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数学建模 图论方法专题 图论方法专题 一一 图的基本概念 二二 三三最短路问题及其算法 四四最小生成树问题 五五 E图与H图 图的矩阵表示 数学建模数学建模- -图论图论 3* 一、图的基本概念 数学建模数学建模 - - 图论图论 4* 一、图的基本概念 一、图的基本概念 次数为奇数顶点称为奇点，否则称为偶点。 5* 数学建模数学建模 - - 图论图论 常用d(v)表示图G中与顶点v关联的边的数目, d(v)称为顶点v的度数. 与顶点v出关联的边的数目称为出度，记作d +(v)， 与顶点v入关联的边的数目称为入度，记作d -(v)。 用N(v)表示图G中所有与顶点v相邻的顶点的集合. 任意两顶点都相邻的简单图称为完全图. 有n个顶点的完全图记为Kn 。 一、图的基本概念 数学建模数学建模 - - 图论图论 几个基本定理： 一、图的基本概念 数学建模数学建模 - - 图论图论 若将图G的每一条边e都对应一个实数F(e), 则称F(e) 为该边的权, 并称图G为赋权图, 记为G = (V, E , F ). 设G = (V, E )是一个图, v0, v1, , vkV, 且 “1ik, vi1 viE, 则称v0 v1 vk是G的一条通路. 如果通路中没有相同的顶点, 则称此通路为路径, 简称 路. 始点和终点相同的路称为圈或回路. 一、图的基本概念 数学建模数学建模 - - 图论图论 顶点u与v称为连通的，如果存在u到v通路，任二顶 点都连通的图称为连通图，否则，称为非连通图。极大 连通子图称为连通分图。 连通而无圈的图称为树, 常用T 表示树. 树中最长路的边数称为树的高，度数为1的顶点 称为树叶。其余的顶点称为分枝点。树的边称为树 枝。 设G是有向图，如果G的底图是树，则称G是 有向树，也简称树。 一、图的基本概念 数学建模数学建模 - - 图论图论 邻接矩阵（结点与结点的关系） 关联矩阵（结点与边的关系） 路径矩阵（任意两结点之间是否有路径） 可达性矩阵 直达矩阵 等等 二、图的矩阵表示 数学建模数学建模 - - 图论图论 1 有向图的邻接矩阵 A = (aij )nn （n为结点数） 例1：写出右图的邻接矩阵： 解： 二、图的矩阵表示 数学建模数学建模 - - 图论图论 2 有向图的权矩阵A = (aij ) nn （n为结点数） 例2：写出右图的权矩阵： 解： 二、图的矩阵表示 数学建模数学建模 - - 图论图论 3 有向图的关联矩阵A =(aij )nm （n为结点数m为边数） 有向图： 无向图： 二、图的矩阵表示 数学建模数学建模 - - 图论图论 例3：分别写出右边两图的关联矩阵 解：分别为： 二、图的矩阵表示 数学建模数学建模 - - 图论图论 二、图的矩阵表示 4 应用实例 某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5个槽 ，每个槽的高度从1，2，3，4，5，6)中任取一数 由于工艺及其它原因，制造锁具时对5个槽的高度有两 个限制： (1)至少有3个不同的数； (2)相邻两槽的高度之差不能为5 满足以上条件制造出来的所有互不相同的锁具称 为一批我们的问题是如何确定每一批锁具的个数? 1994年全国大学生数学建模竞赛B题(锁具装箱)中关于 锁具总数的问题可叙述如下： 数学建模数学建模 - - 图论图论 该问题用图论中的邻接矩阵解决较为简单 易见， x=t-s，其中，t代表相邻两槽高度之差不为5 的锁具数，即：满足限制条件(2)的锁具数，s代表相 邻两槽高度之差不为5且槽高仅有1个或2个的锁具数， 即：满足限制条件(2)但不满足限制条件(1)的锁具数 我们用图论方法计算t和s. 数学建模数学建模 - - 图论图论 二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析） 在G中t每一条长度为4的道路对应于一个相邻两槽 高度之差不超过5的锁具，即满足限制条件（2）的锁 具，反之亦然，于是可以通过G的邻接矩阵A来计算t的 值，具体步骤如下： 数学建模数学建模 - - 图论图论 二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析） 构造无向图 1 2 4 3 56 因此， 数学建模数学建模 - - 图论图论 二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析） 又令 其中yi表示满足限制条件(2)但不满足限制条件(1)且 首位为i的锁具数,（i=1,2,3,4,5,6),显然y1=y6, y2=y4=y3=y5,于是我们只需要计算y1和y2. 