几个二次函数最值例题含答案.doc

一解答题（共6小题）1（2011成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，ABC的面积SABC=15，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过A、B、C三点（1）求此抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由2（2011南充）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m4，0）和B（m，0），与直线y=x+p相交于点A和点C（2m4，m6）（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且以点P和A，C以及另一点Q为顶点的平行四边形面积为12，求点P，Q的坐标；（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当PQM的面积最大时，请求出PQM的最大面积及点M的坐标3（2013湖州校级模拟）已知，如图，二次函数y=ax2+2ax3a（a0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：y=+对称（1）A坐标为B坐标为；H坐标为；（2）求二次函数解析式；（3）在x轴上找一点P，使得|PAPH|最大，求P点坐标；（4）过点B作直线BKAH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值4（2014成都）如图，已知抛物线y=（x+2）（x4）（k为常数，且k0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=x+b与抛物线的另一交点为D（1）若点D的横坐标为5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？5（2013成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由6（2012东莞）如图，抛物线y=x2x9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D设AE的长为m，ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留）参考答案与试题解析一解答题（共6小题）1（2011成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，ABC的面积SABC=15，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过A、B、C三点（1）求此抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题【分析】（1）由已知设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由SABC=ABOC=15，可求m的值，确定A、B、C三点坐标，由A、B两点坐标设抛物线交点式，将C点坐标代入即可；（2）设E点坐标为（m，m24m5），抛物线对称轴为x=2，根据2|m2|=EF，列方程求解；（3）存在因为OB=OC=5，OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x5，则直线y=x+9或直线y=x19与BC的距离为7，将直线解析式与抛物线解析式联立，求M点的坐标即可【解答】解：（1）OA：OB=1：5，OB=OC，设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由SABC=ABOC=15，得6m5m=15，解得m=1（舍去负值），A（1，0），B（5，0），C（0，5），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x5），将C点坐标代入，得a=1，抛物线解析式为y=（x+1）（x5），即y=x24x5；（2）设E点坐标为（n，n24n5），抛物线对称轴为x=2，由2（n2）=EF，得2（n2）=（n24n5）或2（n2）=n24n5，解得n=1或n=3，n0，n=1+或n=3+，边长EF=2（n2）=22或2+2；（3）存在由（1）可知OB=OC=5，OBC为等腰直角三角形，即B（5，0），C（0，5），设直线BC解析式为y=kx+b，将B与C代入得：，解得：，则直线BC解析式为y=x5，依题意MBC中BC边上的高为，直线y=x+9或直线y=x19与BC的距离为7，联立，解得或，M点的坐标为（2，7），（7，16）【点评】本题考查了二次函数的综合运用关键是采用形数结合的方法，准确地用点的坐标表示线段的长，根据图形的特点，列方程求解，注意分类讨论2（2011南充）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m4，0）和B（m，0），与直线y=x+p相交于点A和点C（2m4，m6）（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且以点P和A，C以及另一点Q为顶点的平行四边形面积为12，求点P，Q的坐标；（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当PQM的面积最大时，请求出PQM的最大面积及点M的坐标【考点】二次函数综合题；解二元一次方程组；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质菁优网版权所有【专题】计算题；代数几何综合题；压轴题【分析】（1）把点A（m4，0）和C（2m4，m6）代入直线y=x+p上得到方程组，求出方程组的解，得出A、B、C的坐标，设抛物线y=ax2+bx+c=a（x3）（x+1），把C（2，3）代入求出a即可；（2）AC所在直线的解析式为：y=x1，根据平行四边形ACQP的面积为12，求出AC边上的高为2，过点D作DKAC与PQ所在直线相交于点K，求出DK、DN，得到PQ的解析式为y=x+3或y=x5，求出方程组的解，即可得到P1（3，0），P2（2，5），根据ACQP是平行四边形，求出Q的坐标；同法求出以AC为对角线时P、Q的坐标；（3）设M（t，t22t3），（1t3），过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线于点T，则T（t，t+3），求出MT=t2+t+6，过点M作MSPQ所在直线于点S，求出MS=（t）2+，即可得到答案【解