高等数学重积分重点难点.doc

重积分一、 基本要求1. 了解二重、三重积分的概念和性质2. 掌握二重积分在直角坐标和极坐标下的计算3. 掌握三重积分在直角坐标、柱面坐标和球面坐标下的计算4. 会用重积分计算曲面面积、立体面积、以及物体质量、质心等几何量和物理量.二、 主要内容重 积 分几何物理应用三重积分二重积分定义、性质计算法计算法球面坐标柱面坐标直角坐标极坐标直角坐标曲面面积立体体积物体质量物体质心 详细内容：1. 重积分定义：设是有界闭域上的有界函数，将任意分成个小闭区域，其中也表示第个小闭区域的面积，在每个上任取一点 作和，如果当各小区域的直径的最大值时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数在上的二重积分，记作，即 2. 性质 ) ) ) (为的面积) )如果在上，则有 )设分别是在闭区域上的最大值和最小值，是的面积，则有 )(中值定理)设在闭区域上连续，是的面积，则在上至少存在一点,使得3. 直角坐标下计算二重积分 )积分区域 则 ) 积分区域 则4. 极坐标下计算二重积分 设积分区域： 则 5. 二重积分的几何意义：等于以为底，为顶的曲顶拄体的体积，(这里)物理意义：表示位于平面区域，面密度为的薄片的质量.6. 三重积分定义：设是有界闭域上的有界函数，将任意分成个小闭区域，其中也表示第个小闭区域的体积，在每个上任取一点 作和，如果当各小区域的直径的最大值时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数在上的三重积分，记作，即 7. 直角坐标下计算三重积分 )积分区域 则 ) 积分区域 则8.柱面坐标下计算二重积分 设： 则9. 球面坐标下计算三重积分 设： 则10. 三重积分的物理意义：表示位于空间区域，体密度为的空间形体的质量.11.对称区域上的奇偶函数积分)若为区域上的连续函数，关于轴对称，且为位于 轴右侧的子区域，则 ) 若为区域上的连续函数，关于坐标面对称，为位于坐标面上侧的部分，则12.几何应用、物理应用 曲面面积： 平面薄片的质心坐标：， 空间物体的质心坐标： ，其中三、 重点与难点：1. 选择适当的坐标计算重积分.2. 根据被积函数及积分区域特点，选择适当的积分次序.3. 二次积分的积分次序变换.4. 利用对称区域上函数的奇偶性简化计算.四、 例题1. 设在上连续，证明不等式 等号仅当为常数时成立.分析：利用“非负被积函数的二重积分非负”的性质来证明. 在证明等号成立的条件时，用到了“非负连续函数的定积分为零，则此函数恒为零”的性质. 证明：因为 故有 当为常数时，显然上述等号成立. 反之，设上述等号成立，则 由于函数是上非负连续函数，故，.特别即，又由于函数是上非负连续函数， 故，.因此， 即为常数.2. 在下列二次积分中改变积分次序 1)分析：积分域：，也表示为两个区域的并，其中： ：解：2)分析：注意到当，尽管这个二次积分并不是在由及所围区域上的二重积分，但是改变积分次序使之与原二次积分相等仍为可能.解： 3. 计算下列二重积分1) ，其中是和 为边的平行四边形区域.分析：当从变到，对每一固定的，从变到故化为先对后对的二重积分较简单.解： 2) ，其中是由轴和摆线的第一拱所围的区域分析：区域：，其中为摆线的直角坐标方程，显然当时，解： 3)，其中：， 分析：将区域分成两块，使被积函数再利用二重积分的关于积分域的可加性，分块计算解：曲线将区域分成 ：，：， 4),其中: 分析：当二重积分的积分域为圆域或扇形域，可考虑用极坐标 解： 4.计算二重积分分析：由于被积函数的原函数不易求出，可考虑改变积分次序后再计算.解：设区域： 5.设一平面薄片位于双曲线及直线所围平面区域，且上任一点处的面密度为，求此薄片的质量.分析：平面薄片的质量等于密度函数再区域上的二重积分，再利用区域对称化简计算. 解：薄片的质量 6.求曲面夹在两曲面之间的那部分曲面的面积. 分析：将所求的曲面投影到面计算最简单，投影域为曲线所围部分.解：投影域： 由，知 7.化二次积分为极坐标形式的二次积分.分析：一般极坐标形式的二次积分为先对后对的二次积分，当然也可化为先对后对的二次积分.解：区域可表示为：及： 积分域也可表示为：及：两部分. 8.设函数在上连续，并设，求.分析：求解关键是利用二重积分对坐标轮换对称的性质，即区域的边界曲线方程关于对称，则有 .解：变换积分次序得 9.求锥面和抛物面所围成的立体体积.