多清楚甚至能比较完整地说出分析推理过程，有一些学生还能自觉检查结果，寻找错误原因，表现出一定的自觉性。（2） 思维独立性有所增强。到了中年级，学生已能开始独立地组织自己的思维活动，人云亦云的盲从意识逐渐减弱，独立思考、独立钻研的能力有了明显的发展。在课堂中，经过老师启发，他们可以展开讨论，大胆发表不同的意见或见解。 （3）思维的灵活性开始开展。思维的灵活性在低年级就开始萌芽，如摆小棒可有几种不同的摆法。到了中年级，由于思维的自觉性和独立性的增强，重视学生的思维训练，如一题多解等，推动了思维灵活性的发展，部分学生开始敢于标新立异，甚至“异想天开”。3数学思维的品质3.1数学思维的深刻性数学思维的深刻性是学生对实际事物中的数学关系进行抽象概括而获得数学问题，对具体数学材料、数学问题进行分析概括而得出数学模型，选择恰当的数学方法、用合适的数学计算求出此模型的解或近似解，以及对解的实践检验、对模型的修正等过程中，思考的广度、深度、难度和严谨水平的集中体现。它表现在能深入的地钻研与思考问题，善于从复杂的事物中把握它的本质，而不是被一些表面现象所迷惑，特别是在学习中克服思维的表面性、绝对化与不求甚解的毛病。 首先，通过创设情景让学生在知识起点做到理解深刻。例如在概念的教学中，通过精心设计，创设思维情境，增加知识的探索与形成过程，以增加学生思考、探索与尝试的体验，是帮助学生深刻理解数学概念本质较为成功的一种做法，目的是要让学生在知识起点就做到深入理解。比如异面直线概念教学，教师让每个学生拿两根小竹竿放在桌面上，观察各种位置关系：除平行和相交外，还存在既不平行也不相交的情况，概括出异面直线概念中不共面的本质属性，给出定义，进而设计出异面直线概念的肯定例证和否定例证，以巩固和深化概念，在完善对空间两条直线位置关系认识的基础上，形成相应的概念系统。其次，通过数形结合让学生在数学运用中做到理解深刻。数与形是事物的两个方面，用形帮助学生构建数的认知结构常能获得独到的效果。将数学材料中反映的数与形的关系从具体的材料中抽象出来，概括为特定的一般关系和结构。这样有利于促进对问题的深刻理解。例1 将宽为的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕的长是（ ） 分析 这是一道简单的操作题。许多学生看完题目就能用小纸条做出模型，折纸类题目平时就在练习，而本题的题目及图形较简单，许多学生无从下手，如何将这道操作题转化为数学题呢？平时的试卷都有图示的虚线，借助辅助线学生不难发现为等腰三角形，再加上图中的，为等边三角形。图中的纸条宽与的关系的探寻是难点，也是解决本题的关键。图形语言其实是，边上的高。因此，本题就可由具体的折纸问题抽象概括为这样一道数学题：已知等边三角形一边上的高为，求其边长。求解这道几何题的过程需要用符号语言进行描述、推理，将数学材料中反映的数与形的关系从具体的材料中抽象出来。 这样处理，其思维深刻性培养的力度才够，效果才好，体现了教师对教学的领悟与把握。3.2数学思维的广阔性 思维的广阔性是指思路广阔，善于多角度、多层次地进行探求。数学思维广阔性指是对一个数学问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。数学思维广阔性的培养具体应从以下几方面着手：（1） 一题多解 例2 已知，求证：法1 一条极易想到的思路是移项：，两边平方得：；两边再平方得：即。法2 运用基本不等式得，要使上式不产生矛盾，要求中间的“”只能取等号，即当且仅当时等号成立。即有。 如果我们对数量关系及结构特征作一细致的分析研究，摆脱过去经验的束缚，打破常规，开阔思路，还会发现：法3 已知条件表明适合方程。