课堂授课专题3：特殊函数的可视化.ppt

数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计 专题专题3 3：特殊函数的可视化：特殊函数的可视化 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 2 本专题主要内容与参考资料本专题主要内容与参考资料 主要内容主要内容 MATLABMATLAB涉及的特殊函数涉及的特殊函数 函数函数(Gamma(Gamma函数函数) ) 勒让德勒让德(Legendre)(Legendre)函数函数 球函数球函数 贝塞尔函数贝塞尔函数 参考资料参考资料 杨华军杨华军, , 数学物理方法数学物理方法, , 电子工业出版社电子工业出版社 彭芳麟彭芳麟, , 数学物理方程的数学物理方程的MATLABMATLAB解法与可视化解法与可视化, , 清华大学清华大学 出版社出版社 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 3 MATLABMATLAB涉及的特殊函数涉及的特殊函数 查看方法查看方法-MATLAB-MATLAB中特殊函数的调用中特殊函数的调用 在命令窗口输入在命令窗口输入 help matlabspecfunhelp matlabspecfun airy airy- Airy functions. - Airy functions. 爱里函数爱里函数 besselj - 1st kind Bessel function. besselj - 1st kind Bessel function. 第一类贝塞尔函数第一类贝塞尔函数 bessely - 2nd kind Bessel function . bessely - 2nd kind Bessel function . 第二类贝塞尔函数（诺伊曼函数）第二类贝塞尔函数（诺伊曼函数） besselh - 3rd kind Bessel functions . besselh - 3rd kind Bessel functions . 第三类贝塞尔函数（汉开尔函数）第三类贝塞尔函数（汉开尔函数） besseli - 1st kind besseli - 1st kind modified Bessel function. modified Bessel function. 第一类虚宗量贝塞尔函数第一类虚宗量贝塞尔函数 besselk - 2nd kind Modified Bessel function . besselk - 2nd kind Modified Bessel function . 第二类虚宗量贝塞尔函数第二类虚宗量贝塞尔函数 beta beta- Beta function. - Beta function. Beta Beta函数函数 betainc - Incomplete beta function. betainc - Incomplete beta function. 不完全的不完全的BetaBeta函数函数 betaln - Logarithm of beta function. betaln - Logarithm of beta function. BetaBeta函数的对数函数的对数 ellipj ellipj - Jacobi elliptic functions. - Jacobi elliptic functions. 雅可比椭圆函数雅可比椭圆函数 ellipke - Complete elliptic integral. ellipke - Complete elliptic integral. 完全的椭圆积分完全的椭圆积分 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 4 MATLABMATLAB涉及的特殊函数涉及的特殊函数 erf erf - Error function. - Error function. 误差函数误差函数 erfc erfc - Complementary error function. - Complementary error function. 余误差函数余误差函数 erfcx - Scaled complementary error function. erfcx - Scaled complementary error function. 标度的余误差函数标度的余误差函数 erfinv - Inverse error function. erfinv - Inverse error function. 逆误差函数逆误差函数 expint - Exponential integral function. expint - Exponential integral function. 指数积分函数指数积分函数 gamma - Gamma function. gamma - Gamma function. 函数函数 gammainc - Incomplete gamma function. gammainc - Incomplete gamma function. 不完全的不完全的 函数函数 gammaln - Logarithm of gamma function. gammaln - Logarithm of gamma function. 函数的对数函数的对数 psi psi - Psi (polygamma) function. - Psi (polygamma) function. 