工程数学-线性代数第五版答案01(1).doc

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第一章 行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:201(1)1-4-1;-1832 解-11-084-131 =2(-4)3+0(-1)(-1)+118 -013-2(-1)8-1(-4)(-1) =-24+8+16-4=-4.abc (2)b;ccaaba 解bbcccaab=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc =3abc-a3-b3-c3.111 (3);aa2bb2cc2111 解 aa2bb2cc2=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2 =(a-b)(b-c)(c-a).xyx+y (4)yx+yx.x+yxyxyx+y 解yx+yxx+yxy=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3 =3xy(x+y)-y3-3x2 y-x3-y3-x3=-2(x3+y3).2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 (2n-1) 2 4 (2n); 解 逆序数为n(n-1)2:3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, , (2n-1)(2n-2) (n-1个)(6)1 3 (2n-1) (2n) (2n-2) 2. 解 逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, , (2n-1)(2n-2) (n-1个)4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) (2n)2, (2n)4, (2n)6, , (2n)(2n-2) (n-1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.解 含因子a11a23的项的一般形式为(-1)ta11a23a3ra4s,其中rs是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. 所以含因子a11a23的项分别是(-1)ta11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44, (-1)ta11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42. 4. 计算下列各行列式:414 (1)12220501210;74112242c2-c34-12 解 500=120-102=41-21-102(-1)4+31217c24-7c03301-1403-14 =41-2110c3-1422+c3=9c109010 -2=0. 1+2c3171424 (2)31-12115210362; 2234 解 1-1211c4-c2205210362=3-142r4-r222152120360=3421-120222113400r4-r121420 =31-13202000=0. 0-ab (3)bd;bf-accfcdae-deef- 解 bdabbf-accfcdae-deef=adf-bbceb-cc-ee =adfbc-11-1111=4abcdef.11-1a10 (4)-01100. -b01-c11d1b00 解-a0110r1+ar2=-00-01-c11=011+-baba0d11c0100-1d+aba0c3+dc=(-1)(-1)2+1-1c12=+-ab1acad 0-1d0-11+0cd=(-1)(-1)3+2+-ab11+adcd=abcd+ab+cd+ad+1.5. 证明:a2abb2(1)2a=(a-b)3;1a+1b21b证明a2abb2c2-c1a22a+b2b=2aabb-aa22b2b-a2a2a 111c3-c1100=(-1)3+1ab-a2b2-a2b-a2b-2a=(b-a)(b-a)a1b+2a=(a-b)3 .ax+byay+bzaz+bxxyz(2)ay+bzaz+bxax+by=(a3+b3)yzx;az+bxax+byay+bzzxy 证明ax+byay+bzaz+bxay+bzaz+bxax+byaz+bxax+byay+bzxay+bzaz+bxyay+bzaz+bx=ayaz+bxax+by+bzaz+bxax+by zax+byay+bzxax+byay+bzxay+bzzyzaz+bx=a2yaz+bxx+b2zxax+by zax+byyxyay+bzxyzyzx=a3yzx+b3zxy zxyxyzxyzxyz =a3yzx+b3yzx zxyzxyxyz=(a3+b3)yzx.zxya2(a+1)2(a+2)2(a+3)2 (3)b2(b+1)2(b+2)2(b+3)2c2(c+1)2(c+2)2(c+3)2=0; d2(d+1)2(d+2)2(d+3)2 证明a2(a+1)2(a+2)2(a+3)2b2(b+1)2(b+2)2(b+3)2c2(c+1)2(c+2)2(c+3)2(c4-c3, c3-c2, c2-c1得)d2(d+1)2(d+2)2(d+3)2a22a+12a+32a+5 =b22b+12b+32b+5c22c+12c+32c+5(c4-c3, c3-c2得)d22d+12d+32d+5a22a+122 =b22b+122c22c+122=0. d22d+122 11 (4)ab1c1da2b2c2d2a4b4c4d4=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);证明111abc1da2b2c2d2a4b4c4d4 =00b(b1b-aa)c(c11c-aa)dd(d-aa)0b2(b2-a2)c2(c2-a2)d2(d2-a2)=(b-a)(c-a)(d-a)11 b2(bb1+a)c2(cc+a)d2(dd+a) =(b-a)(c-a)(d-a)11c(c-bc)(-cb+b+a)d(d-bd)(-db+b+a) =(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)c(c+1b+a)d(d+1b+a) =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d). 0x-x1-01 0 (5) 001+ +an-1x+an . a000 0L =xn+a1xn-nan-1an-2 ax-12x+a1 证明 用数学归纳法证明. 当n=2时,Dax-12=x2+a1x+a2x+a12, 命题成立.