计算y1可分别考虑槽高只有1，12，13，14，15的 情形若只有1，这样的锁具效只有1个， 若只有1和i(i=2,3,4,5)，这样的锁具数=G中以1和i为 顶点，长度为3的道路数，此数可通过A的子矩阵A1i计 算得到 数学建模数学建模 - - 图论图论 二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析） 1 2 4 3 56 二、图的矩阵表示（应用实例解法分析） 事实上，因为 其中i=2,3,4,5,显然y1=1+(4+4+4+4-1) 4=61. 同理，计算y2时应考虑槽高只有2,21,23,24,25, 26时的情形，类似计算可得 y2=1+(4+4+4+4-1)5=76 于是，s=612+764=426，x=6306-426=5880. 该算法既易理解又易操作并且又可扩展 数学建模数学建模 - - 图论图论 二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析） 公交线路选择问题：在给定某城市公交线路的公交网信息后 ，求任意两个站点之间的最佳出行路线，包括换乘次数最少、出 行时间最短、出行费用最低等。以下图的简化公交网为例来说明 。 数学建模数学建模 - - 图论图论 1 2 3 4 5 图中由两条公交线路组成，实线表示第 一条线路，依次经过站点1,3,4,5，虚线表 示第二条线路，依次经过站点2,3,5。 首先考虑换乘次数最少的线路选择模型，首 先建立直达矩阵如下： 二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析） 数学建模数学建模 - - 图论图论 1 2 3 4 5 计算A2得到 ： 由于A2为非零矩阵，所以任意两站点经 过换乘一次都可到达，由于问题较简单，结 果显然正确。 一般地，比较A=(aij),A2=(a(2)ij), Ak=(a(k)ij)中的(i,j)元够成的向量中第一个 非零向量的上标即为出行换乘的最少次数。 二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析） 数学建模数学建模 - - 图论图论 1 2 3 4 5 接下来考虑出行时间最短的 模型，建立直达距离矩阵： 下面利用Floyd矩阵算法可计算出出行时 间最短的路线。定义T*T=(t(2)ij), t(2)ij=minmin1，如右 图所示。 G=的邻接矩阵为： 二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析） 数学建模数学建模 - - 图论图论 V10 v11 v12 v13 v14 v15 v16 v17 v18 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 其中，矩阵B为 ： 记a(k)ij为Ak中的（i,j）元，目标是使a(k)1,10不等于0的最小的 自然数k. 利用matlab容易计算出k=11，且a(11)1,10 =4,即小船至少11次才 能把所有人全部运到右岸，说明共有4种不同的过河方案。继续计 算可得出a(19)1,10 =45060，如果允许小船过河19次的话，共有 45060中不同的方案。 若将图G的每一条边e都对应一个实数F(e), 则称F(e) 为该边的权, 并称图G为赋权图, 记为G = (V, E , F ). 设G = (V, E )是一个图, v0, v1, , vkV, 且 “1ik, vi1 viE, 则称v0 v1 vk是G的一条通路. 如果通路中没有相同的顶点, 则称此通路为路径,简称路. 对于赋权图，路的长度（即路的权）通常指路上所有边 的权之和。 最短路问题：求赋权图上指定点之间的权最小的路。 三、最短路问题及其算法 数学建模数学建模 - - 图论图论 重要性质： 若v0 v1 vm 是G 中从v0到vm的最短路, 则 对1km, v0v1 vk 必为G 中从v0到vk的 最短路. 即：最短路是一条路，且最短路的任一段 也是最短路。 数学建模数学建模 - - 图论图论 三、最短路问题及其算法 设有给定连接若干城市的公路网，寻求从指定城 市到各城市的最短路线。 2、应用实例：最短路问题 问题的数学模型: 三、最短路问题及其算法 31* 数学建模数学建模 - - 图论图论 32* 三、最短路问题及其算法 数学建模数学建模 - - 图论图论 2 5 4 6 4 7 10 9 13 7 10 6 6 48 33* 三、最短路问题及其算法 数学建模数学建模 - - 图论图论 34* 三、最短路问题及其算法 数学建模数学建模 - - 图论图论 35* 三、最短路问题及其算法 数学建模数学建模 - - 图论图论 36* 三、最短路问题及其算法 数学建模数学建模 - - 图论图论 2 5 4 6 4 7 10 9 13 7 10 6 6 48 37* 三、最短路问题及其算法 数学建模数学建模 - - 图论图论 38* 三、最短路问题及其算法 数学建模数学建模 - - 图论图论 39* 三、最短路问题及其算法 数学建模数学建模 - - 图论图论 40* 三、最短路问题及其算法 数学建模数学建模 - - 图论图论 2 5 4 6 4 7 10 9 13 7 10 6 6 48 41* 三、最短路问题及其算法 数学建模数学建模 - - 图论图论 42* 三、最短路问题及其算法 数学建模数学建模 - - 图论图论 43* 三、最短路问题及其算法 数学建模数学建模 - - 图论图论 2 5 4 6 4 7 10 9 13 7 10 6 6 48 44* 三、最短路问题及其算法 数学建模数学建模 - - 图论图论 45* 数学建模数学建模 - - 图论图论 三、最短路问题及其算法 46* 数学建模数学建模 - - 图论图论 求v1到v6的最短路问题. 