双双( (多值多值) ) 函数函数 legendre - Associated Legendre function. legendre - Associated Legendre function. 连带勒让德函数连带勒让德函数 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 5 函数函数( (GammaGamma函数函数) ) 函数函数的定的定义义义义 函数函数的性的性质质质质： （3 3） (z)(z)在整个复平面上除去在整个复平面上除去z=0,z=-1,z=-2,z=0,z=-1,z=-2,之外之外处处处处处处处处 解析解析 。 （1 1 ） （2 2 ） （4 4） (z)(z)在全平面内无零点，即在全平面内无零点，即 。 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 6 函数函数( (GammaGamma函数函数) ) 函数函数的的图图图图形的形的绘绘绘绘制制 x=-3:0.01:3; y=gamma(x); plot(x,y,linewidth,4); grid on axis (-3 3 -5 5) (x)(x)的的奇点奇点分布：分布： z=0,z=-1,x=-2,z=0,z=-1,x=-2, 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 7 函数函数( (GammaGamma函数函数) ) 如何绘制复变量如何绘制复变量(z)(z)函数图形函数图形? ? z=5*cplxgrid(30); z=5*cplxgrid(30); f=mfun(gamma,z);f=mfun(gamma,z); cplxmap(z,f);cplxmap(z,f); view(60, 30)view(60, 30) axis(-5 5 -5 5 -10 10)axis(-5 5 -5 5 -10 10) %mfunmfun是数学软件是数学软件MAPLEMAPLE中的函数，中的函数， 是对经典的特殊函数求值是对经典的特殊函数求值 数学物理建模与计算机辅助设计 勒让德勒让德(Legendre)(Legendre)函数函数 问题来由：问题来由： 球域内球域内LaplaceLaplace方程的边值问题：方程的边值问题： 数学物理建模与计算机辅助设计 分解分解为为为为两个两个常微分常微分方程方程: : (1)(1) (2) (2) 球函数方程球函数方程 方程（方程（2 2） 进进进进一步分离一步分离变变变变量将得到关于量将得到关于 的本征的本征值值值值方程（方程（3 3） 和关于和关于 的的连带连带连带连带 勒勒让让让让德方程德方程（4 4）：）： 变变 量量 分分 离离 R(r)R(r) ： 数学物理建模与计算机辅助设计 满足泛定方程、周期边界条件和球内约束条件的变量分离的解满足泛定方程、周期边界条件和球内约束条件的变量分离的解: : ： ： 数学物理建模与计算机辅助设计 (cos(cos-1 -1x x)= )=y y( (x x) ) ：即：即： x x=cos=cos l l阶连带勒让德方程阶连带勒让德方程 连带勒让德多项式连带勒让德多项式 勒让德勒让德(Legendre)(Legendre)函数函数 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 12 勒让德勒让德(Legendre)(Legendre)函数函数 勒让德勒让德(Legendre)(Legendre)函数：函数： 连带勒让德连带勒让德(Legendre)(Legendre)函数：函数： 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 13 勒让德勒让德(Legendre)(Legendre)函数函数 求勒让德求勒让德(Legendre)(Legendre)函数的函数的MatlabMatlab函数函数 legendre(N,x)legendre(N,x) 求所有求所有N N阶阶连带连带勒让德函数的值勒让德函数的值 legendre(2,0.0:0.1:0.2)legendre(2,0.0:0.1:0.2) ans = -0.5000 -0.4850 -0.4400ans = -0.5000 -0.4850 -0.4400 0 -0.2985 -0.5879 0 -0.2985 -0.5879 3.0000 2.9700 2.8800 3.0000 2.9700 2.8800 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 14 勒让德勒让德(Legendre)(Legendre)函数函数 绘制前绘制前6 6个勒让德个勒让德(Legendre)(Legendre)函数的图形函数的图形 %P20_1.m%P20_1.m x=0:0.01:1;x=0:0.01:1; y1=legendre(1,x);y1=legendre(1,x); y2=legendre(2,x);y2=legendre(2,x); y3=legendre(3,x);y3=legendre(3,x); y4=legendre(4,x);y4=legendre(4,x); y5=legendre(5,x);y5=legendre(5,x); y6=legendre(6,x);y6=legendre(6,x); plot(x,yplot(x,y1 1( (1 