ch6常微分方程初值问题的数值解法.ppt

第六章 常微分方程初值问题的数 值解法 6.1 欧拉方法 6.2 计算公式的误差分析 6.3 龙格库塔方法 6.4 向一阶方程组与高阶方程的推广 问题： 数值求解方法： 6.1.1 欧拉公式与改进欧拉公式 6.1 欧拉方法 这称为欧拉公式 例6.1 以 h=0.1为步长，用欧拉法求常微分方程初值问题 后退欧拉公式是一个隐式公式，通常采用迭代法求解。 这称为后退欧拉公式 6.1.2 梯形公式与改进欧拉公式 欧拉公式与后退欧拉公式也可采用积分近似的方法推出 梯形公式也是隐式单步法公式 用梯形公式计算时，通常取欧拉公式的解作为迭代初值进行迭 代计算，即采用下式 这称为改进欧拉公式 例6.2 仍取步长h = 0.1，采用改进欧拉法重新计算例 6.1 的 常微分方程初值问题。 这时改进欧拉公式为 计算结果见表6-2（书125页） 解 6.2 计算公式的误差分析 定义6.1 若 yi+1 是 yi=y(xi) 从计算得到的近似解，则称 y(xi+1) yi+1为所用公式的局部截断误差，简称为截断误差 。 定理6.1 若单步法 yi+1 = yi+h (xi , yi , h) 的局部截断误 差为 O (h p+1) ，且增量函数 (x , y , h) 关于 y 满足李普希兹 条件，即存在常数 L0，使对 成立不等式 则其整体截断误差 y(xi) yi=O(hp) 截断误差的估计(基本假设： yi = y( xi ) ) 设 y(x)C 3 x0 , b , 则 （1）对欧拉公式，有 因此，欧拉公式的局部截断误差为 O (h2) （2）对后退欧拉公式，有 因此，后退欧拉公式的局部截断误差为 O (h2) （3）对梯形公式，注意到其公式可改写为 故由式（6-9）和（6-9）得 因此，梯形公式的局部截断误差为 O ( h3 ) （4）对改进欧拉公式，有 而由 ，故有 与式（6-7）比较得 y(xi+1) yi+1 = O ( h3 ) 因此，改进欧拉公式的局部截断误差为 O ( h3 ) 定义6.2 若一种求解常微分方程初值问题的数值计算方 法的局部截断误差为 O ( hp+1 ) ，则称该方法为 p阶精度，或 称该方法为 p阶方法。 由此定义知，欧拉方法与后退欧拉方法为一阶精度，梯 形法与改进欧拉方法为二阶精度。 6.3 龙格-库塔方法 由中值定理，有 因此，以上介绍的各种单步法本质上都是对平均斜 率 f( , y( ) 进行近似，龙格-库塔据之提出了适当选取若 干点上的斜率值作近似以构造高精度计算公式的方法，其 基本思想是基于泰勒展式的待定系数法。 6.3.1 二阶R-K公式 问题：建立二阶精度的计算格式形为 在 y(xi) = yi 的假设下，有 故 解 而 根据格式为二阶精度，即 y(xi+1) yi+1 = O(h3) 比较两式系数得 系数满足(6-13)的形为(6-12)计算格式统称为二阶R-K公式 。当令1=1/2时，解得 2=1/2 ，a=b=1，即为改进欧拉公式。 若令 1=0，解得 2=1，a=b=1/2，则得另一计算公式 变形欧拉公式 6.3.2 四阶 R-K 公式 每一步需计算的 f 值的个 数 1234567n 8 精度阶1234456n-2 1965年，Butcher研究发现显式R-K公式的精度与需要组 合的斜率值的个数具有如下关系 可见，超过四阶精度的R-K公式效率并不高，实际计算通 常选用如下四阶格式 经典R-K公式 这时经典R-K公式为 例6.3 取步长h = 0.2，采用经典R-K法计算例 6.1 的常微分 方程初值问题。 取 h=0.2 计算得到表6-4(书133页）。 与例6.1和例6.2比较可见，用经典R-K法计算得到的解比用 欧拉法和改进欧拉法所得到的解精确得多。 解 6.3.3 步长的自动选择 对于 p 阶精度的计算格式，当取步长为 h 时，记 为 从 y(xi) 计算得到的 y (xi+1) (xi+1= xi+h) 的近似解，则有 为便于进行事后误差估计，实际计算时通常采用步长减半 算法。 记 ，则对给定的精度要求 ，可根据 按如 下方式调整步长： （1）若 ，则把