[经济学]概率论与数理统计课后习题答案下.doc

习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：XY01231003002.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：XY0123000102P(0黑,2红,2白)=03.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=求二维随机变量（X，Y）在长方形域内的概率.【解】如图 题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量（X，Y）的分布密度f（x，y）=求：（1） 常数A；（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；（3） P0X1，0Y2.【解】（1） 由得 A=12（2） 由定义，有 (3) 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=（1） 确定常数k；（2） 求PX1，Y3；（3） 求PX1.5；（4） 求PX+Y4.【解】（1） 由性质有故 （2） (3) (4) 题5图6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为fY（y）=求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） PYX.题6图【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为而所以 (2) 7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F（x，y）=求（X，Y）的联合分布密度.【解】8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求边缘概率密度.【解】 题8图 题9图9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求边缘概率密度.【解】 题10图10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=（1） 试确定常数c；（2） 求边缘概率密度.【解】（1） 得.(2) 11.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求条件概率密度fYX（yx），fXY（xy）. 题11图【解】 所以 12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.（1） 求X与Y的联合概率分布；（2） X与Y是否相互独立？【解】（1） X与Y的联合分布律如下表YX345120300(2) 因故X与Y不独立13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为XY2 5 80.40.80.15 0.30 0.350.05 0.12 0.03（1）求关于X和关于Y的边缘分布；（2） X与Y是否相互独立？【解】（1）X和Y的边缘分布如下表XY258PY=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2) 因故X与Y不独立.14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为fY（y）=（1）求X和Y的联合概率密度；（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.【解】（1） 因 故 题14图(2) 方程有实根的条件是故 X2Y，从而方程有实根的概率为： 15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f（x）=求Z=X/Y的概率密度.【解】如图,Z的分布函数(1) 当z0时，（2） 当0z0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（0p1），且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布.【解】(1) .(2) 24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X，而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u). 【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为 由于X和Y独立，可见 由此，得U的概率密度为 25. 25. 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求PmaxX,Y1.解：因为随即变量服从0，3上的均匀分布，于是有 因为X，Y相互独立，所以推得 .26. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为XY -1 0 1 -101a 0 0.20.1 b 0.20 0.1 c其中a,b,c为常数，且X的数学期望E(X)= -0.2,PY0|X0=0.5，记Z=X+Y.求：（1） a,b,c的值；（2） Z的概率分布；（3） PX=Z. 解 (1) 由概率分布的性质知，a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4.由，可得.再由 ,得 .解以上关于a，b，c的三个方程得.(2) Z的可能取值为-2，-1，0，1，2，即Z的概率分布为Z-2 -1 0 1 2P0.2 0.1 0.3 0.3 0.1(3) .习题四1.设随机变量X的分布律为X -1 0 1 2P1/8 1/2 1/8 1/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1) (2) (3) 2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为X012345P故 3.设随机变量X的分布律为X -1 0 1Pp1 p2 p3且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.【解】因,又,由联立解得4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？【解】记A=从袋中任取1球为白球，则 5.设随机变量X的概率密度为f（x）=求E（X），D（X）.【解】 故 6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.（1） U=2X+3Y+1；（2） V=YZ -4X.【解】(1) (2) 7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X -2Y），D（2X -3Y）.【解】(1) (2) 8.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=试确定常数k，并求E（XY）.【解】因故k=2.9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为fX（x）= fY（y）=求E（XY）.【解】方法一：先求X与Y的均值 由X与Y的独立性，得 方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为于是10.设随机变量X，Y的概率密度分别为fX（x）= fY（y）=求（1） E（X+Y）;（2） E（2X -3Y2）.【解】 从而(1)(2)11.设随机变量X的概率密度为f（x）=求（1） 系数c;（2） E（X）;（3） D（X）.