毕业论文--蛛网模型.docx

2012届 本科毕业论文蛛网模型的数学解析与实际应用研究院（系）名称数学科学学院专 业 名 称信息与计算科学学生姓名张凉风学号090999099指导教师王菲 副教授完 成 时 间2012.5蛛网模型的数学解析与实际应用研究张凉风 数学科学学院 信息与计算科学 学号：090999099指导教师：王菲摘 要：本文首先从蛛网模型的经济学定性分析出发，分析了蛛网波动的三种类型.然后分别在连续时间的条件下以时滞微分方程的形式和在离散化时间条件下以差分方程的形式两种角度建立模型，对传统的蛛网模型进行了定量分析并讨论了均衡点趋于稳定的条件.最后讨论了蛛网模型的实际应用并对其进行了改进及推广.关键词：蛛网模型；差分方程；时滞微分方程；稳定性1 蛛网模型介绍蛛网理论(cobweb theorem)，又称蛛网模型，是利用弹性理论来考察价格波动对下一个周期产量影响的动态分析，它是用于市场均衡状态分析的一种理论模型. 蛛网理论是20世纪30年代出现的一种关于动态均衡分析方法.许多商品特别是某些生产周期较长的商品(如猪肉,棉花等)，他们的的市场价格、数量会随时间的变化而发生变化,呈现时涨时跌、时增时减、交替变化的规律. 1930年美国的舒尔茨、荷兰的丁伯根和意大利的里奇各自独立提出,由于价格和产量的连续变动用图形表示犹如蛛网，1934年英国的尼古拉斯卡尔多将这种理论命名为蛛网理论.蛛网模型理论是在现实生活中应用较多、较广的动态经济模型，它在一定范围内揭示了市场经济的规律，对实践具有一定的指导作用.根据产品需求弹性与供给弹性的不同关系，将波动情况分成三种类型：收敛型蛛网（供给弹性小于需求弹性）、发散型蛛网（供给弹性大于需求弹性）和封闭型蛛网(供给弹性等于需求弹性).近年来，许多学者对经典的蛛网模型进行了广泛的的研究并做了一些改进,建立了更符合实际经济意义的蛛网模型.在这些研究中,对蛛网模型的假设基本上是基于单一商品市场上,将时间离散化后,从差分方程的角度入手, 研究蛛网模型的稳定性,并通过讨论模型平衡点的稳定性,得到了蛛网模型稳定的条件.实际上，价格是影响商品需求量、供给量因素,但并非唯一因素，例如人们对某种商品的需求量不仅与商品的价格有关,也与人们当期的可支配收入、当期价格上涨率等有关；另一方面，由于市场信息的滞后作用，生产者在进行市场价格与供给预测时，不仅会考虑前一期的价格，还会考虑到前几期甚至更长一段时期商品价格的综合趋势，因此考虑时滞效应的非均衡蛛网模型更具有实际意义.本文建立了蛛网理论的数学模型,给出了相应的数学分析与论证，使蛛网理论有了一个更加完备的理论基础，同时也为这一理论的量化分析提供了新的思路.2 蛛网模型在西方经济学中的定性分析蛛网模型考察的是生产周期较长的商品.蛛网模型的基本假设条件是：商品的本期产量决定于前一期的价格，即供给函数为.商品本期的需求量决定于本期的价格，即需求函数为.文中用、分别表示时刻的价格、数量、需求量、供给量.蛛网模型是一个动态模型，它根据供求曲线的弹性分析了商品的价格和产量波动的三种类型：“收敛型蛛网”、“发散型蛛网”和“封闭型蛛网”.第一种类型：如图所示，相对于价格轴，需求曲线斜率的绝对值大于供给曲线斜率的绝对值.当市场受到干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越小，最后会恢复到原来的均衡点.相应的蛛网称为“收敛型蛛网”.由于某种原因的干扰，如恶劣的气候条件，实际产量由均衡水平减少为.根据需求曲线，消费者愿意以价格购买全部产量，于是，实际价格上升为.