假设对于(n-1)阶行列式命题成立, 即 Dn-1=xn-1+a1 xn-2+ +an-2x+an-1, 则Dn按第一列展开, 有-10 Dn+1n=xDn-1+an(-1) x 0 001 - 11 0 x-1=xD n-1+an=xn+a1xn-1+ +an-1x+an . 因此, 对于n阶行列式命题成立.6. 设n阶行列式D=det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转, 依次得an1 anna1n annann a1n D1=,a a D2=D3= ,111na a 11 n1an1 a11n(n-1)证明D1=D2=(-1)2D, D3=D .证明 因为D=det(aij), 所以a aa an1nn111nD= =(-1)n-1a a1n1nna11 a1na 21 a 2na11 a1na an-1212n =(-1)(-1)n-2a a n 1 nn= a31 a3nn(n-1)=(-1)1+2+ +(n-2)+(n-1)D=(-1)2D.同理可证n(n-1)a11 an1n(n-1)n(n-1) D2=(-1)2 =(-1)2DT.a=(-1)2D1n annn(n-1)n(n-1)n(n-1)D3=(-1)2D2=(-1)2(-1)2D=(-1)n(n-1)D=D. 7. 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式):a(1)Dn=1 a, 未写出的元素都是0;1, 其中对角线上元素都是a解a00 010a0 00D00a 00n= (按第n行展开)000 a0100 0a000 0=(-1)n+1a00 01 a a0 00 00 +(-1)2na 0a a(n-1)(n-1)(n-1)(n-1) an =(-1)n+1(-1)n +a=an-an-2=an-2(a2-1).a(n-2)(n-2)a (2)Dax an= a xa ax ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得 a Da-xxxa-aa0n=a ,a - xx 00 x- 0 a 00 x 0- a再将各列都加到第一列上, 得x+(n-1)aaa aD0x-a 0 =x+(n-1)a(x-a)n-1.0 00 x0n=- a0 00 x 0- aan(a-1)n (a-n)nan-1(a-1)n-1 (a-n)n-1(3)Dn+1= ; aa-1 a-n11 1解 根据第6题结果, 有11 1n(n+1)a a- 1Dn+1=(-1)2 a- nan-1(a-1)n-1 (a-n)n-1an(a-1)n (a-n)n此行列式为范德蒙德行列式.n(n+1) Dn+1=(-1)2n+1(a-i+1)-(a-j+1)ij1n(n+1) =(-1)2-(i-j)n+1ij1n(n+1)n+(n-1)+ +1 =(-1)2(-1)2n+1(i-j)ij1=j).n+1(i-ij1 anbn (4)D2n=ac1b1;1d1 cndn 解anbn D2n=a1bc1(按第1行展开)1d1 cndnan-1bn-10 a=anc1b11d1 cn-1dn-100L0dn 0an-1bn-1 a1b1+(-1)2n+1bnc1d1. cn-1dn-1cn 再按最后一行展开得递推公式D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2, 即D2n=(andn-bncn)D2n-2.n于是D2n=(aidi-bici)D2.i=2而D2=a1b1cd=a1d1-b1c1,11n所以D2n=(aidi-bici).i=1(5) D=det(aij), 其中aij=|i-j|; 解 aij=|i-j|,011023 Ddet(a211021 nnn=ij)= 3 2 1 0 n-1n-1n-2n-3n-4n-23 -40 -1111r1-r2-1-111 1=-1-11 1 -1 1- -1r 1 -1 1 2-r 3n-1n-2n-3n - 4 1 0 -1c2+c1-11-02000= 0c=+=c=-22-202-02 00 3 1n -1 12n -32n - 42n - 5 0 n - 1=(-1)n-1(n-1)2n-2.+a11 1(6)D11+a2 1n= , 其中a1a2 an0.11 1+an 解+a11 1 D11+a 1n=2 1 1 1+ ana100 001c-a0 0011-c22a2 =0-aa3 001c=c=3 2- 3 0 0 0 - a n-1an-11000 0-an1+an100 00a-11-110 00a-12=a0-11 00a-11a2 an3 0 0 0 - 11 a - 1n-10 -11+a-1n 100 00a-11010 00a-12001 00a-13=a1a2 an 00 01a-1n-1n 0 001+a-1ii=1n=(a1a2Lan)(1+1a. i=1i 8. 用克莱姆法则解下列方程组:x (1)x1+x+22+xx3+x4=52-x3+4x4=-221x;1-3x2-x3-5x4=-23x1+x2+2x3+11x4=0 解 因为1D=112-113-213-1-4=-142, 211155111 D1=-202-23-1-1-4=-142, D-52=12111523-2-102-11-4=-284,211511D3=2-23-521D4=31-02-4=-426,23-2-11-5,11513-21-2=14202所以xD=1, xDD3D1=D2=D=2, x3=D=3,x4=D=-1.5x1+6x=1x+5x22+6x3=0 (2)1x2+5xx3+6x4=0.3+5x4+6xx=5=04+5x51解 因为56500D=100160000560010506=665, 1565D=050010060001001600005600105016=1507, D2=500560,001105016=-1145565D5100006501003=16000001506=703, D4=01600,1500050100016=-3955601D=500051660,05010510=2121所以x11453951=1507665,x2=-665,x3=703665,x4=-665,x4=212665. 9. 问l, m取何值时, 齐次线性方程组lx1+x2+x3=0x1+mx2+x3=0有非零解？x1+2mx2+x3=0解 系数行列式为 lD=1m11 1=m-ml.12m1令D=0, 得 m=0或l=1.于是, 当m=0或l=1时该齐次线性方程组有非零解.(1-l)x1-2x2+4x3= 10. 问l取何值时, 齐次线性方程组02x1+(3-l)xl2+x)x3=0有非零解？x1+x2+(1-3=0解 系数行列式为D=-2l3-2l41-l-3+l4 111-l=211-0l1-1l=(1-l)3+(l-3)-4(1-l)-2(1-l)(-3-l) =(1-l)3+2(1-l)2+l-3. 令D=0, 得l=0, l=2或