该方程是单位圆上以为切点的切线方程，可是在单位圆上，因而它就是切点，可见，即。 （二）一题多种解释 例如对可以理解成的两倍；也可理解为完成某件事有两个步骤，完成第一步骤有种方法，完成第二步骤有种步骤，那么完成这件事情可有种方法。还可以理解为在平面上有条纵线，条横线，则它们相交构成的方格数有个。又例如函数式可以作以下几种解释：自由落体公式；动能公式；热能公式等等。 思维的广阔性要求从多方面考虑问题，这对于开阔思路有益。3.3数学思维的灵活性 数学思维的灵活性主要是指能够根据客观事物的发展与变化，及时的调整自己的思路，改变已有的思维过程，寻找新的解决问题的方法。数学思维的主要体现在随新的条件而迅速确定解题方向；表现为以一种解题途径转向另一种途径的灵活性；也表现为从已知数学关系中看出新的数学关系，从隐蔽的形式中分清实质的能力。在教学中应从以下几方面入手去培养学生的思维灵活性:（1） 培养善于观察的能力。数学题都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题的思路，找到解题方法。例如求和。这是个分数相加，通分很困难。观察它的具体特征：每项都是两相邻自然数的积的倒数，且，这样原式就等于，问题很快就解决了。（二）培养善于联想的能力。稍具有难度的问题和基础知识之间的联系都是不明显的、复杂的。因此怎样解题，解题的速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，作出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。 例3 当为何值时，直线被曲线所截得的线段之长为？本题的特点是：曲线是圆，圆的半径；直线被圆截得的弦长为，联想即为该圆的直径长。于是必须通过圆心。所以。 思维灵活性的反面是思维的呆板性，或称心里惰性，其表现是思维定势。因此教师应帮助学生克服思维呆板性的消极一面，及时引导学生在新的情况下寻找新的解题途径。3.4数学思维的独创性 数学思维的创新性是人类思维的高级形态，它是在新异的问题情境中，在一定目标的指引下，调动一切已知信息，独特、新颖且有价值地解决问题的过程中表现出来的智力品质；数学思维的独创性品质也可以从用新颖、独特的方法解决熟悉问题的过程中表现出来。下面则列举了教学中遇到的一些体现数学思维独创性的典型例题。 例4 水池有甲、乙、丙、丁四根进水管，甲、乙、丙三管同时打开，分钟可注满水池；乙、丙、丁三管同时打开，分钟可注满水池；甲、丁两管同时打开，分钟可注满水池。如果四管同时打开，需要多少时间注满水池？ 分析 一般学生都习惯设未知数，列出方程去求解。其实此问题还有更简洁的方法：由已知两个甲管、两个乙管、两个丙管、两个丁管同时打开一分钟，可注满水池的，所以让甲、乙、丙、丁四管同时打开一分钟可注满水池的。因此注满水池需分钟。这个解法跳出了常规的列方程解应用题的模式，根据题中的隐含条件，使得解题过程简捷、明快、易懂，可以认为是独创思维的结果。例5 解方程。分析 这道题目编制的主要意图是利用代换，将原方程变形为，这样既复习了无理方程转化为有理方程的思想，同时复习了换元法、求根公式和根式运算等知识。然而有一位学生并未按“常规”的解法去做，却提出了一个“非常规”的简捷解法：如果，则方程两边就相等。由此可知满足这个条件。而时，不满足要求；当时，也不满足条件。从而得出除了外，原方程没有其他解。这里几乎是通过观察方程的特征而直接获得的，是通过简缩的运算过程和推理过程获得的。所以这位学生“非常规”的解法可以认为是思维独创性的表现。