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小学六年级上册数学知识点和题型第一单元 分数乘法 (一)分数乘法意义: 1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数的和的简便运算。 注:“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数,不能是分数。 2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。 (二)分数乘法计算法则: 1、分数乘整数的运算法则是:分子与整数相乘的积作分子,分母不变。注:(1)为了计算简便能约分的可先约分再计算。(整数和分母约分) (2)约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。(整数千万不能与分母相乘,计算结果必须是最简分数) 2、分数乘分数的运算法则是:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。(分子乘分子,分母乘分母) 注:如果分数乘法算式中含有带分数,要先把带分数化成假分数再计算。分数化简的方法是:分子、分母同时除以它们的最大公因数。 在乘的过程中约分,是把分子、分母中,两个可以约分的数先划去,再分别在它们的上、下方写出约分后的数。(约分后分子和分母必须不再含有公因数,这样计算后的结果才是最简单分数) 分数的基本性质:分子、分母同时乘或者除以一个相同的数(0除外),分数的大小不变。 3、小数乘分数的运算法则是:(1)把小数化成分数计算;(2)如果所乘分数可以化成有限小数,也可以把分数化成小数计算;(3)小数和分母能约分的,先约分在计算比较方便。 (三)积与因数的关系: 一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。ab=c,当b 1时,ca. 一个数(0除外)乘小于1的数,积小于这个数。ab=c,当b 1时,c1时,ca (a0) 除以小于1的数,商大于被除数:ab=c 当ba (a0 b0) 除以等于1的数,商等于被除数:ab=c 当b=1时,c=a (四)分数四则混合运算 1、运算顺序: 连除:属同级运算,按照从左往右的顺序进行计算;或者先把所有除法转化成乘法再计算;或者依据“除以几个数,等于乘上这几个数的积”的简便方法计算。加、减法为一级运算,乘、除法为二级运算。 混合运算:没有括号的先乘、除后加、减,有括号的先算括号里面,再算括号外面。 注:(ab)c=acbc (五)解决问题 (1)“已知一个熟的几分之几是多少,求这个数”的问题的解法。 设单位“1”的量为x,列方程解答。已知量已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量 (2)“已知比一个数多(或少)几分之几的数是多少,求这个数” 的问题的解法。 根据数量关系“单位1的量(1几分之几)=已知量”或“单位1的量单位1的量几分之几=已知量”,设单位“1”的量为x,列方程解答。 确定单位1的量,计算出已知量占单位“1”的几分之几,再根据分数除法的意义列式解答。 (3)“已知两个数的和或差及这两个数的倍数关系,求这两个数” 的问题的解法。先找出单位“1”的量并设为x,用含有x的式子表示另一个量,再根据两个数的和或差列方程解答。(6) 工程问题 数量关系式:工作总量=工作效率工作时间;工作效率=工作总量工作时间;工作时间=工作总量工作效率 题型 1、10的倒数是( ),( )没有倒数。 2、 把米长的铁丝平均分成4段,每段是全长的( ),每段长( )米。 3、用你喜欢的方法计算下面各题。14 24 26 35 4、看谁算得又对又快。 2 ( ) ( ) 101.5 5、 请用简便方法计算。 4 () 6、 列式计算。 1. 一个数的是,这个数是多少?2. 一个数的是20,这个数的是多少? 7、 走进生活,解决问题。 1 小岩买了一瓶橙汁,喝了,正好是300毫升,这瓶橙汁总量是多少毫升? 2 实验小学参加艺术班的学生有1080人,占全校学生总数的,全校共有学生多少人? 第四单元:比 (1) 比:两个数相除也叫两个数的比 1、 比式中,比号()前面的数叫前项,比号后面的项叫做后项,比号相当于除号,比的前项除以后项的商叫做比值。 注:连比如:3:4:5读作:3比4比5 2、 比表示的是两个数的关系,可以用分数表示,写成分数的形式,读作几比几。 例:12201220=0.6 1220读作:12比20 注:区分比和比值:比值是一个数,通常用分数表示,也可以是整数、小数。 比是一个式子,表示两个数的关系,可以写成比,也可以写成分数的形式。 