答】解：（1）点A（m4，0）和C（2m4，m6）在直线y=x+p上，解得：，A（1，0），B（3，0），C（2，3），设抛物线y=ax2+bx+c=a（x3）（x+1），C（2，3），代入得：3=a（23）（2+1），a=1抛物线解析式为：y=x22x3答：抛物线解析式为y=x22x3（2）解：A（1，0），C（2，3），由勾股定理得：AC=3，AC所在直线的解析式为：y=x1，BAC=45，平行四边形ACQP的面积为12，平行四边形ACQP中AC边上的高为=2，过点D作DKAC与PQ所在直线相交于点K，DK=2，DN=4，四边形ACQP，PQ所在直线在直线ADC的两侧，可能各有一条，根据平移的性质得出直线PQ的解析式为y=x+3或y=x5，由得：，解得：或，由得：，方程组无解，即P1（3，0），P2（2，5），ACQP是平行四边形，A（1，0），C（2，3），当P（3，0）时，当以AC为边时，Q1（6，3），Q2（0，3），满足条件的P，Q点是P1（3，0），Q1（6，3）或P2（2，5），Q2（1，2）；当P（2，5）时，当以AC为边时，Q3（1，2），Q4（5，8），以AC为对角线时，P到AC的距离是122（3）=2，过C作CRAC交x轴于R，则AC=CR=3，由勾股定理得：AR=6，则R的坐标是（5，0）过R作AC的平行线交抛物线于两点，则此直线的解析式是y=（x6）1=x+5，解方程组得：，即在AC的两旁各有一条直线，但当在AC下方时，直线和抛物线不能相交，此时P坐标是（，），Q坐标是（，）或P的坐标是（，）Q的坐标是（，）答：点P，Q的坐标是P1（3，0），Q1（6，3）或（0，3）或P2（2，5），Q2（1，2）或（5，8），或P3（，），Q3（，）或P4（，），Q4（，）（3）解：设M（t，t22t3），（1t3），过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线于点T，则T（t，t+3），MT=（t+3）（t22t3）=t2+t+6，过点M作MSPQ所在直线于点S，MS=MT=（t2+t+6）=（t）2+，则当t=时，M（，），PQM中PQ边上高的最大值为，P1（3，0），Q1（6，3）或P2（2，5），Q2（1，2）当P（3，0），Q（6，3）时，PQ=3当P（2，5），Q（1，2）时，PQ=3，SPQM=PQ=答：PQM的最大面积是，点M的坐标是（，）【点评】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，平行四边形的性质，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度3（2013湖州校级模拟）已知，如图，二次函数y=ax2+2ax3a（a0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：y=+对称（1）A坐标为（3，0）B坐标为（1，0）；H坐标为（1，2）；（2）求二次函数解析式；（3）在x轴上找一点P，使得|PAPH|最大，求P点坐标；（4）过点B作直线BKAH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）设A（x1，0），B（x2，0），根据交点和系数的关系得出，解得x1=3，x2=1，从而求得A（3，0），B（1，0），由直线l：y=+可知，tanOAC=，求得OC=，作HEAB于E，根据三角形中位线的性质求得H的纵坐标，根据A、B的坐标求得H的横坐标；（2）把H点的坐标代入y=ax2+2ax3a（a0），求得a的值即可；（3）根据|PAPH|AH，即可求得P和A重合，即可求得P的坐标；（4）根据待定系数法求出过A和H点的直线解析式，因为过点B作直线BKAH交直线l于K点，所以直线BK的斜率和直线AH的相等，又过B，所以可求出直线BK的解析式，再把直线l的解析式和BK的解析式联立，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案【解答】解：（1）设A（x1，0），B（x2，0），解得x1=3，x2=1，A（3，0），B（1，0），由直线l：y=+可知，tanOAC=，OC=3=，作HEAB于E，如图1，OCHE，HC=BC，HE=2OC=2，=1，H（1，2）；故答案为（3，0），（1，0），（1，2）；（2）把H（1，2）代入y=ax2+2ax3a得，2=a2a3a，解得a=，二次函数解析式为y=x2x+；（3）|PAPH|AH，当P点和A点重合时|PAPH|最大，P（3，0）；（4）设直线AH的解析式为y=kx+b，把A和H点的坐标代入求出k=，b=3，过点B作直线BKAH，直线BK的解析式为y=mx+n中的m=，又因为B在直线BK上，代入求出n=，直线BK的解析式为：y=x，联立，解得：，交点K的坐标是（3，2），则BK=4，点H、B关于直线AK对称，K（3，2），HN+MN的最小值是MB，KD=KE=2，过K作KDx轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，KD=KE=2，则QM=MK，QE=EK=2，AEQK，根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，BKAH，BKQ=HEQ=90，由勾股定理得QB=8，HN+NM+MK的最小值为8【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与x轴的交点，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度4（2014成都）如图，已知抛物线y=（x+2）（x4）（k为常数，且k0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=x+b与抛物线的另一交点为D（1）若点D的横坐标为5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】代数几何综合题；压轴题【分析】（1）首先求出点A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得k的值；（2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以ABP为钝角因此若两个三角形相似，只可能是ABCAPB或ABCPAB如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF如答图3，作辅助线，将AF+DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点【解答】解：（1）抛物线y=（x+2）（x4），