根据第一期较高的价格水平，按照供给曲线，生产者将第二期的产量增加为；在第二期，生产者为了出售全部产量，接受消费者支付的价格，于是实际价格下降为.根据第二期较低的价格,生产者将第三期的产量减少为；在第三期，消费者愿意支付的价格购买全部的产量,于是实际价格又上升为.根据第三期的较高的价格，生产者又将第四期的产量调整为.依此类推，如图所示，实际价格和实际产量的波动幅度越来越小，最后恢复到均衡点所代表的水平.由此可见，图中均衡点状态是稳定的.也就是说，由于外在的原因，当价格与产量发生波动而偏离均衡状态时，经济体系中存在着自发的因素，能使价格和产量自动的恢复均衡状态.在图中，产量与价格变化的路径就形成了一个蜘蛛网似的图形. 从图中可以看到,只有当供给曲线斜率的绝对值大于需求曲线斜率的绝对值时,即供给曲线比需求曲线较为陡峭时,才能得到蛛网稳定的结果,相应的蛛网被称为“收敛型蛛网”.在这里,我们看到,除第一期受到外在原因干扰外,其它各期都不会再受新的外在原因干扰,从而前一期的价格能够唯一决定下一期的产量.按照动态的逻辑顺序,我们还看到,生产者片面地根据上一期的价格决定供给量, 消费者被动地消费生产者提供的全部生产量,而价格则由盲目生产出来的数量所决定.第二种类型：如图所示，相对于价格轴，需求曲线斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值.当市场受到外力干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越大，最后会偏离原来的均衡点.相应的蛛网称为“发散型蛛网”. 假定在第一期由于某种原因的干扰，实际产量由均衡水平减少为.根据需求曲线，消费者愿意支付价格购买全部产量，于是实际价格上升为，根据第一期较高的价格水平，按照供给曲线，生产者将第二期的产量增加为；在第二期，生产者为了出售全部产量，接受消费者支付的价格，于是实际价格下降为.根据第二期较低的价格,生产者将第三期的产量减少为；在第三期，消费者愿意支付的价格购买全部的产量,于是实际价格又上升为；根据第三期的较高的价格，生产者又将第四期的产量调整为.依此类推，如图所示，实际价格和实际产量的波动幅度越来越大，最后偏离均衡点所代表的水平.由此可见，图中均衡点所代表的均衡状态是不稳定的.从图可看出，当相对于价格轴，需求曲线斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值时，即相对于价格轴而言，需求曲线比供给曲线较为平缓时，才能得到蛛网不稳定的结果.所以供求曲线的上述关系是蛛网不稳定的条件，当市场由于受到干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越大，偏离原来的均衡点越来越远.相应的蛛网称为“发散型蛛网”.第三种类型：如图所示,相对于价格轴，需求曲线斜率的绝对值等于供给曲线斜率的绝对值时.市场受到外力干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会按照同一幅度围绕均衡水平上下波动，既不偏离，也不趋向均衡点.相应的蛛网称为“封闭型蛛网”.对于图中,不同时点的价格与供求量之间的解释与前两种情况类似，故从略.从图可看出，当相对于价格轴，需求曲线斜率的绝对值等于供给曲线斜率的绝对值时，即相对于价格轴而言，供求曲线具有相同的陡峭与平缓程度时，蛛网以相同的幅度上下波动，相应的蛛网称为“封闭型蛛网”.3 蛛网模型的数学分析3.1 连续时间条件下的蛛网模型的数学分析在连续时间的条件下,建立起微分方程形式的蛛网模型,研究蛛网模型的稳定性,并对模型结果进行了经济解释.