【解】(1) 由得.(2) (3) 故 12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）.【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知 于是，得到X的概率分布表如下：X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得 13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为f（x）=为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和 -200元 故 (元).14.设X1，X2，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=，D（Xi）=2，i=1，2，n，记，S2=.（1） 验证=， =；（2） 验证S2=；（3） 验证E（S2）=2.【证】(1) (2) 因 故.(3) 因,故同理因,故.从而 15.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)= -1,计算：Cov（3X -2Y+1，X+4Y -3）.【解】 (因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】设. 同理E(Y)=0.而 ,由此得,故X与Y不相关.下面讨论独立性，当|x|1时， 当|y|1时，.显然故X和Y不是相互独立的.17.设随机变量（X，Y）的分布律为XY -1 0 1 -1011/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表X -101 PY -101 PXY -101 P由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.从而E(XY)=E(X)E(Y),再由相关系数性质知XY=0,即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.又从而X与Y不是相互独立的.18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），XY.【解】如图，SD=，故（X，Y）的概率密度为题18图从而同理而 所以.从而 19.设（X，Y）的概率密度为f（x，y）=求协方差Cov（X，Y）和相关系数XY.【解】 从而同理 又 故 20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为，试求Z1=X -2Y和Z2=2X -Y的相关系数.【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.从而 故 21.对于两个随机变量V，W，若E（V2），E（W2）存在，证明：E（VW）2E（V2）E（W2）.这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy -Schwarz）不等式.【证】令显然 可见此关于t的二次式非负，故其判别式0，即 故22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）. 【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间XE(),E(X)=5.依题意Y=min(X,2).对于y0,f(y)=PYy=0.对于y2,F(y)=P(Xy)=1.对于0y2,当x0时，在(0,x)内无故障的概率分布为PXx=1 -e -x,所以F(y)=PYy=Pmin(X,2)y=PXy=1 -e -y/5.23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【解】（1） Z的可能取值为0，1，2，3，Z的概率分布为, Z=k0123Pk因此，(2) 设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有 24.假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（,1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系T=问：平均直径取何值时，销售一个零件的平均利润最大？ 【解】 故得 两边取对数有解得 (毫米)由此可得，当u=10.9毫米时，平均利润最大.25.设随机变量X的概率密度为f(x)=对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于/3的次数，求Y2的数学期望.（2002研考）【解】令 则.因为及,所以,从而26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间Ti(i=1,2)服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T1+T2的概率密度fT(t)，数学期望E（T）及方差D（T）. 【解】由题意知：因T1,T2独立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t).当t0时，fT(t)=0;当t0时，利用卷积公式得故得由于Ti E(5),故知E(Ti)=,D(Ti)=(i=1,2)因此，有E(T)=E(T1+T2)=.又因T1,T2独立，所以D（T）=D（T1+T2）=.27.设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X -Y|的方差. 【解】设Z=X -Y，由于且X和Y相互独立，故ZN（0，1）.因 而 ，所以 .28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0p1=P=0,PX=1,Y= -1=PU -1,U1.故得X与Y的联合概率分布为.(2) 因,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相应为, .从而 所以31.设随机变量X的概率密度为f(x)=，（ -x+）(1) 求E（X）及D（X）；（2） 求Cov(X,|X|),并问X与|X|是否不相关？（3） 问X与|X|是否相互独立，为什么？ 【解】(1) (2) 所以X与|X|互不相关.(3) 为判断|X|与X的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域 -x+中的子区间（0,+）上给出任意点x0，则有所以故由得出X与|X|不相互独立.32.已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数XY= -1/2，设Z=.（1） 求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；（2） 求X与Z的相关系数XZ；（3） 问X与Z是否相互独立，为什么？ 【解】(1) 而所以 (2) 因 所以 (3) 由，得X与Z不相关.又因，所以X与Z也相互独立.33.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y表示正面向上和反面向上的次数.试求X和Y的相关系数. 【解】由条件知X+Y=n，则有D（X+Y）=D（n）=0.再由XB(n,p),YB(n,q)，且p=q=,从而有 所以 故= -1.34.设随机变量X和Y的联合概率分布为YX -1 0 1010.07 0.18 0.150.08 0.32 0.20试求X和Y的相关系数. 