3、 比的基本性质:比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外),比值不变。 4、 化简比:化简之后结果还是一个比,不是一个数。 (1) 用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。 (2) 两个分数的比,用前项后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整数比的方法来化简。也可以求出比值再写成比的形式。 (3)两个小数的比,向右移动小数点的位置,也是先化成整数比。 5、求比值:把比号写成除号再计算,结果是一个数(或分数),相当于商,不是比6、比和除法、分数的区别: 除法 被除数 除号() 除数(不能为0) 商不变性质 除法是一种运算 分数 分子 分数线() 分母(不能为0) 分数的基本性质 分数是一个数 比 前项 比号() 后项(不能为0) 比的基本性质 比表示两个数的关系附:商不变性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。 分数的基本性质:分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。 7、比的应用 按比分配问题的解决方法: 先求出总份数,再求出各部分量占总量的几分之几,最后求出各部分量。 先求出每份是多少,再用每份量乘各部分量所占的份数,求出各部分量。( )题型: 1. 10:( )( )1018( ) 2. 5克盐溶解在100克水中,盐与盐水重量比是( )。 3.桃树和梨树棵数比是98,梨树比桃树少( )。 A. B. C. 4. 3:4的前项加上6,要使比值不变,后项应加上( )。 A. 6 B. 12 C. 8 5.化简比并求比值。 0.2 100千克0.25吨 6.长方体的棱长总和是120厘米,长、宽、高的比是321 ,这个长方体的体积是多少? 第五单元 圆 (一)圆的特征 1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形,2、圆的特征:外形美观,易滚动。 3、圆心o:圆中心的点叫做圆心圆心一般用字母o表示圆多次对折之后,折痕的相交于圆的中心即圆心。圆心确定圆的位置。 半径r:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。在同一个圆里,有无数条半径,且所有的半径都相等。半径确定圆的大小。 直径d: 通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆里,有无数条直径,且所有的直径都相等。直径是圆内最长的线段。 同圆或等圆内直径是半径的2倍:d=2r 或 r=d2 4、等圆:半径相等的圆叫做同心圆,等圆通过平移可以完全重合。 同心圆:圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。 5、 圆是轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴。 有一条对称轴的图形:半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角 有二条对称轴的图形:长方形 有三条对称轴的图形:等边三角形 有四条对称轴的图形:正方形 有无条对称轴的图形:圆,圆环 6、画圆 (1)圆规两脚间的距离是圆的半径。 (2)画圆步骤:定半径、定圆心、旋转一周。 (二)圆的周长: 1、围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,周长用字母C表示。 2、圆周率:圆的周长与直径的比值是一个固定值,叫做圆周率,用字母表示。 即:圆周率= =周长直径3.14 所以,圆的周长(c)=直径(d)圆周率()周长公式: C=d,C=2r 注:圆周率是一个无限不循环小数,3.14是近似值。 3、 周长的变化的规律:半径扩大多少倍直径也扩大多少倍,周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。 4、 半圆周长=圆周长一半+直径=2r=r+d (3) 圆的面积S 1、 圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积,一般用字母S表示。 2、 圆的面积计算公式:S=r2 3、 圆环的面积计算公式:S=R2r2 (R为外圆半径,r为内圆半径) 4、 几种图形,在面积相等的情况下,圆的周长最短,而长方形的周长最长;反之,在周长相等的情况下,圆的面积则最大,而长方形的面积则最小。 