我们考虑基于单一商品的市场的蛛网模型，并假设:时间是连续变量,价格、商品数量随时间连续变化.设某商品价格是时间的函数，供给量由供给函数决定,记做.供给是由多种因素决定的, 这里我们略去价格以外的因素, 只讨论供给与价格的关系.考虑到商品生产者对商品信息了解到商品价格的调节有个时间滞后，假定供给是某一时期价格的线性函数: 其中, 、是大于零的常数,可表示商品的边际供给量.在传统的蛛网理论中，需求是价格的函数，价格作为影响需求的唯一因素，这对正确反映商品价格变化规律具有一定局限性，为更好的反映商品价格变化过程，考虑影响需求的其他因素如价格上涨等.假设需求与价格及价格的上涨率都有关系，需求与价格、价格上涨率负相关.为此建立的需求函数为： 其中, 、是大于零的常数，表示商品的边际需求量. 的大小反映了商品需求对价格上涨率的依赖程度.需求量与供给量之差称为过量需求，即需求大于供给的部分.供给者时刻都在确定价格，根据商品市场在正常的情况下, 商品供需的变化引起价格的变动, 价格的涨速与第段时间过剩的需求正相关, 即 所以有 其中，为价格的调节系数, 反映价格依据超额需求的变动而进行调节时的调整速度和幅度的度量参数.将式、式代入式可得 在式中，令，则有 当时，系统有唯一平衡点.当需求量等于供给量，即市场出清时的价格为均衡价格，即 为均衡价格.系统在处线性近似系统为： 其中，系统的特征方程为： 令，式可化为，其中，.记，显然具有主项.令,则由于函数的所有零点都是实数，又因为，则对于的每一个零点都有不等式成立：如果，那么系统的平衡点是局部渐进稳定的.通过对系统的分析,可得到如下结论:如果边际商品供给小于边际商品需求，边际商品需求不大于,并且商品需求对商品价格上涨率的依赖程度满足一定条件,那么无论时滞多么大,商品价格随着时间的变化,稳定的趋于均衡价格.也就是说，无论供给者从了解商品需求到调控生产量的时间滞后有多长，对价格的调整有多么不同,只要这些调控的幅度不是很大,商品的价格总是能够回到使供需相等的均衡价格水平；反之，如果边际商品供给大于边际商品需求,边际商品需求不大于,当时滞取一定值时，系统会出现分支,也就是说,价格会围绕均衡价格上下波动，而且商品的价格最终不能回到均衡价格.3.2 离散时间条件下的蛛网模型的数学分析最简单的市场经济模型是单一商品市场模型,在时间离散化后的条件下，假设商品的供给量、需求量,只与该商品的价格有关,由需求量等于供给量建立的方程,即均衡方程,求得其解即是均衡价格.若进一步假定需求、供给是价格的线性函数,可以得到传统线性蛛网模型.最后在需求、供给是价格的非线性函数的条件下,可以得到非线性蛛网模型.3.2.1 蛛网模型的线性分析由蛛网模型的基本假设条件,本期的需求量是本期价格的线性函数，即,表示商品价格减少个单位时需求量的上涨幅度；而本期的供给量是由上一期的价格决定的,为上一期价格的线性函数,即，表示商品价格增加个单位时供给量的上涨幅度.该模型可以用以下三个联立的方程式来表示： 式中，、均为常数，且均大于零.为第期的需求量,为第期的供给量,为第期的价格,为第期的价格.将前面的式和式代入式可得 由此可得第期的产品价格为 又因为在市场均衡时，均衡价格为,所以，由式可得均衡价格为 均衡价格是一种理想状态，即在此价格水平下，每个人的需求都得到满足，而且不会有商品卖不出去.将式代入式可得 分析式，可以得到以下三种情形第一种情况，若,当时,则此时.也就是说,价格 随着时间的推移,其波动幅度愈来愈小,最终趋向于均衡价格.事实上,此时因需求弹性,供给弹性,当时,可推得,即供给弹性的绝对值小于需求弹性的绝对值(需求曲线斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值),蛛网模型是收敛的.在收敛性蛛网中,价格变动引起的需求量变动大于价格变动引起的供给量的变动,因而任何超额需求或超额供给只需较小的价格变动即可消除.同时价格变动引起的下一期供给量的变动较小,从而对当期价格发生变动的作用较小,这意味着超额需求或超额供给偏离其均衡量的幅度以及每期成交价格偏离均衡价格的幅度,在时间序列中将是逐渐缩减的,并最终趋向其均衡产量和均衡价格.第二种情况,若,当时,则此时.这说明,需求曲线斜率的绝对值()小于供给曲线斜率的绝对值()时,或供给弹性较大而需求弹性较小时,市场价格将振荡至无穷大,蛛网模型是发散的.在发散型蛛网中,价格变动引起的供给量的变动大于价格变动引起的需求量的变动.当出现超额供给时,为使市场上供给者卖出所有的产品,要求价格大幅度下跌,这将会导致下一期的供给量减少,以致该期出现大量的供给短缺,供给的严重不足导致价格大幅度上扬,由此导致下一期供给量大幅度增加和价格大幅度下跌.在这种情况下,一旦失去均衡,以后各期的供给过剩或短缺的波动幅度以及成交价格波动的幅度,都将离均衡价格越来越远.第三种情况,若,当时为常数.这说明,相对于价格轴,需求曲线斜率的绝对值()等于供给曲线斜率的绝对值()时,即市场价格一旦偏离均衡状态,则以后各期的价格及产量的变动序列就表现为围绕均衡值循环往复地上下振荡,既不进一步偏离,又不进一步逼近均衡价格.这就是“封闭型蛛网”的情形.从上面的讨论，我们可以看出，均衡点最终能否趋于稳定状态关系到该模型的分类，因此我们有必要对均衡点趋于稳定的条件作进一步讨论.3.2.2 蛛网模型的非线性分析记第时段商品的数量为,价格为,自然数表示时段,.这里把时间离散化为时段,每个时段相当于商品的一个生产周期,蔬菜、水果是一个种植周期，肉类是牲畜的饲养周期.价格与产量紧密相关，可以用一个确定的关系来表现，即设该函数反映消费者对这种商品的需求关系，称为商品数量越多,格就越低，所以是单调递减函数.因此在图中用一条下降曲线表示它,称为需求曲线.又假设下一个时段的产量是生产者根据上一时期的价格决定的，即设该函数反映生产者的供应关系,品的价格越高,供给量就越大,是单调增加函数. 在图中用一条上升曲线表示它，称为供给曲线.为了表现出和的变化过程,我们可以借助已有的函数和,当供需相等时,如图所示求函数与供给函数相交于,点即是市场出清的均衡状态.在进行市场经济分析时，取决于消费者对某种商品的需求程度和消费水平等因素，取决于生产者的生产、经营等能力，当知道具体的需求函数与消费函数时，可以根据、曲线的具体性质来判定在平衡点的稳定性.一旦需求曲线和供应曲线确定下来, 商品数量和价格是否趋向稳定状态, 就完全有这两条曲线在平衡点附近的形状决定.建立差分方程： 设点满足：，,设 ，在点附近取、的一阶泰勒展式，线性近似为 合并、两式，并消去可得 上式是关于的一阶线性差分方程，它是原来方程的近似模型，这是客观实际问题的近似模拟，解这个一阶线性差分方程得：由此可得,当时,即点稳定条件是,即，需求曲线在点的切线斜率绝对值小于供给曲线在该点的切线斜率绝对值；反之，点不稳定的条件是,即，需求曲线在点的切线斜率绝对值大于供给曲线在该点的切线斜率绝对值.这个非线性分析使传统的线性蛛网模型的分析有了进一步的推广.西方经济学家认为，蛛网模型解释了某些生产周期较长的商品的产量和价格的波动的情况，是一个有意义的动态分析模型,对理解某些行业产品的价格和产量的波动提供了一种思路.但是，这个模型还是一个很简单的和有缺陷的模型.