不定积分的换元积分法与分部积分法.ppt

43 不定积积分的换换元积积分法与分部积积分法 案例研究 案例4.3.1 太阳能的能量： 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 某一太阳能的能量 f 相对于太阳接触的表面面积的 变化率为 且当 时， 试 求 f 的函数表达式. 分析 该问题实际上是求不定积分 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 案例4.3.2 天然气的产产量： 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 工程师们发现，一个新开发的天然气井t月的总产 量P（单位： ）的变化率为 试求总产量函数 分析 该问题实际上是求不定积分 问：以上两个案例，实际上是需要解决什么问题？ 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 抽象归纳 第一类换类换 元积积分法 例 求积分 问：你能验证上式的正确性吗？ 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 结论 若所求的积分 中的被积函数 可化为 则有 通常把这种求不定积分的方法叫做第一类换元积 分法 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 问：上述四步中，关键是哪一步？ 关键：选择适当的变量代换 将 凑 成 因此第一类换元法又叫凑微分法 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 例1 求 解 简写为： 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 案例4.3.1的解 将 时， 代入上式，得 所以，所求 f 的表达式为 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 例2 求 解 课堂训练： . 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 例3 求 解 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 因为 所以 利用例3的结论，可求得 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 例4 求 解 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 例5 求 解 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 第二类换类换 元积积分法 例 求积分 分析 设 于是 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 结论结论 ： 这种求不定积分的方法叫做第二类换元积分法. 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 例6 求 解 设 即 于是 再将 代回后整理，得 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 例7 求 解 设 则 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 因为 则 代入上式得 本题中的变量代换称为三角代换. 利用三角代换， 可求解含有 的函数的积分问题. 及 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 分部积积分法 例 求积分 分析 这类积分是两类函数的乘积，不便于用上述 方法求积分。下面我们研究一种新方法。 两边积分，得 即 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 上述公式称为分部积分公式，用分部积分公式求积 分的方法称为分部积分法. 上式可改写为： 分部积法的步骤： 问：分部积分法的基本思想是什么？（转化） 将一个函数的积分问题转化为另一个函数的积分问 题，从而求得其解。 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 例8 求 解 讨论 求上述积分时，若将x凑微分，可以求出积 分吗？ 凑微口诀：指三幂对反 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 案例4.3.2的解 依题意，当 时， 代入上式，得 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 例9 求 解 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 例10 求 解 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 例11 求 解 设 即 则 于是 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Ec