周长相同时,圆面积最大,利用这一特点,将篮子、盘子做成圆形。 5、 圆面积的变化的规律:半径扩大多少倍直径、周长也同时扩大多少倍,圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。如果: r1r2r3=d1d2d3=c1c2c3=234 则:S1S2S3=4916 (4) 扇形 1、 弧:圆上任意两点之间的部分叫做弧。 2、 扇形:一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 3、圆心角:由两条半径组成,顶点在圆心的角叫做圆心角。 4、在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。 题型: 1、当圆规两脚间的距离为4厘米时,画出圆的周长是( )厘米。2、在一张长8厘米,宽12厘米的长方形纸上画一个最大的圆,这个圆的直径是( ),面积是( ),周长是( )。 3、一个环形的外圆直径是10cm,内圆直径是8cm,它的面积( ) cm2。 4、一个圆的半径扩大2倍,它的周长扩大( )倍,面积扩大( )倍。 5、周长相等的正方形、长方形和圆,( )的面积最大。 A、正方形 B、长方形 C、圆 6、一个花坛,直径5米,在它的周围有一条宽1米的环形小路,小路的面积是多少平方米? 第六单元百分数 (1) 百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几。 注:百分数是专门用来表示一种特殊的倍比关系的,表示两个数的比,所以,百分数又叫百分比或百分率,百分数不能带单位。 (2) 百分数和分数的区别和联系: (1) 联系:都可以用来表示两个量的倍比关系。 (2) 区别:意义不同:百分数只表示倍比关系,不表示具体数量,所以不能带单位。分数不仅表示倍比关系,还能带单位表示具体数量。百分数的分子可以是小数,分数的分子只以是整数。 注:百分数在生活中应用广泛,所涉及问题基本和分数问题相同,分母是100的分数并不是百分数,必须把分母写成“%”才是百分数,所以“分母是100的分数就是百分数”这句话是错误的。“%”的两个0要小写,不要与百分数前面的数混淆。一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以超过100%。一般出粉率在70、80%,出油率在30、40%。(3)小数、分数、百分数之间的互化 百分数化小数:小数点向左移动两位,去掉“%”。 小数化百分数:小数点向右移动两位,添上“%”。 百分数化分数:先把百分数写成分母是100的分数,然后再化简成最简分数。 分数化百分数:分子除以分母得到小数,(除不尽的保留三位小数)然后化成百分数。 小数 化 分数:把小数成分母是10、100、1000等的分数再化简。 分数 化 小数:分子除以分母。 (3) 百分数应用题 1、 求常见的百分率 如:达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几 2、 求一个数比另一个数多(或少)百分之几,实际生活中,人们常用增加了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加、或减少的幅度。 求甲比乙多百分之几 (甲-乙)乙 求乙比甲少百分之几 (甲-乙)甲 3、 求一个数的百分之几是多少 一个数(单位“1”) 百分率 4、 已知一个数的百分之几是多少,求这个数 部分量百分率=一个数(单位“1”) 5、 百分数应用题型分类 (1) 求甲是乙的百分之几(甲乙)100% = 100% = 百分之几 (2) 求甲比乙多(少)百分之几 100% = 100% 例 甲是50,乙是40,甲是乙的百分之几?(50是40的百分之几?)5040=125% 甲是50,乙是40,乙是甲的百分之几?(40是50的百分之几?)4050=80% 乙是40,甲是乙的125%,甲数是多少?(40的125%是多少?)40125%=50 甲是50,乙是甲的80%,乙数是多少?(50的80%是多少?)5080%=40 乙是40,乙是甲的80%,甲数是多少?(一个数的80%是40,这个数是多少?)4080%=50 甲是50,甲是乙的125%,乙数是多少?(一个数的125%是50,这个数是多少?)50125%=40 甲是50,乙是40,甲比乙多百分之几?(50比40多百分之几?)(50-40)40100%=25% 甲是50,乙是40,乙比甲少百分之几?(40比50少百分之几?)(50-40)50100%=20% 甲比乙多25%,多10,乙是多少?1025%=40 甲比乙多25%,多10,甲是多少?1025%+10=50 乙比甲少20%,少10,甲是多少?1020%=50 乙比甲少20%,少10,乙是多少?1020%-10=40 乙是40,甲比乙多25%,甲数是多少?