实际上在大多数情况下, 商品生产数量并不只是根据前一时期的价格决定的,具有相当管理经验的生产经营者在决定产品数量时不会仅仅只参考前一期的价格 ,可能还会对更前几期的价格做一定的比较和分析,尤其像生产者始终只是简单地把上一期价格作为本期价格预期并以此作为决定产量的依据，这种非理性假设与现实是极不相符的.4 蛛网模型的实际应用研究4.1 模型中核心变量、的实际意义在第3.2.1节蛛网模型的线性分析中我们建立了蛛网模型，该模型用了、三个联立的方程式来表示，首先来考察参数、 的含义，需求函数的斜率（取绝对值）表示商品供应量减少1个单位时价格的上涨幅度；供给曲线的斜率表示价格上涨1个单位时（下一时期）商品供应的增加量.因此， 的数值反映消费者对商品需求的敏感程度.如果这种商品是生活必需品，消费者处于持币待购的状态，商品数量稍缺，人们立即蜂拥抢购，那么， 就会比较大；反之，若这种商品为非必需品，消费者购物心理稳定，或者消费水平低下，则 较小.的数值反映生产经营者对商品价格的敏感程度，如果他们目光短浅，热衷于追逐一时的高利润，价格稍有上涨立即大量增加生产，那么，就会比较大；反之，若他们素质较高，有长远的计划，则会较小.4.2大学生就业问题与蛛网模型“2012年全国高校应届毕业生将突破680万人，比2011年增加20万人，毕业生人数增加、金融危机下相关行业用人需求减少，使2012年的就业竞争更为激烈”.这是国家教育部门的统计数据.然而，透过毕业生增多这层薄薄的面纱，可以看出,大学生就业市场出现紊乱的原因完全是因为人才供需失衡，并且，我国高校毕业生就业市场符合“蛛网模型”.学生在报考志愿时看到的是就业后的待遇，而就业机会反映的是当年的情况，蜂拥而至的报名者在几年后毕业时可能面临的是另外一种就业形势，即当年的“热门”毕业时可能成为“冷门”.因此，根据当年高校毕业生市场价格和就业情况所作出的调整并不一定正确，尤其是在某些技术性很强的专业领域，比如工程及法律等方面。假如说工程师的工资率在某一年中突然抬升，但是新工程师的供应的影响，必须要等到三四年之后劳动力市场上才会有充足的此类劳动力供给（学习这一专业需要花费一定的时间）.同样的道理，如果工程师的工资率趋于下降，那些已经进入该专业的学生也不大可能立即放弃学习这一专业.他们已经在这专业投入了许多时间和精力，所以他们中的大部分人在此专业内等待机会，而不是花费更多的时间和精力学习另外一个专业.因此，高校毕业生就业市场的时间因素是一个不容忽视的问题，其变动规律符合“蛛网模型”. 劳动力供给未能对劳动力市场状况做出及时的反映，这种情况很可能会引起劳动力市场对工程师的需求出现一个过剩不足周期.至此我认为造成大学生就业问题的主要原因是大学生就业市场供求信息不对称造成大学生结构性失业，所以必须建立政府、高校、企业三方合作的人才供需预警机制，从源头破解大学生就业市场的紊乱，实现最大程度的人才供需平衡.5 蛛网模型的改进西方经济学家认为，蛛网模型解释了某些生产周期较长的商品的产量和价格的波动的情况，是一个有意义的动态分析模型。但是，这个模型还是存在着一定的缺陷.5.1 改进后的蛛网模型一般地需求不仅与价格有关，还与人们现期的可支配收入有关，当然还与其他的因素有关.现在加以改进，需求一般与价格反向变动,与收入同方向变动（至少对正常商品如此），故时刻商品的需求可设为： 式中，代表除货币以外的其他所有可能引起需求变动的因素.为了简化推导，是货币收入和价格水平取了对数以后的值，因而等价于实际货币收入量的对数,参数代表需求量对实际货币收入的反应系数.在实际生活中，由于市场的不完全信息，或者获取信息的成本过大，生产者并不能准确地知道价格水平，而只能对此加以估计，今用表示产品供给者对价格水平的估计，根据供求法则，一般产品的供给与价格同方向变动，则时刻商品的供给函数可设为： 接下来的问题是，生产者如何对价格水平加以估计? 