三、最短路问题及其算法 47* 数学建模数学建模 - - 图论图论 从上图中容易得到v1到v6只有两条路： v1v3v6和v1v4v6. 而这两条路都是v1到v6的最短路. 三、最短路问题及其算法 48* 三、最短路问题及其算法 数学建模数学建模 - - 图论图论 顶点u与v称为连通的，如果存在u-v通路，任二顶点 都连通的图称为连通图，否则，称为不连通图。极大连 通子图称为连通分图。 连通而无圈的图称为树, 常用T 表示树. 树中最长路的边数称为树的高的度为1的顶点称 为树叶。其余的顶点称为分枝点。树的边称为树枝 。 设G是有向图，如果G的底图是树，则称G是 有向树，也简称树。 四、最小生成树问题及其算法 数学建模数学建模 - - 图论图论 若任意一个连通的图G=的生成子图 T=(V=V,E为E的子集)为树, 这棵树T 称为图G的生成树. 设T是图G的一棵生成树, 用F (T)表示树T中所有边 的权数之和, F(T)称为树T的权. 一个连通图G的生成树一般不止一棵, 图 G的所有生成树中权数最小的生成树称为 图G的最小生成树. 数学建模数学建模 - - 图论图论 四、最小生成树问题及其算法 怎样找出最小生成树？ G T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T1至T8是 图G的生 成树 数学建模数学建模 - - 图论图论 四、最小生成树问题及其算法 Kruskal 算法 思想：在不形成圈得条件下，优先挑选权小的边形成生成 树。 7 6 7 8 8 3 3 4 2 4 5 v1 v2v3 v4 v5 v6 v7 6 8 3 3 2 4 v1 v2v3 v4 v5 v6 v7 数学建模数学建模 - - 图论图论 四、最小生成树问题及其算法 注：算法构造的最小生成树的边集为 E1；标号 l 具有性质 ：当且仅当 u、v 之间有一条仅由 E1 中的边形成的路时， l(u) = l(v)，因此在步骤 (2) 发现 l(u) = l(v) 时，(u, v) 不能放入 E1，否则会形成一个圈。 数学建模数学建模 - - 图论图论 四、最小生成树问题及其算法 54* 四、最小生成树问题及其算法 数学建模数学建模 - - 图论图论 55* 四、最小生成树问题及其算法 数学建模数学建模 - - 图论图论 56* 四、最小生成树问题及其算法 数学建模数学建模 - - 图论图论 运行结果如下： T = 1 3 5 1 6 3 2 6 6 6 7 4 c = 26 上述例题的matlab程序如下： b=1 1 2 2 3 3 3 4 5 5 6;2 6 3 6 4 6 7 7 6 7 7;2 4 4 5 8 3 7 8 3 7 6; Krusf(b,1); 7 6 7 8 8 3 3 4 2 4 5 v1 v2v3 v4 v5 v6 v7 6 8 3 3 2 4 v1 v2v3 v4 v5 v6 v7 57* 四、最小生成树问题及其算法 数学建模数学建模 - - 图论图论 58* 四、最小生成树问题及其算法 数学建模数学建模 - - 图论图论 59* 四、最小生成树问题及其算法 数学建模数学建模 - - 图论图论 60* 四、最小生成树问题及其算法 数学建模数学建模 - - 图论图论 运行结果如下： T = 1 1 6 6 6 3 2 6 3 5 7 4 c = 2 4 3 3 6 8 7 6 7 8 8 3 3 4 2 4 5 v1 v2v3 v4 v5 v6 v7 64 68 68 65 50 50 61 45 60 54 例：分别利用Kruskal算法和Prim算法如图G的最小生 成树： 四、最小生成树问题及其算法 数学建模数学建模 - - 图论图论 称经过图 G = (V , E ) 的每条边恰好一次的路为 Euler路径 ，经过G 的每条边恰好一次的回路为 Euler回路。称有 Euler 回路的图为 Euler图 五、E图与H图问题 数学建模数学建模 - - 图论图论 命题：G 是 Euler 图当且当G 连 通且没有度数为奇数的点； G 有 Euler 路径当且仅当 G 连通且没有或只有二个度数为基 数的点。 A B C D 4 个点的度数皆为奇 数，不存在 Euler 路 中国邮递员问题： 一个邮递员从邮局取出邮件后，需要到他管辖区域内的每条街 道进行投递，送完邮件后返回邮局，问如何选择一条总路程最 短的投递路线？ 以街道为边，街道的交叉口或端点为点，街道的长度为权，构 造赋权图G =(V,E,w)。投递路线应是一条经过G的每条边至少一 次的回路。 数学建模数学建模 - - 图论图论 五、E图与H图问题 将G的度数为奇数的点（必 为偶数个）两个一组、两 个一组用最短路连结起来 。 4 3 3 3 4 3 3 3 a 2 b 2 c 2 d e 3 f 2 g 2 h i 4 j 2 k 2 l 2 4 3 2 2 如何分组可以使得重复路径的总长度最短？ 2 3 2 2 2 数学建模数学建模 - - 图论图论 五、E图与H图问题 数学建模数学建模 - - 图论图论 五、E图与H图问题 若G是Euler图，则任何一条Euler回路是最短投递路线,都满足 条件，针对这种情况，Fleury提出一种算法，能够在Euler图 中找出Euler路径，解决了邮递员问题； 若G 不是Euler图，则投递路 线将重复经过某些街道，最 优投递路线应使得重复经过 的街道的总长度最短。 例如，确定右图是否Euler图，若是 ，找出图中的Euler回路。 2 3 6 5 4 1 66* 数学建模数学建模 - - 图论图论 五、E图与H图问题 67* 数学建模数学建模 - - 图论图论 五、E图与H图问题 68* 数学建模数学建模 - - 图论图论 五、E图与H图问题 69* 数学建模数学建模 - - 图论图论 五、E图与H图问题 70* 数学建模数学建模 - - 图论图论 五、E图与H图问题 71* 数学建模数学建模 - - 图论图论 五、E图与H图问题 上述例题的Matlab程序如下： clear d=0 1 1 1 1 1 ;1 0 1 1 1 1;1 1 0 1 1 1;1 1 1 0 1 1;1 1 1 1 0 1;1 1 1 1 1 0; T=Fleuf1(d); 2 3 6 5 4 1 例：确定所示的赋权图是否Euler图 ，若是，找出图中的Euler回路。 数学建模数学建模 - - 图论图论 五、E图与H图问题 73* 数学建模数学建模 - - 图论图论 五、E图与H图问题 运行结果如下： T = 1 5 4 3 5 5 4 3 2 1 c = 5 d = 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 称经过图 G =(V,E)的每个点恰好一次的路为Hamilton路，经过G 的每个点恰好一次的回路为Hamilton回路。称有Hamilton回路的 图为Hamilton图。 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 1 9 20 十二面体的平面嵌入 为 Hamilton 图 Hamilton 图与 Euler 图 在定义上很相似，但判 断一个图是否 Hamilton 图较判断它是否 Euler 图 要困难得多，目前还没 有易验证的充要条件。 数学建模数学建模 - - 图论图论 五、E图与H图问题 在国际象棋中，马跳动一次只能沿着一个 23 的长方形的对角 线从一个角跳到另一个角，问是否存在一串符合规定的着法使得 马可以从任一格子出发跳遍 88 的整个棋盘，并只到达每个格 子一次？ 5641583550396033 4744554059345138 4257464936533261 4548435431623752 205306322111613 296421417142510 6192278231215 128718326924 * * 数学建模数学建模 - - 图论图论 五、E图与H图问题 旅行推销员问题 （货郎担问题） 一个推销员要去一些城市访问他的客户然后返回出发城市 ，问如何选择旅行路线可以使得总路程最短？ 以城市为点，以两个城市之间的旅行距离为权，构造一个赋 权完全图 G = (V ,E ,w) 。 推销员的旅行路线应是G 的一条经过每个点至少一次的回路 ，且回路的长度尽可能短。 数学建模数学建模 - - 图论图论 五、E图与H图问题 与最短路问题相反，至今未找到有求解旅行商问题的有 效算法，我们试图寻找一个比较好的方法，但不一定是最优 解；首先给出近似最优的改良后的最邻近算法，称为改良圈 算法，改良圈算法是一种近似算法，给出的结果不一定是最 优的，但是有理由认为它常常是比较好的。 该算法的matlab程序为： 数学建模数学建模 - - 图论图论 五、E图与H图问题 78* 数学建模数学建模 - - 图论图论 五、E图与H图问题 79* 数学建模数学建模 - - 图论图论 五、E图与H图问题 例：给定4个点的坐标为(0,0),(100,1000),(0,2),(1000,0),试 用改良圈算法求通过这4个点的Hamilton圈。 该问题的matlab程序为： clear v=0 0; 100 10