1,:), ,:), x,yx,y2 2( (1 1,:), x,y,:), x,y3 3( (1 1,:),:), x,y x,y4 4( (1 1,:), x,y,:), x,y5 5( (1 1,:), x,y,:), x,y6 6( (1 1,:);,:); legendlegend(P_10,P_20,P_30,P_40,P_50,P_60);(P_10,P_20,P_30,P_40,P_50,P_60); title(title(勒让德多项式勒让德多项式) ) (m=0,(m=0,l l=1,2,6)=1,2,6) 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 15 勒让德勒让德(Legendre)(Legendre)函数函数 前前6 6个勒让德个勒让德(Legendre)(Legendre)函数的图形函数的图形 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 16 勒让德勒让德(Legendre)(Legendre)函数函数 绘制以俯仰角绘制以俯仰角 为变量的勒让德函数为变量的勒让德函数 %P22_1.m%P22_1.m t=0:0.1:2*pi;t=0:0.1:2*pi; rho1=legendre(rho1=legendre(1 1,cos(t); rho2=legendre(,cos(t); rho2=legendre(2 2,cos(t); rho3=legendre(,cos(t); rho3=legendre(3 3,cos(t);,cos(t); subplot(3,4,1); polar(t,rhosubplot(3,4,1); polar(t,rho1 1( (1 1,:); subplot(3,4,2); polar(t,rho,:); subplot(3,4,2); polar(t,rho1 1( (2 2,:);,:); subplot(3,4,5); polar(t,rhosubplot(3,4,5); polar(t,rho2 2( (1 1,:); subplot(3,4,6);,:); subplot(3,4,6); polar(t,rhopolar(t,rho2 2( (2 2,:); subplot(3,4,7); polar(t,rho,:); subplot(3,4,7); polar(t,rho2 2( (3 3,:);,:); subplot(3,4,9); polar(t,rhosubplot(3,4,9); polar(t,rho3 3( (1 1,:); subplot(3,4,10); polar(t,rho,:); subplot(3,4,10); polar(t,rho3(23(2,:);,:); subplot(3,4,11); polar(t,rhosubplot(3,4,11); polar(t,rho3 3( (3 3,:); subplot(3,4,12); polar(t,rho,:); subplot(3,4,12); polar(t,rho3 3( (4 4,:);,:); 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 17 勒让德勒让德(Legendre)(Legendre)函数函数 以俯仰角以俯仰角 为变量的勒让德函数图形为变量的勒让德函数图形 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 18 球函数球函数 问题来由：求解球谐方程：问题来由：求解球谐方程： 球函数：球函数： 归一化系数：归一化系数： 数学物理建模与计算机辅助设计 球函数球函数 归一化的球函数：归一化的球函数： 前四个球函数：前四个球函数： Page 19 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 20 球函数球函数 球函数的表达式和特点球函数的表达式和特点 复数形式的球函数表达式：复数形式的球函数表达式： 球函数的特点：球函数的特点： 球函数是在球函数是在球面上的二元函数球面上的二元函数 球函数的图形是球函数的图形是空间图形，空间图形，必须指定必须指定球的半径球的半径 根据欧拉公式：根据欧拉公式： 线性独立的线性独立的l l阶球函数共有阶球函数共有2 2l l+1+1个，个，m=0m=0，P P l l (cos(cos ) )； m=1,2,m=1,2,l l, , 各有两个球函数各有两个球函数 和和 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 21 球函数球函数 球函数的图形球函数的图形 绘制方法：对绘制方法：对复数形式的球函数复数形式的球函数，必须对其，必须对其实部实部和和虚部虚部分分 别作图别作图 x y z 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 22 球函数球函数 %P81_1.m l=3; m=2; R=4; A=3; delta=pi/40; theta0=0:delta:pi; phi=0:2*delta:2*pi; phi,theta=meshgrid(phi, theta0); %构建, 数据网路 Ymn=legendre(l,cos(theta0); %计算了勒让德多项式的值 Ymn=Ymn(m+1,:); L=size(theta,1); yy=repmat(Ymn,1,L); Reyy=yy.