两个重要极限与无穷小的比较(2).ppt

第六、七节 两个重要极限 与无穷小量的比较 内容提要 1. 两个重要极限； 2. 无穷小量的比较。 教学要求 1. 熟练掌握用两个重要极限求极限； 2. 熟练掌握无穷小的比较、等价无穷小量的性质及一 些常见的等价无穷小。 一、两个重要极限 ( x 取弧度单位 ) 如图所示 , 作单位圆 则圆心角AOB=x ， 显然有 AODAOB SSS DD AOB扇形 即xxxtansin 分别除以 xsin 对于情形, 有 证: x 再取倒数 , 得1 sin cos x x x (1) 由于用 x- 代替x时 xcos 和 x xsin 都不变号 不等 式(1)仍成立 , 恒 有不等式 1 sin cos x x x 成立。 3由于1coslim 0 = x x , 且 11lim 0 = x , 由夹逼准则 可知 , 1 sin lim 0 = x x x . 证毕 从而当时 , 2.对于的情形 , 所以当时 , 对 （偶函数）， 注意： 解 例2 求 x x x 3sin lim 0 解 x x x 3sin lim 0 解 例4 求)0,( sin sin lim 0 ba bx ax x 解 解 当 n 时 , 因此 例5 , 有 例6 解 练习 解 解 解 解 证明略 ( 可用两个准则证明)。 例 1 解 解法一令 t x = - 则当 x 时 有 t 所以 例2 求 解法二 解 令t x = 1 当0 x 时 有 t 所以 例3 （3）倒数关系 注意： 解 解 解 练习 二、无穷小的比较 由无穷小的性质可知 , 两个无穷小的和、差、积 仍为无穷小 , 但两个无穷小的商会出现不同的情况 。 如当0 x时 , 函数x2 , xsin都是无穷小。 但是 0 = = 2 1 = 而0sin x与02 x的 “快”、“慢”差不多。 (3) 2 sin x x 比02 x“快些”, 事实上 反之“慢些”02 x比 由此可见 ,无穷小虽然都是以 0 为 极限的变量, 但它们趋向 0 的速度不一样 , 趋向 0的 “快”、 “慢”程度 , 我们引 入无穷小的 “阶”的概念。 下面仅给出 0 x x 时的无穷小比较的定义, 对于 + 0 xx , - 0 xx ,x ,+x -x等情况的无穷小比较的定义可类似。 为了反映无穷小 定义 设0)(lim 0 = x xx a 0)(lim 0 = x xx b 0 )( )( lim 0 = x x xx a b （1）如果 , 则称 )(xb是比)(xa 高阶的无穷小 , 记为 )()(xoxab= （2）如果 = )( )( lim 0x x xx a b , 则称 )(xb 是比 )(xa 低阶的无穷小。 )1, 0 ( （3）如果 )( )( lim 0 = C x x xx a b 则称 )(xb 与 )(xa 是同阶无穷小。 （4）如果1 )( )( lim 0 = x x xx a b 则称)(x b 与)(x a 为 等价无穷小 , 记为)()(xx ab 例如 0 3 lim 3 0 = x x x Q )0( x )3( 3 =xox 1 sin lim 0 = x x x Q )0( xsinxx 1- x 与 1 2 -x 同阶无穷小 ) 1(x )0(x 可以证明 : 当0 x 时 ,有下列等价无穷小： xxsin xxtan xe x 1- xx)1ln(+ 2 2 x cos1x- 利用等价无穷小可以简化某些极限的运算 , 有下面定理： 定理 1 定理 2 设当 0 x x 时 , )()(xx aa ,)()(xxbb 且 )( )( lim 0x x xx a b 存在( 或 ) , )( )( lim 0x x xx a b = 则 )( )( lim 0x x xx a b 证明 因 )( )( lim 0x x xx a b )( )( lim 0x x xx a b = (证毕) )( )( x x a a )( )( x x a b )( )( x x b b lim 0 xx = )( )( lim 0x x xx a a )( )( lim 0x x xx a b )( )( lim 0x x xx b b = 2 3 lim 0 = x x x 例1 求 2tan 3sin lim 0 x x x 0= 0 lim 3 0 = x x lim 3 0 - = x xx x 这种解法是错误的！ 解 正确的解法如下. 正确的解法如下. cos2 1 lim 0 = x x cos 2 lim 3 2 0 . = xx x x x cos )cos1(sin lim 3 0 - = xx xx x sintan lim 3 0 - x xx x 解 注意： 无穷小量替换分子或分母，也可替换分 用无