令y=0，解得x=2或x=4，A（2，0），B（4，0）直线y=x+b经过点B（4，0），4+b=0，解得b=，直线BD解析式为：y=x+当x=5时，y=3，D（5，3）点D（5，3）在抛物线y=（x+2）（x4）上，（5+2）（54）=3，k=抛物线的函数表达式为：y=（x+2）（x4）（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=k，C（0，k），OC=k因为点P在第一象限内的抛物线上，所以ABP为钝角因此若两个三角形相似，只可能是ABCAPB或ABCPAB若ABCAPB，则有BAC=PAB，如答图21所示设P（x，y），过点P作PNx轴于点N，则ON=x，PN=ytanBAC=tanPAB，即：，y=x+kP（x，x+k），代入抛物线解析式y=（x+2）（x4），得（x+2）（x4）=x+k，整理得：x26x16=0，解得：x=8或x=2（与点A重合，舍去），P（8，5k）ABCAPB，即，解得：k=若ABCPAB，则有ABC=PAB，如答图22所示与同理，可求得：k=综上所述，k=或k=（3）如答图3，由（1）知：D（5，3），如答图22，过点D作DNx轴于点N，则DN=3，ON=5，BN=4+5=9，tanDBA=，DBA=30过点D作DKx轴，则KDF=DBA=30过点F作FGDK于点G，则FG=DF由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF，t=AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段过点A作AHDK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点A点横坐标为2，直线BD解析式为：y=x+，y=（2）+=2，F（2，2）综上所述，当点F坐标为（2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少【点评】本题是二次函数压轴题，难度很大第（2）问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数k，增加了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第（3）问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体会5（2013成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）i）首先求出直线AC的解析式和线段PQ的长度，作为后续计算的基础若MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为此时，将直线AC向右平移4个单位后所得直线（y=x5）与抛物线的交点，即为所求之M点；当PQ为斜边时：点M到PQ的距离为此时，将直线AC向右平移2个单位后所得直线（y=x3）与抛物线的交点，即为所求之M点ii）由（i）可知，PQ=为定值，因此当NP+BQ取最小值时，有最大值如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B，由分析可知，当B、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段BF的长度【解答】解：（1）等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，1），C的坐标为（4，3）点B的坐标为（4，1）抛物线过A（0，1），B（4，1）两点，解得：b=2，c=1，抛物线的函数表达式为：y=x2+2x1（2）i）A（0，1），C（4，3），直线AC的解析式为：y=x1设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上点P在直线AC上滑动，可设P的坐标为（m，m1），则平移后抛物线的函数表达式为：y=（xm）2+m1解方程组：，解得，P（m，m1），Q（m2，m3）过点P作PEx轴，过点Q作QFy轴，则PE=m（m2）=2，QF=（m1）（m3）=2PQ=AP0若以M、P、Q三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为（即为PQ的长）由A（0，1），B（4，1），P0（2，1）可知，ABP0为等腰直角三角形，且BP0AC，BP0=如答图1，过点B作直线l1AC，交抛物线y=x2+2x1于点M，则M为符合条件的点可设直线l1的解析式为：y=x+b1，B（4，1），1=4+b1，解得b1=5，直线l1的解析式为：y=x5解方程组，得：，M1（4，1），M2（2，7）当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为如答图2，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，1）由A（0，1），F（2，1），P0（2，1）可知：AFP0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为过点F作直线l2AC，交抛物线y=x2+2x1于点M，则M为符合条件的点可设直线l2的解析式为：y=x+b2，F（2，1），1=2+b2，解得b2=3，直线l2的解析式为：y=x3解方程组，得：，M3（1+，2+），M4（1，2）综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：M1（4，1），M2（2，7），M3（1+，2+），M4（1，2）ii）存在最大值理由如下：由i）知PQ=为定值，则当NP+BQ取最小值时，有最大值如答图2，取点B关于AC的对称点B，易得点B的坐标为（0，3），BQ=BQ连接QF，FN，QB，易得FNPQ，且FN=PQ，四边形PQFN为平行四边形NP=FQNP+BQ=FQ+BQFB=当B、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为的最大值为=【点评】本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换（平移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称最短路线问题等知识点，考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，试题难度较大6（2012东莞）如图，抛物线y=x2x9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过