分析：求体积可用二重积分，也可用三重积分.解一：投影域： 解二：10.计算，其中是由所围成的区域分析：在面上投影域如图所示，在上的点，在不知道曲面形状的情况下，也容易写出的积分范围.解： 11.求，其中是由曲面绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围成的立体.分析：是由旋转曲面与所围而成的立体，化三重积分的计算中可化为先对或后对的积分.解一：， 解二：，其中 12.试将三重积分化为三次积分，其中是由及所围成的区域.分析：此题可分别化为直角坐标、柱面坐标和球面坐标下的三重积分，主要这个三重积分不可将它理解为在大的圆锥区域积分减去小的圆锥区域积分.解： 13.设，其中：分析：两边在上求三重积分，解出即可.解：设，则 ，故14.用定积分表示三重积分分析：由于被积函数是的函数，故将积分次序变换后，把对的积分算出，再将的积分次序变换，又可把对的积分算出，最后保留对的积分式子.解： 15.用重积分证明：由平面图形绕轴和轴旋转所成的旋转体的体积分别是和证明：曲线绕轴旋转的旋转曲面方程：，在面上投影域为：故所求体积曲线绕轴旋转的旋转曲面方程：在面上投影域为：故所求体积 即16.求曲面上点处的切平面与曲面所围成的空间区域的体积.分析：所围的空间区域在面上的投影域的确定以及如何在此投影域上积分是此题的关键.解：曲面在处的法向量则切平面方程为即所以切平面与曲面的交线在面上的投影曲线为即所求空间在面上的投影域为故17.设球体占有闭区域：，它在内部个点处的密度的大小等于该点到坐标原点距离的平方.试求这球体的质心.分析：由于为球体，且被积函数出现项，故可用球面坐标计算，同时注意到区域的对称性.解：密度此球体的质量由对称性易知 而 即球体的质心：五、自测题(A)一、 选择题(3分515分)1. 设为在第一象限部分，二重积分可化为 A) B) C) D) 2. 设,其中为三角形闭区域，三顶点分别为,则 A) B) C) D)以上均不正确3. 设空间区域： ： 则 A) B)C) D)4. 设平面薄片位于区域，密度函数为，质心坐标为，则 A) B)C) D)5. 设，：由，所围，则化为极坐标形式的积分为 A) B)C) D)二、 填空题(3分515分) 1. 2. 3.利用重积分性质估计，这里:，那么 4.积分的值等于 5.设：，则三、(10分) 计算二重积分四、 (10分) 改变下列积分次序. 1. 2. 五、 (10分) 证明六、 (10分) 计算三重积分，其中是由曲面与所围区域.七、 (10分) 设连续，且，其中是由，曲面与所围区域，求.八、 (10分) 求平面被三坐标所割出的有限部分的面积.九、 (10分) 计算，：.自测题(B)三、 选择题(3分515分)1. 在下列哪种情况下成立 A) B) C) D) 且2. 设由，若，则，之间的关系为 A) B) C) D) 3.设为连续函数，则等于 A) B) C) D) 4.设平面区域，则等于 A) B) C) D)05.一物体占有空间区域：，密度为质心坐标，则 A) B) C) D) 四、 填空题(3分515分) 1.的极坐标形式的二次积分为 2.设区域由双曲线，那么等于 3.设：， 4.空间区域是由平面及三坐标面所围，将三重积分化为先对，再对，最后对的三重积分 5.曲面所围立体的体积是 三、(10分) 计算，其中是由，所围成的区域，为连续函数.十、 (10分)求椭球的体积十一、 (15分)将化为三次积分，其中由，所围. 十二、 (10分) 十三、 (10分) 求由及 所围图形关于直线的转动惯量.八、(15分) 求，其中为连续函数.自测题(C)一、选择题(3分515分)1. 设：，则 A)B) C) D) 2. 设， ，其中：，那么 A) B) C) D) 的符号与的取值有关3.设：，则 A) B) C) D) 4.设：，记，则有 A) B) C) D)以上都不正确5.设设：，则 A) B) C) D)五、 填空题(3分515分) 1.将柱面坐标三次积分化为先对后对，的三次积分 2.不等式所表示的图形的体积为 3.设为则在球面坐标下的三次积分为 在柱面坐标下的三次积分为 4.一旋转抛物面状容器装满水，再将水倒掉，问容器内水面下降了 三、(15分)将二次积分变换积分次序 六、 (15分)计算三次积分七、 (15分)用二重积分证明：平面曲线，绕轴和轴旋转一圈所得的旋转曲面的面积分别是 和八、 (15分)求曲面与所围立体的体积九、 (10分)若为区域上的连续函数，关于轴对称，且