BB52常数项级数的判敛法.ppt

二、交错级数及其审敛法 三、任意项级数的判敛法 第二节 一、正项级数的判敛法 常数项级数的判敛法 第五章 1 一、正项级数及其审敛法 若 定理 1. 正项级数收敛部分和序列 有界 . 若 收敛 , 部分和数列 有界, 故从而又已知 故有界. 则称为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 定义 2 定理2 (比较审敛法) 且存在 对一切有 1、 若级数（2) 则级数(1) 2、 若级数（1 ） 则级数（2） 证略 则有 收敛 ,也收敛 ; 发散 ,也发散 . 两个正项级数, (常数 k 0 ), 3 解 1： 发散 , 例1：判断下列级数的敛散性 而收敛 由比较判别法可知原级数收敛 解 2： 而 由比较判别法可知原级数发散 4 例2. 讨论 p 级数(常数 p 0) 的敛散性. 解: 1) 若 因为对一切 而调和级数 由比较审敛法可知 p 级数 发散 . 发散 , 2）若 顺序地把一项、两项、四项、八项括在一起 此式 由比较判别法可知 p1 时，p 级数收敛。 5 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数. 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 对一切 6 证明级数发散 . 证: 因为 而级数 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例3. 7 例4 8 定理3. (比较审敛法的极限形式) 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =+ 证明略！ 设两正项级数 满足 (1) 当 0 1, 则原级数收敛。 18 解： 比值法失效，但 故级数发散。 19 解：考虑以为通项的级数 用比值法知级数收敛， 例2：求证 20 定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设 则 证明略 为正项级数, 且 例如 , p 级数 说明 : 但 级数收敛 ; 级数发散 . 时 , 级数可能收敛也可能发散 . 21 例1：判断下列级数的敛散性 解： 由正项级数的根值判别法可知原级数发散。 解： 由正项级数的根值判别法可知原级数收敛。 解： 由正项级数的根值与比较判别法可知原级数收敛。 22 二 、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件: 则级数收敛 , 且其和 其余项满足 23 证: 是单调递增有界数列, 又 故级数收敛于S, 且 故 24 收敛 收敛 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 收敛 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 发散 收敛收敛 25 三、任意项级数的判敛法 定义: 对任意项级数 若 若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称 收敛 , 原级数 为条件收敛 . 均为绝对收敛. 例如 ： 绝对收敛 ；则称原级数 条件收敛 . 可正可负可为零。 26 定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 . 证: 设 根据比较审敛法 显然 收敛, 收敛 也收敛 且 收敛 , 令 27 例1. 证明下列级数绝对收敛 : 证: (1) 而收敛 , 收敛 因此绝对收敛 . 28 解 因此收敛,绝对收敛. 例1. 证明下列级数绝对收敛 : 29 30 例2：判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。 分析：此为交错级数，是否绝对收敛用正项级数判别 法，关键是将通项绝对值如何放大或缩小。 解： 原级数条件收敛！ 是发散的级数 31 例2：判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。 32 内容小结 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛发 散 不定 比较审敛法 用其它方法 判别 积分判别法 部分和极限 33 3. 任意项级数审敛法 为收敛级数 Leibniz判别法: