CH51不定积分的概念与性质.ppt

indefinite integral l原函数与不定积分的定义 l不定积分的几何意义 l不定积分的性质 第一节 不定积分的概念及性质 （1） 从运算与逆运算看 初等数学中加法与减法、乘法与除法、 乘方与开方、指数与对数等，都是互逆的运算。 微分是一种运算：求一个函数的导函数。 微分运算的逆运算是什么？ 问题： 一、原函数的概念 （2） 从物理问题看 （3） 从几何问题看 定义 原函数的定义 例 l 什么样的函数存在原函数呢？ l 原函数是不是只有一个呢？ 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 问题： (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例（ 为任意常数） 关于原函数的说明： （1）若 ，则对于任意常数 （2）若 和 都是 的原函数， 则（ 为任意常数） 证 （ 为任意常数） 同一函数的原函数不仅不唯一，而且有无穷多个。 问题： 如何表示这种求原函数的运算？ 即如何表示 ？ 注：求函数 f（x）的原函数， 实质上就是问它是由什么函数求导得来的， 而若求得f（x）得一个原函数F（x），其全体 原函数应为 二、不定积分的定义： 定义 任意常数 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 原函数 不 定 积 分 不定积分和原函数的关系： 不定积分=原函数+任意常数 原函数是不定积分其中之一。 的原函数的图形称为 的积分曲线。 三、不 定 积 分 的 几 何 意 义 例1 求 解 解 例2 求 例不定积分=原函数+任意常数 例不定积分=原函数+任意常数 例3 求积分 解 例4 设曲线通过点(1，2)，且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程 解 设所求的曲线方程为yf(x)， 所以曲线方程为yx 2C 因所求曲线通过点(1，2)，故 21C， C1 于是所求曲线方程为yx 21 按题设 已知切线如何求函数的曲线？ 因为2x dx x 2 C ， l不定积分的求法： 利用回忆微分法 和函数的求导公式求不定积分 实例 四、基 本 积 分 公 式 逆 运 算 启示能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因 此可以根据求导公式得出积分公式. 积分回忆微分 见书145-146页 基 本 积 分 表 基 本 积 分 表 基 本 积 分 表 l利用积分基本公式求不定积分 例5 求积分 解 根据积分公式（3） 五、 不 定 积 分 的 性 质 （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 不定积分的线性性质 例6 x(x2 5)dx ( 2 5 x 5 2 1 x )dx 例7 2 3 ) 1( x x dx e x 3sin x C 例8 (e x 3cos x)dx 例9 2x ex dx 例10 2 4 1x x dx tan x x C 4cot x C 例 11 tan 2 x dx (sec 2x1)dx 例 12 sin 2 2 x dx 2 1 (1cos x)dx 例 13 2 cos 2 sin 1 22 xx dx 2 2 sin 1 x dx 例14. 求 解: 原式 说明：1分项积分后，我们只写一个C 2. 检验结果是否正确，只要将结果求 导，看它的导数是否等于被积函数。 例15 求积分 解 例16 求积分 解 例17 求积分 解： 例18 求积分 解 说明：以上几例中的被积函数都需要 进行恒等变形，才能使用基本 积分表. 练 习 答 案 练 习 答 案 答 案 练 习 答 案 答 案 思 考 题 符号函数 在 内是否存在原函数？为什么？ 思 考 题 解 答 不存在. 假设有原函数 故假设错误 所以 在 内不存在原函数. 结论每一个含有第一类间断点的函数都 没有原函数. 内 容 小 结 1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表 2. 直接积分法: 利用恒等变形, 及 基本积分公式进行积分 . 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 , 积分性质 l对于规则的图形（正方形、矩形、圆等） 的面积及规则形状（正方体、圆柱、圆锥 等）的体积，这些问题我们在中学已经学 过。通过对积分的学习，我们就可以求不 规则图形的面积、不规则物