*cos(m*phi); %实球谐函数 Imyy=yy.*sin(m*phi); %虚球谐函数 ReM=max(max(abs(Reyy);Rerho=R+A*Reyy/ReM; Rer=Rerho.*sin(theta); Rex=Rer.*cos(phi); Rey=Rer.*sin(phi); Rez=Rerho.*cos(theta); %球坐标系 subplot(1,2,1); surf(Rex,Rey,Rez); %绘制实球谐函数三维图像 light; lighting phong; axis(square); axis(-5 5 -5 5 -5 5); axis (off); view(40,30) title(实球谐函数); 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 23 球函数球函数 ImM=max(max(abs(Imyy); Imrho=R+A*Imyy/(ImM+eps*(ImM=0); Imr=Imrho.*sin(theta); Imx=Imr.*cos(phi); Imy=Imr.*sin(phi); Imz=Imrho.*cos(theta); subplot(1,2,2); surf(Imx,Imy,Imz); light; lighting phong; axis(square); axis(-5 5 -5 5 -5 5); axis (off); view(40,30) title(虚球谐函数); 数学物理建模与计算机辅助设计 球函数球函数 Page 24 实球谐函数和虚球谐函数的仿真图形实球谐函数和虚球谐函数的仿真图形 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 25 球函数球函数 数学物理建模与计算机辅助设计 球函数球函数 Page 26 可以绘制一个球面，球面上的颜色来表示相应方向上的数值 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 27 贝塞尔方程的解贝塞尔方程的解- -贝塞尔函数贝塞尔函数 典型实例：求解固定边界的圆膜典型实例：求解固定边界的圆膜二维二维振动振动: : v阶贝塞尔方程 二维极坐标系下分离变量二维极坐标系下分离变量 变量代换变量代换 数学物理建模与计算机辅助设计 贝塞尔方程的解贝塞尔方程的解- -贝塞尔函数贝塞尔函数 v v阶贝塞尔方程的通解通常有下列阶贝塞尔方程的通解通常有下列3 3种形式：种形式： Page 28 J J v v ( (x x) )、 N N v v ( (x x) )、 H H v v ( (x x) )分别为分别为为为v v阶阶第一类、第二类、第三类第一类、第二类、第三类 、贝塞尔、贝塞尔( (柱柱) )函数。函数。 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 29 贝塞尔方程的解贝塞尔方程的解- -贝塞尔函数贝塞尔函数 J Jv v ( (x x) )为为v v阶阶第一类贝塞尔第一类贝塞尔( (柱柱) )函数函数（简称（简称贝塞尔函数贝塞尔函数 ） N N v v ( (x x) )为为v阶第二类第二类贝塞尔贝塞尔( (柱柱) )函数函数（又称又称诺依曼函数诺依曼函数） （1 1）当）当 ( (整数整数) )时，贝塞尔方程的通解为：时，贝塞尔方程的通解为： （A A和和B B为任意常数为任意常数 ） * *当当 v=nv=n( (整数整数) )时时, , J J-n -n ( (x x)=(-1) )=(-1) n n J J n n ( (x x) ), , J J-n -n ( (x x) )与 与J Jn n ( (x x) )线性相关。因此必有 线性相关。因此必有 。 （2 2）当）当 取任意值时，贝塞尔方程的通解为：取任意值时，贝塞尔方程的通解为： * *当当 v v是否为整数，上式都成立。是否为整数，上式都成立。 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 30 贝塞尔方程的解贝塞尔方程的解- -贝塞尔函数贝塞尔函数 （3 3）当）当 取任意值时，由第一类和第二类还可以构成线性取任意值时，由第一类和第二类还可以构成线性 独立的独立的第三类贝塞尔第三类贝塞尔( (柱柱) )函数函数HH v v ( (x x) )，( (又称又称汉克尔函数) 和和 分别称为分别称为第一种第一种和和第二种第二种汉克尔函数。 于是贝塞尔方程的通解又可以表示为：于是贝塞尔方程的通解又可以表示为： 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 31 贝塞尔函数贝塞尔函数 贝塞尔函数的表达式贝塞尔函数的表达式 第一类贝塞尔函数：第一类贝塞尔函数： 第二类贝塞尔函数：第二类贝塞尔函数： 虚宗量贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程 将贝塞尔方程的宗量将贝塞尔方程的宗量x x变换为虚数变换为虚数i ix x，于是得到，于是得到虚宗量贝塞虚宗量贝塞 方程方程： 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 32 贝塞尔函数贝塞尔函数 特殊贝塞尔函数：特殊贝塞尔函数：虚宗量贝塞尔函数虚宗量贝塞尔函数 I Iv v ( (x x) )为为v