工程力学第二章汇交力系.ppt

第二章 汇交力系 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 引引 言言 力系作用在物体上力的总称（力的集合） 根据力的作用线是否共面可分为： 平面力系 空间力系 根据力的作用线是否汇交可分为： 汇交力系 平行力系 任意力系 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 2-1 汇交力系的合成 汇交力系：各力的作用线汇交于一点的力系 包括: 平面汇交力系 空间汇交力系 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 一、力的可传性 作用于刚体上某点的力，可以沿其作用线移到刚体 内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。 A F B A F 作用在刚体上力的三要素： 力的大小 方 向 作 用 线 滑移矢量 = 2-1 2-1 汇交力系的合成汇交力系的合成 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 2-1 汇交力系的合成 二、合成过程 A P1F1 P2 F2 Pn Fn P3 F3 A F1 F2 F3 Fn 平行四边形法则 汇交力系的合成结果： 作用于原力系汇交点的一个合力。 合力矢： 力多边形法则 或： 作用点：原力系的汇交点。 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY l l 注意：注意： . .要选择恰当的长度比例尺和力的比例尺。要选择恰当的长度比例尺和力的比例尺。 . .作力多边形时，可以任意变换力的次序，作力多边形时，可以任意变换力的次序， 虽然得到形状不同的力多边形，但合成的结 虽然得到形状不同的力多边形，但合成的结 果不改变。 果不改变。 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY . .力多边形中诸力应首尾相连，合力的方向则是从第一个力力多边形中诸力应首尾相连，合力的方向则是从第一个力 的起点指向最后一个力的终点。的起点指向最后一个力的终点。 . .区分力系的主矢和合力是两个不同的概念。区分力系的主矢和合力是两个不同的概念。 l l 力系中各力矢的矢量和称为力系的主矢。主矢是一个几何量，有大小和力系中各力矢的矢量和称为力系的主矢。主矢是一个几何量，有大小和 方向，但不涉及作用点问题，可在任意点画出。方向，但不涉及作用点问题，可在任意点画出。 l l 合力是一物理量，除了大小和方向，还必须说明其作用点才有意义。合力是一物理量，除了大小和方向，还必须说明其作用点才有意义。 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 思考题：: 1.平面汇交力系可合成为_个合力,其作用线通过_, 其大小和方向可用力多边形的_表示. 1 力系的汇交点 封闭边 力多边形法则力多边形法则 封闭边封闭边 位置图力矢图 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 2. ( a) ( b)( c) ( a)图中四个力的关系为_,其矢量表达式为_; ( b)图中四个力的关系为_,其矢量表达式为_; ( c)图中四个力的关系为_,其矢量表达式为_; CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 受力分析小结： （1）必须明确研究对象，正确取分离体。 （2）正确分析约束反力的方位（或方向）。 （3）必须画出研究对象上全部受力，包括：主动力和约束反力 。每解除一个必须有相应的约束反力代替。 须按约束的类型（或性质）确定反力的方位，切忌凭 直观任意猜想。 两物体间的相互作用力须按作用与反作用定律分析。 光滑铰链约束反力的三种情况（按铰链约束的性质、二 力构件、三力平衡汇交定理分析）。 （4）必须明确每个力的施加者。 （5）内力在受力图上不画。 （6）正确标注各力的符号：FA 、 FAx 、 FAy CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 三、汇交力系合成的解析法（投影法）：三、汇交力系合成的解析法（投影法）： 2-1 2-1 汇交力系的合成汇交力系的合成 力在坐标轴上的投影 力在坐标轴上的投影 平面力矢的投影 Fx Fy x A B F O y Fx Fy a1 b1 a2 b2 力的投影是代数量（只有大小、正负号的量） 投影的正负号由 确定。 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 空间力矢的投影 直接投影法 x y z O F 已知力F 与三个坐标轴的夹 角分别为 二次投影法 已知、 ， 为F在xy平面 内的投影与x轴的夹角 O y x z F Fxy CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 大小： 方向： 其中，为F关于x、y、z轴的夹角。 如果已知一力在直角坐标轴上的投影分别为 则该力的大小和方向分别为： O x y z F Fx Fy Fz 力的解析表示： 力F沿坐标轴方向的分力 因此，力F的解析表达式为： O x y z F Fx Fy Fz CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 力的投影与分力的关系 力的投影是代数量，只有大小和正负。 