振动之阻尼弹簧振子的受迫振动.ppt

*范例5.8 阻尼弹簧振子的受迫振动 一弹簧振子的质量为m，劲度系数为k，振子除了受到阻力f = -x之外，还受到周期性的外力的作用F = F0cost，其中是 F0驱动力的幅值，是驱动力的圆频率。(1)当物体静止在平 衡位置时驱动力开始作用于物体上，讨论物体运动的规律。 (2)受迫振动达到稳态时，讨论位移振幅和速度振幅与驱动力 频率的关系，并讨论振子产生共振的条件。 根据牛顿运动定律，物 体运动的微分方程为 取k/m = 02，/m = 2， 物体的运动方程可表示为 其解等于齐次微分方程的通解x1与特解x2之和。 解析(1)物体在周期性的外力持续作用下发生的 振动称为受迫振动，周期性的外力称为驱动力。 特解也用复数表示 代入微分方程得 解得 复振幅为 特解用复数的实部表示为 x2 = Acos(t + ) 为了简单地求特解，将驱动力用复数表示 其 中 *范例5.8 阻尼弹簧振子的受迫振动 取齐次式 微分方程的解为x1 = e-t(Ccost + Csint)， 其中阻尼圆频率为 C和C是常数。 v=-e-t(Ccost+Csint)+e-t(-Csint+Ccost)-Asin(t+) 当物体从静止开始运动时，即当t = 0时，有x = 0，v = 0，可得 0 = C + Acos，解得 C = -Acos， 速度为 通解为 通解为可表示为x1 = A1e-tcos(t + ), x = x1 + x2 = e-t(Ccost + Csint) + Acos(t + ) 0 = -C + C - Asin 振幅和初相分别为 x1是减幅振动，x2是等幅振动，物体的振动是两个振动的合成。 *范例5.8 阻尼弹簧振子的受迫振动 物体在作受迫振动时，减幅振动的位移随时间逐渐衰减为零， 如果约化阻尼因子/0为0.1，约化驱动力圆频率/0为2， 两个振动叠加之后，开始时的位移比较复杂，经过一定的时间，减幅 振动衰减之后，物体作等幅振动，其圆频率等于驱动力的圆频率。 等幅振动的圆频率比减幅振动的圆频率大， 如果约化阻尼因子不变，约化驱动力圆频率/0为6， 受迫振动的振幅随着减幅振动起伏，最后成为等幅振动。 等幅振动的圆频率比减幅振动的圆频率更大，因而振动得更快。 等幅振动的圆频率比减幅振动的圆频率小，因而振动得比较慢 。 约化阻尼因子不变，如果约化驱动力圆频率/0取0.6， 受迫振动开始时受到减幅振动的扭曲，最后成为等幅振动。 等幅振动的圆频率与固有圆频率相等，与减 幅振动的圆频率相近，因而振幅比较大。 约化阻尼因子不变，如果约化驱动力圆频率/0取1， 受迫振动的振幅随时间不断增加，最后成为等幅振动。 当驱动力的圆频率等于减幅振动的圆频率 时，物体受迫振动达到稳定后的振幅最大 。 *范例5.8 阻尼弹簧振子的受迫振动 一弹簧振子的质量为m，劲度系数为k，振子除了受到阻 力f = -x之外，还受到周期性的外力的作用F = F0cost， 其中是F0驱动力的幅值，是驱动力的圆频率。(2)受迫振 动达到稳态时，讨论位移振幅和速度振幅与驱动力频率 的关系，并讨论振子产生共振的条件。 当系统的阻尼因子一定时，振子的振幅由驱动力 的圆频率决定；振子的位移与驱动力并不同相。 通常 0，当0时，AF0/m02，0 ；当时，A0，-。 解析(2)振子在作受迫振动时，经过一定的时间， x10，xx2 = Acos(t + )，振子的运动达到稳态。 这种位移振幅达到最大值的现象称为位移共振。 最大位移振幅的圆频率范围在0到0之间，而 最大位移振幅可以从F0/m02达到无穷大。 在位移共振 时，初相为 可见：位移共振的初相小于零。 x = Acos(t + ), *范例5.8 阻尼弹簧振子的受迫振动 为了计算最大振幅，设A的分母的平方为 令dy/d = 0，可得 容易验证，这就是振幅取极大值的条件，当然要求 极大值为 物体的速度为 其中速度振幅为 可见：当0时， 速度振幅vm0。 由于 x = Acos(t + ), 可知：当时，速 度振幅也有vm0。 当 = 0时，速度振 幅最大，最大值为 这种速度振幅达到最大 值的现象称为速度共振 。 当发生速度共振时，初相 = -/2；速度和驱动力是同 相的，即速度的方向与驱动力的方向总是保持一致的。 *范例5.8 阻尼弹簧振子的受迫振动 当0.7070时，物体 的位移振幅随外力圆频 率的增加先增后减。 当0.7070时，物体 的位移振幅随外力圆 频率的增加而减小。 不论阻尼因子是多 少，所有曲线的起 点和终点都相同。 位移振幅的峰值 随阻尼因子的减 小而增加，或者 随外力的圆频率 的增加而增加， 峰值分布在0到 0之间。 不论阻尼因子是多 少，当驱动力的圆 频率很低时，位移 与驱动力就接近同 步； 位移初相就是位移与 驱动力的相差，相差 都小于零，表示位移 滞后驱动力。 当驱动力圆频率很大时 ，位移的初相趋于-， 位移与驱动力反相。 随着驱动力圆频率增加 ，位移越来越滞后驱动 力，当驱动力圆频率等 于自由振动圆频率时， 位移比驱动力滞后/2； 位移振幅的峰值 所对应的初相在- /2到0