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文档简介
4.3 泰勒级数 上节看到，一个幂级数在其收敛圆内具有解析的和函 数，即，它在收敛圆内代表一个解析函数。 反过来，对于圆内解析的函数是否可以展开为级数呢？ 定理4.7 泰勒展开式 D 证明思路： 根据定理前提条件,知 （2） 如果 f (z)在z0解析, 则使 f (z)在z0的泰勒展开式成 立的圆域的半径 R等于从z0到 f (z)的距z0最近一个奇点a 的距离, 即R=|a-z0|. 注：（1）泰勒展开式的唯一性。【定理4.8】(采用反证 法证明） （1）直接展开法 利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数: 把 f (z)在z0展开成幂级数。 例1： 类似地， 解： （二）间接展开法 借助一些已知函数的展开式, 利用幂级数的运算（加 法，乘法，积分，求导等运算）和分析性质, 以唯一性为 依据来得出一个函数的泰勒展开式, 两式相乘得， 解： （方法二 待定系数法） 那么， 同次幂系数相等， 解 由于函数有一奇点z=-1, 而在|z|1内处处解析, 所 以可在|z|1内展开成z的幂级数. 对于多值函数，要先求出单值分支（主值），再计算 相应的泰勒展开式。 ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的 , -1是它的奇点, 所以可在|z|1展开为z的幂级数. -1O R=1 x y 解： 逐项积分得 而如果把函数中的x换成z, 在复平面内来看函数 1-z2+z4- 它有两个奇点i, 而这两个奇点都在此函数展开式的收敛 圆周上, 所以这个级数的收敛半径只能等于1. 因此, 即 使我们只关心z的实数值, 但复平面上的奇点形成了限制. 在实变函数中有些不易理解的问题, 一到复变函数中 就成为显然的事情, 例如在实数范围内, 展开式 的成立必须受|x|1的限制, 这一点往往使人难以理解, 因为上式左端的函数对任何实数都是确定的且可导的. 4.4 罗朗级数 一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在该 圆域内展开成z-z0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则 在z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示. 但是这种情 况在实际问题中却经常遇到. 因此, 在本节中将讨论在 以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法. 例： 4.4.1 罗朗级数的概念 定义4.6 在收敛圆环域内也具有. 例如, 可以证明, 上述级数在收 敛域内其和函数是解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导 . 幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数 现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂 级数? 注: (1)罗朗级数在形式上与泰勒级数 类似,它的证明也是类似的. (2)一般地,即使正幂项的系数也不 能利用高阶导数形式表示. 此时,罗朗级数退化为泰勒级数。柯西基本定理 高阶导数公式 （4）唯一性 解：
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