分力是矢量，有大小和方向。 区别 联系 在直角坐标系中，力F 沿轴向的分力 大小和力的投影的绝对值相等。 而当坐标轴不相互垂直时，轴向分 力与力的投影在数值上不相等。 F x y o 2-1 2-1 汇交力系的合成汇交力系的合成 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 结论与讨论结论与讨论 力在轴上的投影和力沿轴的分量之间的关系 (1)力的投影是代数量，力的分量是矢量 (2)不论是否为直角坐标系，力的投影都按下式计算： 、分别为力F与Ox、Oy轴的夹角。 (3)分力 应按平行四边形法则计算 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 可见，力在轴上的投影和力沿轴的分量的大小不一定相等可见，力在轴上的投影和力沿轴的分量的大小不一定相等 结论与讨论结论与讨论 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 2-1 2-1 汇交力系的合成汇交力系的合成 汇交力系合成的解析法汇交力系合成的解析法 F n F3 F2 F1 An A2 A1 A3 两边向坐标轴投影得： 合力在坐标轴上投影 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 合力投影定理 合力在任一坐标轴上的投影等于力系中各 力在同一轴上投影的代数和。 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例： i j k 已知：F1=12k， F2=4j， F3=3i ( 力的单位为N）。各力作用点的 坐标为： O（0，0，0），A（0，a，0） ，B（b1，b2，0)（ b2=0）。 求：该力系的主矢量大小与方 向。 解：主矢量的模： 主矢量的方向： CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 求如图所示平面共点力系的合力。其中：求如图所示平面共点力系的合力。其中：F F 1 1 = 200 N= 200 N，F F 2 2 = 300 N= 300 N，F F 3 3 = 100 N= 100 N，F F 4 4 = 250 N= 250 N。 例：例： 解：解： 根据合力投影定理，得合力在轴 x，y上的投影分别为： F F2 2 F F4 4 F F1 1 x x y y O O F F3 3 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 合力的大小： 合力与轴x，y夹角的方向余弦为： 所以，合力与轴x，y的夹角分别为： F2 F4 F1 x y O F3 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例 已知：F、， 试求：Fx、Fy、Fz。 解： 2-1 2-1 汇交力系的合成汇交力系的合成 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 2-2 2-2 汇交力系的平衡条件汇交力系的平衡条件 平衡条件：平衡条件： 对于汇对于汇交力交力系，系，平衡的充要条件为：平衡的充要条件为： 几何条件：几何条件： 力力多边形自行封闭（各力矢首尾相接）多边形自行封闭（各力矢首尾相接） F1 F2 F3 Fn P1F1 P2 F2 Pn Fn P3 F3 F4 F4 F1 F2 F3 Fn 力多边形自行封闭自行封闭( (平衡)合成的力多边形 A 刚体在某力系作用下维持平衡状态，该力系各力应满足的条件 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例例 题题 已知：P，a 求：A、B处约束反力。 2 2a a P a a A B C D 解：解： （1 1）取刚架为研究对象）取刚架为研究对象 （2 2）画受力图）画受力图 （3 3）按比例作图求解）按比例作图求解 FB FA P FB FA 由图中的几何关系得由图中的几何关系得 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 解析条件： 合力的大小： 空间汇交力系的平衡方程：空间汇交力系的平衡方程： 力系中各力在直角坐标系每一轴上的投影代数和都等于零。 汇交力系平衡的解析条件：汇交力系平衡的解析条件： 特别地： 平面汇交力系： 平衡方程： =0 2-2 2-2 汇交力系的平衡条件汇交力系的平衡条件 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例例 题题 已知：P，a 求：A、B处约束反力。 2 2a a P a a A B C D 解：解： （1 1）取刚架为研究对象）取刚架为研究对象 （2 2）画受力图）画受力图 FB x y 解上述方程，得 （3 3）建立坐标系，列方程求解）建立坐标系，列方程求解 FA CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 三、平衡问题的解法 基本步骤：1.选取研究对象 2.进行受力分析 3.由平衡方程求解未知量 注:1.应用平面汇交平衡的解析条件可以求解两个未知量。 2.解题时，未知力的指向可先假设，若计算结果为正值， 则表示所设指向与力的实际指向相同； 3.选坐标轴以投影方便为原则； 4.注意投影的正负和大小计算； CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例 已知：系统如图，重力P=20kN，用钢丝绳挂在铰车D计滑 轮B上。