v阶阶第一类虚宗量贝塞尔函数第一类虚宗量贝塞尔函数（第一类修正贝塞尔函数第一类修正贝塞尔函数） （1 1）当）当 ( (整数整数) )时，时，虚宗量贝塞方程的虚宗量贝塞方程的通解为：通解为： （C C和和D D为任意常数为任意常数 ） （2 2）当）当 取任意值时，定义：取任意值时，定义： K K v v ( (x x) )为为v v阶阶第二类虚宗量贝塞尔函数第二类虚宗量贝塞尔函数（或（或麦克唐纳函数麦克唐纳函数，或，或第第 二类修正贝塞尔函数二类修正贝塞尔函数） 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 33 贝塞尔函数贝塞尔函数 当当v v 取任意值时，取任意值时，虚宗量贝塞方程的虚宗量贝塞方程的通解为：通解为： 贝塞尔函数的计算和图形绘制贝塞尔函数的计算和图形绘制 j=Besselj(nu,z) j=Besselj(nu,z) nunu为阶，为阶，z z为贝塞尔函数的常点为贝塞尔函数的常点 （或复数变量）（或复数变量） BesseljBesselj 第一类贝塞尔函数，简称贝塞尔函数第一类贝塞尔函数，简称贝塞尔函数 BesselyBessely 第二类贝塞尔函数，又称诺依曼函数第二类贝塞尔函数，又称诺依曼函数 BesselhBesselh 第三类贝塞尔函数，又称汉克尔函数第三类贝塞尔函数，又称汉克尔函数 BesseliBesseli 第一类虚宗量贝塞尔函数，又称虚宗量贝塞尔函数第一类虚宗量贝塞尔函数，又称虚宗量贝塞尔函数 BesselkBesselk 第二类虚宗量贝塞尔函数，又称虚宗量汉克尔函数第二类虚宗量贝塞尔函数，又称虚宗量汉克尔函数 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 34 贝塞尔函数的图形贝塞尔函数的图形 绘制贝塞尔函数图形绘制贝塞尔函数图形 y=besselj(y=besselj(0:30:3,(0:0.2:10);,(0:0.2:10); figure(1)figure(1) plot(0:0.2:10),y)plot(0:0.2:10),y) legend(J_0,J_1,J_2,J_3)legend(J_0,J_1,J_2,J_3) 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 35 贝塞尔函数贝塞尔函数 寻找贝塞尔函数零点寻找贝塞尔函数零点 %方法I(插值法) x=0:0.05:50; y=besselj(0,x); LD=; for k=1:length(y)-1 if y(k)*y(k+1)0) j=j+1; end q=fzero(y,j); % %查找一元连续函数的零点查找一元连续函数的零点 j=j+1; LD=LD,q; k=k+1; end 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 36 贝塞尔函数贝塞尔函数 贝塞尔函数及其零点贝塞尔函数及其零点 LD = 2.4049 5.5201 8.6537 11.7915 14.9309 18.0711 21.2116 24.3525 LD = 2.4049 5.5201 8.6537 11.7915 14.9309 18.0711 21.2116 24.3525 27.4935 30.6346 33.7758 36.9171 40.0584 43.1998 46.3412 49.482627.4935 30.6346 33.7758 36.9171 40.0584 43.1998 46.3412 49.4826 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 37 贝塞尔函数贝塞尔函数 绘制诺依曼函数的图形绘制诺依曼函数的图形 y=bessely(0:1,(0:0.02:10); plot(0:0.02:10),y) legend(N_0,N_1) axis (0 10 -3.5 1) grid on 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 38 贝塞尔函数贝塞尔函数 绘制虚宗量贝塞尔函数的图形绘制虚宗量贝塞尔函数的图形 I=besseli(0:1,(0.1:0.3:3); plot(0.1:0.3:3),I) legend(I_0,I_1) axis (0 3 0 5) 数学物理建模与计算机辅助设计 Page 39 贝塞尔函数贝塞尔函数 绘制虚宗量汉克尔函数的图形绘制虚宗量汉克尔函数的图形 K=besselk(0:1,(0.1:0.1:3); plot(0.1:0.1:3),K) legend(K_0,K_1) axis (0 3 0 10) 数学物理建模与计算机辅助设计 问题问题问题问题 由来：与由来：与时间时间时间时间 有关的三有关的三维维维维方程的方程的变变变变量分离量分离 分解分解为为为为两个两个常微分常微分方程：方程： 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 球贝塞尔方程及其解球贝塞尔方程及其解 数学物理建模与计算机辅助设计 2. 2. 三三维维维维热传导热传导热传导热传导 ( (输输输输运运) )方程方程 分离分离变变变变量： 量： 分解分解为为为为两个两个常微分常微分方程方程 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程: : 球贝塞尔方程及