假设做出经济决策的经济主体是理性预期者，为了追求最大利益，他们总是力求对未来做出准确的预期，且在预期时不会犯系统性错误，人们对价格的变动采取适应性方式, 即根据价格的波动来修正自己对未来价格的预期，经济主体会随时随地根据得到的信息来修正预期的错误，当预期值高于正确值时，它会降低预期值；当预期值低于正确值时，它会提高预期值.但预期价格和实际价格往往不一致，从而供给者会根据前一期的实际价格和预期价格的差来调整当期的价格预期，产品供给者对当期价格水平的估计可用下述方程表示为 式中，分别为第期和第期预期价格，产品供给者对时期价格的估计由两部分组成：一部分是上一期的价格预期；另一部分是生产者根据经验对前期价格的调整，为调整系数.上式说明预期价格的变化值等于上期实际价格与上期预期价格的一定比例.上式也可以更具体地表示为 即时期的预期价格等于期实际价格与期预期价格的加权平均数，这是对蛛网模型的进一步改进.最后要想使市场保持供需平衡的出清状态，必须满足条件为 由此建立的数学模型，可用下边四个联立的方程表示为 式中，、均为常数，且均大于零，为常数.5.2 分析改进后模型的稳定性由式、式、式得 将其代入式得当给定时，上式整理得 这是一个一阶差分方程.解这个差分方程可得其特征方程 对应齐次方程的通解为 用算子法易求得非齐次方程的特解为 故该差分方程的通解为不难看出有两部分构成：一部分为系统的长期均衡, 并等同于蛛网模型中的均衡价格, 另一部分为系统的动态特征, 该模型的稳定性条件为，当时，时，即满足该蛛网模型稳定的均衡价格为下面我们分析上式的经济学意义. 当 时，即的实际价格小于预期价格时，产品供给者“吃一堑，长一智”，在前期预期价格的基础上做出期的预期价格使得.其中为调节系数，这取决于供给者的信心系数，越大，产品当期预期价格比前期预期价格调整越大，则当期的供给越多.同理，当 时，即的实际价格大于预期价格时，供给者调整当期预期价格，使得，表明当期预期价格下降，供给减少.下面具体讨论的各种情形:(1) 当 即时，呈非摆动性收敛；（2）当时，保持在均衡价格上；（3）当 即时，呈摆动性收敛；（4）当时，呈均衡摆动，但无均衡价格；（5）当时，呈摆动性发散，无均衡价格.综上所述，当时，收敛，有均衡价格.再进一步，假设第三期预期价格不仅与期的实际价格有关，而且与期实际价格有关,设第期的预期价格为期的价格加上期与期价格差的一定比例, 即 其中为平滑系数，且，不难看出, 当时, ,上述模型变为传统蛛网模型.上式也可以表示为： 即时期的预期价格等于上期实际价格与期实际价格的加权平均，这是对传统蛛网模型的再一次改进.由此建立的数学模型，可用下边四个联立的方程表示为： 式中，、均为常数，且均大于零，为常数，且当给定时，由、整理得 这是一个二阶差分方程.其特征方程是 记该特征方程的特征根为，不难验证该方程的通解可表为 其中，常数可由初始条件确定，常数是该差分方程的特解.由差分方程稳定性理论的判据可知,二阶常系数线性差分方程存在渐近稳定均衡点的充分必要条件是：其所对应齐次方程的特征方程的特征根满足，就能得到点稳定的条件.6 结语在一般的经济学原理分析中，对蛛网模型理论都给予了动态分析，但分析过程大都仅仅从经济学供求关系角度对产品产量与价格的波动过程进行解释.这种说明性的分析与论证，尽管具有形象、直观的特点.但从数学角度来看，这类分析可以说是不很严密的本文分别在时间连续的条件下从微分方程的角度与时间离散的条件下从差分方程的角度入手，对蛛网模型进行了数学上的分