3.5数学思维的批判性 数学思维的批判性是指思维能动地对资料、信息及自我思维过程的正确性、真理性进行严密审查和剔除谬误的一种品质，对中学生主要表现在：对已有的数学表述能提出自己的看法，不盲从附和；能严密地全面地利用已知条件，在关键之处能及时、迅速地自我反馈；有能力评价解题思路是否正确。下面的这个命题习惯性的被视作假命题，但很少有人去质疑、论证。例6 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形。 分析 这不是平行四边形的判定定理，但它到底是真命题还是假命题呢？如图已知四边形是平行四边形,作的外接圆,在圆上找一点，又有,则四边形满足上述的条件，但很明显它不是平行四边形。 小结 数学的核心问题是分析问题和解决问题，通过以上例题，可以看出，数学思维的特性在解决数学问题中的重要作用，能灵活运用以上特性能使我们在解题中即使遇到困难，甚至已山穷水尽疑无路时，仍能寻找到柳暗花明又一春的美好境界。4数学思维的培养 数学教学的核心是发展学生的数学思维能力。因此数学教学不能仅仅停留在传授知识上，而应进一步围绕数学思维能力的基本特征，认真对学生的数学思维进行培养，大力提高学生的思维水平。如何对学生的数学思维进行培养呢？数学思维的培养方法和措施多种多样，尤其是中国发达地区，可以积极利用多种多样的教具，以及现代化的多媒体设备。但是对于一些偏远山区和贫困地区的孩子来说，他们所拥有的或许只是一块黑板和一位老师。所以，培养他们的数学思维能力，主要靠数学教学和解题的过程。因此作为老师，就应该把数学教学的过程设法变为数学思维过程的学习。要善于利用数学自身的美，把理论跟实际联系起来，分析概念、结论的形成过程，让学生感受到学数学的乐趣，主动参与学习，而且能够把学到的数学知识和技能运用到实际生活当中，变被动为主动。为此，要做好以下几方面的工作：4.1实验演示，启迪思维 “实验演示”指的是学生在教师设计的情境下进行实验，通过直观形象自己 发现真理和论证思路。训练学生从实验的教学中启迪思维，并迅速抓住对象的共同属性，同时加以抽象形成概念、定理或归纳出规律。例如 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。我们根据图形面积的性质，运用“面积分割、移补、拼凑”的实验，直观地显现三边所存在的一种特殊的数量关系。把四个直角边为和，斜边为的全等三角形（如图甲）放到边长为的正方形(见图乙）；再将四个全等的直角三角形换个方法放在这个边长为的正方形中（见图丙）。 （甲 ） （乙） （丙）通过上面实验的图形显示，请同学们仍思考下面几个问题：（1）你能证明图乙中围成的四边形是正方形吗？ （2）观察图乙，请同学们研究，如何利用面积计算公式，通过面积的加减计算探求出三者间的关系。（3） 比较一下乙、丙两个图形，你发现之间有什么关系？你能证得吗？学生通过做上述实验，较容易地完成第一问。解答第二问时，从观察中发现：正方形的面积是由正方形和四个直角三角形的面积所组成，这就启迪了证明方法的思路。第三问，通过比较图乙和图丙，很快就证明得。又例如 教学“三角形的三边关系”一课时可先让学生动手实验，让学生拿出课前准备好的三根铁丝（长度分别为、），用这三条“线段”都能“首尾顺次连结”构成一个三角形吗？然而让学生把最短的边剪去，教师再继续提出三个问题：三条“线段”长度各是多少？是否还能“首尾顺次连结”组成一个三角形？最短边再剪去一小段，是否能“首尾顺次连结”组成一个三角形？学生通过实验后正确回答，教师再次提问：是否具有任何长度的三条线段都能“首尾顺次连结”构成三角形？ 