《重积分的习题》PPT课件.ppt

上页下页 上页 返回 二重积分习题课 3、性质 一、内容提要 （一）二重积分的概念、性质 1、定义 2、几何意义：曲顶柱体的体积 1 上页下页 上页 返回 （二）二重积分的计算 1 、直角坐标系中 (1) 积分区域D的类型： X型区域，Y型区域,一般区域分划。 o a b x y D y ox d c 2 上页下页 上页 返回 积分区域的不等式表示的是二重积分化为二 次积分确定积分限的基本依据。 (2) 积分顺序的确定 先积y还是先积x，要结合被积函数f (x,y)及积 分区域两个方面的特点加以考虑。 如仅从积分区域的特点看，D是X 型区域时先 积y；D是Y 型区域先积x。 首先是“能积出”，其次是“易积出”。 D既是X 型区域又是Y 型区域时,选择不需 分块或分块较少的积分顺序。 3 上页下页 上页 返回 o a b x y D y ox d c 4 上页下页 上页 返回 (3) 交换积分顺序 2、利用极坐标计算二重积分 由所给的二次积分的顺序及积分限，确定积 分区域 D（画出图形），再按新的积分顺序将D 用新的不等式表出，即定出新的积分限。 (1) 积分顺序通常是先 r后 (2) D的极坐标表示 5 上页下页 上页 返回 如D的边界是由直角坐标方程 :y =f (x) 给出，通常可从几何意 义去确定D的极坐标表示（图形 是重要的）或利用x=rcos， y=rsin 进行变换。 Ox D Ox D ox D 6 上页下页 上页 返回 7 上页下页 上页 返回 （三）有关二重积分的对称性的应用 1、若D关于y轴对称 其中D1是D的右半区域 即当(x,y)D时，必有(x,y) D，则 8 上页下页 上页 返回 2、若D关于x轴对称 D1是D的上半部分区域 即当(x,y)D时，必有(x, y) D，则 9 上页下页 上页 返回 3、若D关于原点对称， 即当(x,y)D时，必有( x,y) D，则 其中D1是D的上半部分（或右半部分）区域。 10 上页下页 上页 返回 （四）有关二重积分的一些证明题 4、若D关于直线 y =x对称， 即当(x,y)D时，必有(y,x)D，则 中值定理、变上限积分、换元等 11 上页下页 上页 返回 例1 12 上页下页 上页 返回 解 (1) D的图形如右。 应先积y 13 上页下页 上页 返回 应先积x 14 上页下页 上页 返回 例2 计算下列二重积分 15 上页下页 上页 返回 D 2a O a x y 16 上页下页 上页 返回 D 2a O a x y 17 上页下页 上页 返回 D ox y R 18 上页下页 上页 返回 D ox y R 19 上页下页 上页 返回 解 D的图形如下,将D分成 三个部分区域。 20 上页下页 上页 返回 21 上页下页 上页 返回 解 例4 22 上页下页 上页 返回 23 上页下页 上页 返回 例5 先去掉绝对值符号，如图解 24 上页下页 上页 返回 y=x y=x D关于x轴对称，被积函 数关于y为偶函数。 用直线y =x、y =x 、 y =0 将D分成四个小区域。 D2 D4 D1 D3 o 1 x y 2 1 例6 25 上页下页 上页 返回 y=x y=x D2 D4 D1 D3 o 1 x y 2 1 26 上页下页 上页 返回 例7 27 上页下页 上页 返回 28 上页下页 上页 返回 解: 利用对称性 D1 D2 D1关于y轴对称 D2关于x轴对称 作曲线y =x3，将区域D 分成两部分D1 和D2 y 1 o 1 x 因为连续函数xsinyf (x2+y2)关于变量x、y分别都 是奇函数， x 关于变量x是奇函数，所以有 29 上页下页 上页 返回 D1 D2 y 1 o 1 x 30 上页下页 上页 返回 例9 31 上页下页 上页 返回 证明 选择积分区域如右: D x y 例10 32 上页下页 上页 返回 33 上页下页 上页 返回 证明 选择积分区域如右 D x y 例11 34 上页下页 上页 返回 例12 设f (x)是0，1上的正值连续函数，且 单调减少，求证 证明 在题设条件下， x y 35 上页下页 上页 返回 将上式中的x、