A、B、C处为光滑铰链连接。不计杆、轮自重，忽 略摩擦和滑轮大小 ，试求平衡时杆AB和BC所受的力 。 解：AB、BC杆为二力杆， 取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建图示坐标系 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 简易起重装置。已知：起吊重物的重量为P=2kN，杆AB处于水平位 置，其余几何关系如图，不计滑轮尺寸。试求重物匀速提升时杆AB 和AC的受力。 x y F P FAC FAB 解: 一、解析法 （1）适当选取研究对象 滑轮A连同重物 （2）受力分析: （3）建立适当的坐标系: Axy； （4）列平衡方程求解 由（2）式可求得 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 再由（1）式可求得 二、几何法 （1）适当选取研究对象 （2）受力分析: （3）取一适当的比例尺，作平衡的力多边形 作力多边形的顺序：先主动，后约束反力。 按力多边形首尾相接、自行封闭的条件确定未知反力的指向。 （4）按比例尺量取未知力的大小。 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY P FAC FAB F 30 30 量得： 1kN 对于二力杆需说明：其拉压性质。杆AB受拉，杆AC受压。 F P FAC FAB CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 图示刚架，在B点受一水平力P作用。P=20kN， 刚架重量不计。求A、D处的约束反力。 P FA FAx FAy FD 解： 一、解析法 (1)取刚架为研究对象； (2)受力分析如图（平面汇交力系）； (3)建立图示坐标系； (4)列平衡方程求解； CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 二、几何法 作平衡的力多边形： 由三角关系得： FA FD P P FA FD CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 思考题: 1.平面汇交力系可合成为_个合力,其作用线通过_, 其大小和方向可用力多边形的_表示. 2.力在正交坐标轴上的投影的大小与力沿这两个轴的分力的大小 _;力在互不垂直的两个轴上的投影的大小与力沿这两个轴 的分力的大小_. 3.平面汇交力系平衡的充要条件_. 1 力系的汇交点 封闭边 相等 不相等 力系的合力为零 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 4.平面汇交力系平衡的几何条件_; 平面汇交力系平衡的解析条件_. 5.平面汇交力系有_个独立的平衡方程,可求解_个未知量. 力多边形自行封闭边 2 2 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 5. ( a) ( b)( c) ( a)图中四个力的关系为_,其矢量表达式为_; ( b)图中四个力的关系为_,其矢量表达式为_; ( c)图中四个力的关系为_,其矢量表达式为_; CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 如图轧路碾子自重G = 20 kN，半径 R = 0.6 m，障碍物高h = 0.08 m碾子中心O处作用 一水平拉力F，试求: (1)当水平拉力F = 5 kN 时，碾子对地面和障碍物的压力；(2)欲将碾 子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；(3) 力F 沿什么方向拉动碾子最省力，此时力F为 多大。 R R O O A A h h F F B B CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 1. 选碾子为研究对象，受力分析如图b所示。 R R O O A A h h F F B B 再由力多边形图c 中各矢量的 几何关系可得 解得 (a)(a) A A B B O O G G F F F FA A F FB B (b)(b) F G G F FA A F FB B (c)(c) 解：解： 2. 画力的多边形 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 3. 碾子能越过障碍的力学条件是 F FA A = =0 0， 得封闭力三角形abc。 4. 拉动碾子的最小力为 A A B B O O G G F F F FA A F FB B 由此可得 a a F F F F minmin G G F FB B b b c c CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 重量为P的球用绳索挂在两互相垂直的墙角处，绳子与铅垂方向成角 不计球与墙间的摩擦。试求绳子的拉力与墙作用于球的反力。 解： 取球为研究对象； FD FA FB CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 例： 简易压榨机。汽缸活塞给水平推杆的力为P，几何关系如图。 试求托板给被压物体的力。 解：此题为物体 系统问题 如何选取研究对象？ 分析过程：从所求力所在构件开始，按力传递顺 序，逐个选取研究对象，直到主动力所在构件 F2 F1 F3 FB 物块 托板 杆AB 铰链A CHINA UNIVE