高考数学函数的极限.ppt

2.3 2.3 函数的极限函数的极限(2)(2) 就说当x 趋向于正无穷大时， 函数 的极限是a ，记作 一般地，当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数 无限趋近于一个常数 a ， 也可记作:当 当也可记作: 就说当x 趋向于负无穷大时， 函数 的极限是a ，记作 当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数 无限趋近于一个常数a ， 一、复习引入： 无穷极限的定义: 也可记作: 当 如果 =a,且 =a, 那么就说当 x 趋向于 无穷大时, 的极限是a,记作 且 x y 1 1 1.5 2.5 2 4 下面我们讨论当x无限趋近于2时,函数 的变化趋势. 1. x从2的左边(x2)无限趋近于2: 0.000040.00040.0040.040.412.25|y-4| 4.000044.00044.0044.044.416.25 2.000012.00012.0012.012.12.5x 从上面两种情况来看,当x无限趋近于2时 函数的函数值无限趋近于4, 因此,当x无限趋近于2时,函数 的极限为4 记作: 2 4 2.5 o 2.当x无限趋近于1(但不等于1)时,函数 的变化趋势 0 x y 2 1 1 函数的定义域不包括 即在处无定义, 但x可以从x轴上点x=1的左,右两边无限 趋近于1. 由于 即 所以,当x无限趋近于1(但不等于1)时,y的值无限 趋近于2 因此,当x无限趋近于1(但不等于1)时, 函数 的极限是2. 记作: 如果 是分式函数,则 如果 则应先约去零因子,再求极限 一般地,当自变量x无限趋近于常数 (但不等于 )时, 如果函数无限趋近于一个常数就说当x趋近于 时,函数 的极限是记作 也可记作 也叫做函数在点处的极限. 例 当 时,写出下列函数的极限: 解: (4)y=5是常数函数,函数值始终等于常数5.有函数极限的 定义,容易得到 一般地,设C为常数,则 2.写出下列极限的值. 50 1 1 4 7 初等函数在其定义域内每点的极限值 就等于这一点的函数值,也就是对初 等函数而言,求极限就是求函数值 对于极限表达式 中的,应怎样理解? 应理解为x可以用任何方式无限趋近于 包括: 从表示 的点的左边无限趋近于 从表示 的点的右边无限趋近于 从表示 的点的两侧交错地无限趋近于 不管,以哪种方式趋近, 只要就有 下面讨论函数的“单侧”极限,即自变量x只能从表示 的点的一侧 无限趋近于 是函数 的极限. 考虑函数 1 -1 o x y 当x从原点O的左侧无限趋近于0时,函数 无限趋近于1 当x从原点O的右侧无限趋近于0时,函数 无限趋近于1 由于x从不同方向无限趋近于0时,所无限趋近的值不同, 所以, 在x=0处无极限 即 下面讨论函数的“单侧”极限,即自变量x只能从表示 的点的一侧 无限趋近于 是函数 的极限. 考虑函数 1 -1 o x y 但是,如果限制x只能从原点O的某一侧无限趋近于0,函数 就会无限趋近于一个确定的常数. 当x从原点O的左侧无限趋近于0时,函数无限趋近于1例如: 由此,我们得到单侧极限的定义. 一般地,如果当x从点 左侧(即 )无限趋近于 时, 函数无限趋近于常数就说 是函数 记作 在点 处的左极限, 一般地,如果当x从点 右侧(即 )无限趋近于 时, 函数无限趋近于常数就说 是函数 记作 在点 处的右极限, 由函数在一点处的左、右极限定义可知,对于函数 根据函数在一点处的极限、左极限和右极限的定义,可以得出 2,2,2 1.5,1.5,1.5 无,无,无, 0,0,0 -1,2,无 0,无,无, 例3、 二、例题选讲： 练习 下列函数在点x=0处的左极限、右极限各是什么?其中哪些函数在 点x=0处有极限. 分析: 分析: 例、 分析: 函数的点极限: 1当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0 时，函数f(x)的极限是a，记作 或当xx0时 f(x)a。 2当x从点x0左侧（即x x0）无限趋近于x0时，函数 f(x)无限趋近于一个常数a，就说a是函数f(x)在点x0处的 左极限，记作 。 3如果当x从点x0右侧（即x x0）无限趋近于x0时， 函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x)在点x0处 的右极限，记作 。 4常数函数f(x)=c在点x=x0处的极限有 . 1)请思考下面问题： (1) yf(x)在xx0处有定义，是不是一定有极限？ (2)yf(x)在xx0处无定义，是不是一定没有极限？ 2)xx0包括两层意思： (1)x从x0的左侧趋近于x0，即xx0-； (2)x从x0的右侧趋近于x0，即xx0+ 是不是xx0-和xx0+时，f(x)会趋近于同一个常数？ 3)注意： （1） 中x无限趋近于x0，但不包含x=x0即 xx0，所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x