【解】由已知知E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而XY的概率分布为YX -101P0.080.720.2所以E（XY）= -0.08+0.2=0.12Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)=0.12 -0.60.2=0从而 =035.对于任意两事件A和B，0P(A)1，0P(B)1,则称=为事件A和B的相关系数.试证：（1） 事件A和B独立的充分必要条件是=0；（2） |1. 【证】（1）由的定义知，=0当且仅当P(AB) -P(A)P(B)=0.而这恰好是两事件A、B独立的定义，即=0是A和B独立的充分必要条件.(2) 引入随机变量X与Y为 由条件知，X和Y都服从0 -1分布，即 从而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B),D(X)=P(A)P(),D(Y)=P(B)P(),Cov(X,Y)=P(AB) -P(A)P(B)所以，事件A和B的相关系数就是随机变量X和Y的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|1.36. 设随机变量X的概率密度为fX(x)=令Y=X2，F（x,y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求：(1) Y的概率密度fY(y)；(2) Cov(X,Y);(3). 解： (1) Y的分布函数为.当y0时， ，；当0y1时，；当1y4时， ；当y4时，.故Y的概率密度为(2) , , ,故 Cov(X,Y) =.(3) .习题五1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X.估计P10X1050.3485. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？【解】设100根中有X根短于3m，则XB（100，0.2）从而 6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.（1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？【解】令(1) XB(100,0.8)， (2) XB(100,0.7)， 7. 用Laplace中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率.【解】令1000件中废品数X，则p=0.05,n=1000,XB(1000,0.05)，E(X)=50，D(X)=47.5.故 8. 设有30个电子器件.它们的使用寿命T1，T30服从参数=0.1单位：（小时）-1的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T为30个器件使用的总计时间，求T超过350小时的概率.【解】 故9. 上题中的电子器件若每件为a元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）.【解】设至少需n件才够用.则E(Ti)=10，D(Ti)=100，E(T)=10n，D(T)=100n.从而即故所以需272a元.10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1 名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.（1） 求参加会议的家长数X超过450的概率？（2） 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.【解】（1） 以Xi(i=1,2,400)记第i个学生来参加会议的家长数.则Xi的分布律为Xi012P0.050.80.15易知E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,400.而,由中心极限定理得于是 (2) 以Y记有一名家长来参加会议的学生数.则YB(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得11. 设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数，则XB（10000，0.515）要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求PX5000. 由中心极限定理有12. 设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以95%概率估计，在一次行动中：（1）至少有多少个人能够进入？（2）至多有多少人能够进入？【解】用Xi表第i个人能够按时进入掩蔽体（i=1,2,1000）.令 Sn=X1+X2+X1000.(1) 设至少有m人能够进入掩蔽体，要求PmSn10000.95，事件由中心极限定理知：从而 故 所以 m=900-15.65=884.35884人(2) 设至多有M人能进入掩蔽体，要求P0SnM0.95.查表知=1.65,M=900+15.65=915.65916人.13. 在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求：（1） 保险公司没有利润的概率为多大；（2） 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，则XB（10000，0.006）.(1) 公司没有利润当且仅当“1000X=1000012”即“X=120”.于是所求概率为 (2) 因为“公司利润60000”当且仅当“0X60”于是所求概率为 14. 设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P|X-Y|6的估计. （2001研考）【解】令Z=X-Y，有所以15. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.（1） 写出X的概率分布；（2） 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值.（1988研考）【解】（1） X可看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是0.2，因此，XB(100,0.2)，故X的概率分布是(2) 被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件14X30的概率.由中心极限定理，得 16. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.【解】设Xi（i=1,2,n）是装运i箱的重量（单位：千克），n为所求的箱数，由条件知，可把X1，X2，Xn视为独立同分布的随机变量，而n箱的总重量Tn=X1+X2+Xn是独立同分布随机变量之和，由条件知： 依中心极限定理，当n较大时，,故箱数n取决于条件 因此可从解出n1.96,即n24.01，所以n至少应取253.设某厂生产的灯泡的使用寿命XN（1000，2）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S2=1002，试求P（1062）.【解】=1000,n=9，S2=10024.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差.【解】，由P(|-|4)=0.02得P|Z|4(/n)=0.02,故,即查表得 所以 5.设总体XN（，16），X1，X2，X10是来自总体X的一个容量为10的简单随机样本，S2为其样本方差，且P（S2a）=0.1，求a之值.【解】查表得 所以 6.设总体X服从标准正态分布，X1，X2，Xn是来自总体X的一个简单随机样本，试问统计量Y=，n5服从何种分布？【解】且与相互独立.所以7.求总体XN（20，3）的容量分别为10，1