在此案例中，教师引导学生动手操作、思考、讨论，通过多种感官去感知事物，去获取感性知识，去尝试、比较、分析，从而自主探索出“三角形的三边关系定理”。 加强实验，使学生通过感知和想象，对抽象的东西，在头脑中建立起鲜明而确定的形象。实验的直觉性，是为了促进学生的自觉思维，启发学生经过逻辑思维，逐步揭示事物的本质属性和内在联系，从而达到抽象思维，即深刻理解。加强直观性教学，有利于调动学生的学习的兴趣，对提高学生的思维能力效果极佳。4.2观察联想，活跃思维在解数学题的过程中，观察是对题目以及解题过程进行有目的、有选择的积极主动的信息收集活动；联想是把观察得到的信息与我们已有的知识与经验联系起来进行思考观察和联想是发现解题途径，引导解题决策，以便迅速正确地解决问题的重要的思维方法具有不同的知识、经验、水平的人去观察同一个题目，观察的结果往往是不相同的甚至同一个人从不同的角度去观察同一个题目，观察的结果也有所不同这是因为观察是在知识与经验的联想中进行的，没有联想，就不可能有深入的观察另一方面，联想也是在对题目和解题过程的观察中进行的，没有观察，就不可能产生联想因此，观察和联想形影不离，紧紧相随克服思维呆滞性的途径是训练学生观察联想，活跃学生的思维，培养思维的灵活性。观察联想的方法有：（1）定向联想：有预定的目的，以达到某一目标为方向的联想；（2）接近联想：为求解把观察同有直接或间接接触的事物相联系，并通过想象寻找它们的相同点。（3）类似联想：对性质接近，形状相似的同类内容进行联想。（4）对比联想：即对具有相反特点的事物作比较联想。下面从一些实际的例子中分别介绍观察联想的方法：例7 图中所示的圆是的内切圆，与、的切点分别是、，求的度数。 分析 这个题目对于我们农村中学的学生来说是有一定难度的。讲解这题我首先引导学生进行审题，分析已知条件之间的关系，启发学生探究和之间的关系。教学中，我首先引导学生思考：对于一个任意四边形，对角的大小没有必然的数量关系的，但如果四边形与圆结合在一起，情况就不一样了，就这个问题我们应该根据条件通过“第三者”把它们联系起来。让学生思考后，提问学生：“在圆与直线相切的问题中，常见的第三者是什么呢？”（让学生探讨操作），最后再作出通过切点的半径这两条辅助线引导学生分析解题。 例8 已知是边的中点，求证：。分析 若直接求证与相很难成功。而通过条件，诱发与三角形中位线联想，作辅助线的证法也就随之而来，即过点作的平行线交与，于是论证的思路也畅通了。4.3反向练习，逆向思维 逆向思维是指根据一种观念（概念、原理、思想）、方法及研究对象的特点，从它的相反或否定的方面去进行思考，以产生新的观念，在学习和研究数学的过程中，有机地、适当地注意从所考察的数学问题的相反方面或否定方面进行数学逆向思维，就能在探索中，从对立统一中把握数学知识的内在联系，澄清对某些数学概念的模糊认识，更深刻、更透彻地理解教材，巩固所学知识，并能培养学生对数学问题的探究能力。如何进行逆向思维？一是在概念教学中注意反方向的思考；数学中的很多概念都要教学生从正、逆两方面去思考和理解，如对一元二次方程的理解，除了正向理解，若是的两个实根，则有，；还要从反面理解若，且，则是方程的两个根。二是重视逆定理的应用和公式逆用的教学；如勾股定理逆定理以及三角形中位线定理逆定理的运用在中学数学中都是比较常见的。三是强调某些基本数学方法的逆用。下面通过一例来对基本数学方法的逆用进行说明：例9 当是什么实数时，方程至少有一个正根。分析 此题如果从正面求解至少要分三种情况：（1）两根均为正；（2）两根中一正一负；（3）两根中一正一零。解法较为繁琐，如考虑不周全会忽略了第三种情况，还会导致错误。如果 考虑方程至少有一个正根的反面，即“方程的两根均为负根或两根中一负一零”，以此入手求得补集，这种方法则很简捷。 