(什么数比40多25%?)40(1+25%)=50 甲是50,乙比甲少20%,乙数是多少?(什么数比50多25%?)50(1-20%)=40 乙是40,比甲少20%,甲数是多少?(40比什么数少20%?)40(1-20%)=50 甲是50,比乙多25%,乙数是多少?(50比什么数多25%?)40(1+25%)=40 题型: 1、 某班有学生50人,病假1人,出勤率为( )%。 2、进行玉米发芽实验,有46粒发芽,有4粒没有发芽,发芽率为( )%。 3、栽800棵树,有40棵没有成活,成活率为( )%。 4、应用题。 现在买一台收音机用160元,比过去少用85元,收音机售价降低了百分之几 ? 加工一批零件,计划8天完成任务,实际只用了5天就完成了任务,工作效率提高了百分之几? 机床厂生产一批零件,合格品有385个,不合格品有17个,这批零件的合格率是多少? 第七单元扇形统计图 1、 扇形统计图的意义:用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间关系,也就是各部分数量占总数的百分比,因此也叫百分比图。 2、 常用统计图的优点: (1) 条形统计图直观显示每个数量的多少。 (2) 折线统计图不仅直观显示数量的增减变化,还可清晰看出各个数量的多少。 (3) 扇形统计图直观显示部分和总量的关系。 题型: 1、 选择题。(把正确答案的序号填在括号里) 1 气象员记录一天的气温变化,比较适合的统计图是( )。 A. 条形统计图 B.扇形统计图 C.折线统计图 D.复式条形统计图 2 如下图, 面积最大的是( )。A. 大洋洲 B.北美洲 C.亚洲 D.非洲 2、 下图是正常大气中主要成分所占的比率,请根据统计图回答问题。 1 正常大气中,哪种成分占的比率最大?是多少? 2 哪种气体是人和动物所必需的?占的比率是多少? 3 其他气体占的比率是多少? 3、 下图是夏日超市某日卖出各种蔬菜情况统计图,请你看图回答问题。 1 图中表示黄瓜的量是总数的_%。 2 若卖出茄子80千克,则卖出黄瓜_千克,青菜_千克。 3有些同学喜欢吃肉,不喜欢吃蔬菜,这样饮食合理吗?为什么? 第八单元、数学广角1、 研究中国古代的鸡兔同笼问题。1、 用表格方式解决有局限性,数目必须小,例:头数鸡(只)兔(只)腿数3513413835233136(逐一列表法、腿数少,小幅度跳跃;腿数多,大幅度跳跃。跳跃逐一相结合、取中列表) 2、 用假设法解决 (1) 假如都是兔 (2) 假如都是鸡 (3) 假如它们各抬起一条腿 (4) 假如兔子抬起两条前腿 3、 用代数方法解(一般规律) 注释:这个问题,是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前,孙子算经中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔? 二、和尚分馒头 100个和尚吃100个馒头,大和尚一人吃3个,小和尚三人吃1个。大、小和尚各多少人? 方法一,用方程解: 解:设大和尚有x人,则小和尚有(100x)人,根据题意列得方程: 3x +(100x)3=100 x25 1002575人 方法二,鸡兔同笼法: (1) 假设100人全是大和尚,应吃馒头多少个? 3100=300(个)(2) 这样多吃了几个呢? 300100=200(个) (3) 为什么多吃了200个呢?这是因为把小和尚当成大和尚。那么把小和尚当成大和尚时,每个小和尚多算了几个馒头? (33-1)3(个) (三个小和尚当成三个大和尚,一共吃了9个馒头,但实际只吃了1个馒头,即三个小和尚多算了8个馒头,再除以小和尚的人数就是一个小和尚多算的馒头) (4) 每个小和尚多算了个馒头,一共多算了200个,所以小和尚有: 小和尚:20075(人) 大和尚:1007525(人) 方法三,分组法: 由于大和尚一人分3只馒头,小和尚3人分一只馒头。我们可以把3个小和尚与1个大和尚编为一组,这样每组4个和尚刚好分4个馒头,那么100个和尚总共分为100(3+1)=25组,因为每组有1个大和尚,所以有25个大和尚;又因为每组有3个小和尚,所以有25375个小和尚。 这是直指算法统宗里的解法,原话是:置僧一百为实,以三一并得四为法除之,得大僧二十五个。所谓实便是被除数,法便是除数。列式就是: 100(3+1)=25(组) 大和尚:251=25(人) 小和尚:100-25=75(人)或253=75(人) 我国古代劳动人民的智慧由此可见一斑。 3、 整
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