由正向思维向逆向思维转化，对能力差的学生来说，是深感困难的，对他们建立逆向思维是特殊任务。要加强训练，先讲正向变形，在正向变形训练到较为熟悉的程度后再转向逆向使用公式训练。4.4类比发现，激励思维 所谓类比发现就是根据两个对象或两类事物间存在着的相同或不同属性，推断另一类事物也可能具有某种属性的思维方法，是初中学生数学思维能力提高的具体体现。在学习过程中，类比推理往往学生不够重视，甚至也被老师忽视，有许多学生和老师想通过做大量的题目来掌握所学知识从而提高数学成绩。然而，数学问题浩如烟海，考试时很难遇到做过的原题，遇到了新题型或只是稍稍变换一下，就不知所措，原因是在平时的学习中，缺乏掌握数学思考方法。在数学中，类比是发展概念，推导性质定理，运算的重要手段，也是探索问题、解题的一种重要方法。 数学概念不但是数学思维基础，也是数学思维的结果。初中数学教材有些概念很抽象，讲解时学生不易理解，影响学生的数学思维能力。因此，做好概念教学，让学生正确理解概念就会为他们学习其它数学知识打下坚实的基础。用类比法引入新概念，可使学生更好地理解新概念的内涵与外延。在初中数学教学中类比随处可见，例如：在概念教学中的“从算式到等式”、“从因数分解到因式分解”、“从分数到分式”、“从一元一次方程到一元一次不等式”、“一次函数到二次函数”、“从全等三角形到相似三角形”、“从三角形的中位线到梯形的中位线”、“轴对称和轴对称图形到中心对称和中心对称图形”等等。 同时，有些命题之间存在联系和相似之处，通过类比，往往能由一题的解法启发另一题的思路，获得解题途径。这样做一题，贯通几题，解决一类，学生的智力得到发展，增加思维的灵活性。例10 已知是正数，并且，求证以为边的四边形是菱形。分析 学生一接触到这个题目，思维受阻，不知从哪里下手。这时老师可以进行适当的心里诱导，将与比较熟悉的因式分解题相比，引导学生回顾此题的解答过程，比较解答问题结构上的异同，学生便很快能找到解题的诀窍。 总之，类比思想是数学学习中不可缺少的一种数学方法。它可以使一些问题简单化，也可以使我们的思维更加广阔。在中学数学教学过程中，创造性的巧设一些例题，进行类比推理思维能力的培养，能够大大的将学生从题山题海中解放出来，既能真正做到减负，又能让学生掌握更多知识，进一步激发学生的数学学习兴趣，提高学生的数学思维能力。4.5引导归纳，深化思维归纳思维模式是加拿大课程理论学家塔芭女士提出来的，是为了提高学生处理住处的能力而设计的。她认为要教会学生确认和列举与问题有关的资料，从相似性为基础对资料的项目进行分类，对这些类别形成范畴。归纳思维的过程不仅包括集中利用信息来解决问题，还包括创造性的加工信息，加强归纳思维训练的方法有：（1）归纳整合知识点 教师在课堂上传授完新知识，要注重课堂授课之后的一种课堂“反思”，即明确概念，重新思考整个的知识系统的思维顺接，各个知识内容之间联系，新旧知识的关系、衔接，思维上的过渡、转换。这样学生能从原有的知识结构中提取最有效的旧知识来吸纳新知识，即找到新知识的“媒介点”，这样，新旧知识在学生的头脑中发生积极的相互作用和联系，导致原有知识结构的不断分化和重新组合，使学生获得新知识。例11 不等式（定理：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数）的证明。分析 与圆的知识相联系：以 长的线段为直径作圆，在直径 上取点 ，使 ，由,得到不等式。与数列的知识相联系：把看作是正数 等差中项， 看作是正数 的等比中项。 （2）归纳解题方法 例如初中数学常用解题方法有：配方法（在因式分解、化简根式、解