全国高等教育自学考试工程数学(线性代数)1月.doc

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2011年10月全国自考工程数学线性代数模拟试卷（一）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设是矩阵, 是矩阵，如果乘积有意义，则应是（） A.矩阵 B.矩阵 C.矩阵 D.矩阵 答案： D 2.若行列式（） A. B. C. D.答案： B 3.设为阶方阵，那么有（） A. B. C. D. 答案： B 4.设均为维向量，则下列结论中正确的是（） A.若对任一组不全为零的数,都有，则线性无关 B.若线性相关，则对任意一组不全为零的数，都有 C.若，则线性相关 D.若向量组中任意两个向量都不成比例，则线性无关答案： A5.设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（） A. B. C. D. 答案： B 由于，且矩阵为满秩矩阵，故线性无关.6.设元齐次线性方程组的一个基础解系为，则下列向量组中为的基础解系的是（） A. B. C. D. 答案： C.7.设阶方阵有一个特征值为，则必有一个特征值为（） A. B. C. D. 答案： C.8.二次型的规范型是（） A. B. C. D. 答案： C 的矩阵，易用顺序主子式判定正定，故的规范型中的两个系数都为1，于是只有选项C正确.9.设为阶矩阵，且，则必有（） A. 的行列式等于 B. 的逆矩阵等于 C. 的秩等于 D. 的特征值均为 答案： C 10.已知矩阵与对角矩阵相似，则（） A. B. C. D. 答案： C 由于与对角矩阵相似，从而存在可逆阵，使，二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.若，则 . 答案：12.若方程组有非零解，则常数 .答案：13.设则 .答案： 14.已知为矩阵的2重特征值，则的另一个特征值为 .答案： 解析： 因为 ， 故15.齐次线性方程组的基础解系中所含向量个数为 .答案：216.设矩阵但其中则矩阵的秩 . 答案：1 解析：因所以的两个列向量都是齐次线性方程组的解，而的两个列向量是线性无关的，故的基础解系中至少含2个向量，而基础解系中所含向量个数为所以即另外故17.设2阶矩阵，则 .答案：618.设则 .答案：19.若矩阵，则二次型 .答案：20.已知2阶方阵的特征值为则 .答案：36 解析：由特征值的性质知的全部特征值为4，9，故.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式解：.22.已知矩阵矩阵满足求.解：由，即23.设向量组，问取何值时，该向量组线性相关？何时线性无关？并在线性相关时把表示成的线性组合.解：由，知线性相关（线性无关） 当时，由得.24.设二次型，确定常数的最大取值范围使该二次型正定.解：二次型对应的矩阵的特征值为.当时，即时，二次型正定.25.对矩阵，求一个正交矩阵，使为对角矩阵.解：由，得的特征值.由，得属于的特征向量；同理可得属于的特征向量分别为，其单位特征向量分别为，.故所求正交矩阵可取为，它使.26.求方程组的基础解系和通解.解：对系数矩阵作初等行变换：，由此知方程组的用自由未知量表示的通解为：，取，得，取，得，取，得，故方程组的通解为.四、证明题（本题6分）27.设均为维向量，已知可由线性表示，但不能由线性表示.证明：可由线性表示.证明：由条件知存在常数（不全为零）使得因不能由线性表示，故上式中的必为零（否则，则有这与不能由线性表示矛2011年10月全国自考工程数学线性代数模拟试卷（一）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设是矩阵, 是矩阵，如果乘积有意义，则应是（） A.矩阵 B.矩阵 C.矩阵 D.矩阵 答案： D 2.若行列式（） A. B. C. D.答案： B 3.设为阶方阵，那么有（） A. B. C. D. 答案： B 4.设均为维向量，则下列结论中正确的是（） A.若对任一组不全为零的数,都有，则线性无关 B.若线性相关，则对任意一组不全为零的数，都有 C.若，则线性相关 D.若向量组中任意两个向量都不成比例，则线性无关答案： A5.设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（） A. B. C. D. 答案： B 由于，且矩阵为满秩矩阵，故线性无关.6.设元齐次线性方程组的一个基础解系为，则下列向量组中为的基础解系的是（） A. B. C. D. 答案： C.7.设阶方阵有一个特征值为，则必有一个特征值为（） A. B. C. D. 答案： C.8.二次型的规范型是（） A. B. C. D. 答案： C 的矩阵，易用顺序主子式判定正定，故的规范型中的两个系数都为1，于是只有选项C正确.9.设为阶矩阵，且，则必有（） A. 的行列式等于 B. 的逆矩阵等于 C. 的秩等于 D. 的特征值均为 答案： C 10.已知矩阵与对角矩阵相似，则（） A. B. C. D. 答案： C 由于与对角矩阵相似，从而存在可逆阵，使，二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.若，则 . 答案：12.若方程组有非零解，则常数 .答案：13.设则 .答案： 14.已知为矩阵的2重特征值，则的另一个特征值为 .答案： 解析： 因为 ， 故15.齐次线性方程组的基础解系中所含向量个数为 .答案：216.设矩阵但其中则矩阵的秩 . 答案：1 解析：因所以的两个列向量都是齐次线性方程组的解，而的两个列向量是线性无关的，故的基础解系中至少含2个向量，而基础解系中所含向量个数为所以即另外故17.设2阶矩阵，则 .答案：618.设则 .答案：19.若矩阵，则二次型 .答案：20.已知2阶方阵的特征值为则 .答案：36 解析：由特征值的性质知的全部特征值为4，9，故.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式解：.22.已知矩阵矩阵满足求.解：由，即23.设向量组，问取何值时，该向量组线性相关？何时线性无关？并在线性相关时把表示成的线性组合.解：由，知线性相关（线性无关） 当时，由得.24.设二次型，确定常数的最大取值范围使该二次型正定.解：二次型对应的矩阵的特征值为.当时，即时，二次型正定.25.对矩阵，求一个正交矩阵，使为对角矩阵.解：由，得的特征值.由，得属于的特征向量；同理可得属于的特征向量分别为，其单位特征向量分别为，.故所求正交矩阵可取为，它使.26.求方程组的基础解系和通解.解：对系数矩阵作初等行变换：，由此知方程组的用自由未知量表示的通解为：，取，得，取，得，取，得，故方程组的通解为.四、证明题（本题6分）27.设均为维向量，已知可由线性表示，但不能由线性表示.证明：可由线性表示.证明：由条件知存在常数（不全为零）使得因不能由线性表示，故上式中的必为零（否则，则有这与不能由线性表示矛盾），于是得盾），于是得2011年10月全国自考工程数学线性代数模拟试卷（一）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设是矩阵, 是矩阵，如果乘积有意义，则应是（） A.矩阵 B.矩阵 C.矩阵 D.矩阵 答案： D 2.若行列式（） A. B. C. D.答案： B 3.设为阶方阵，那么有（） A. B. C. D. 答案： B 4.设均为维向量，则下列结论中正确的是（） A.若对任一组不全为零的数,都有，则线性无关 B.若线性相关，则对任意一组不全为零的数，都有 C.若，则线性相关 D.若向量组中任意两个向量都不成比例，则线性无关答案： A5.设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（） A. B. C. D. 答案： B 由于，且矩阵为满秩矩阵，故线性无关.6.设元齐次线性方程组的一个基础解系为，则下列向量组中为的基础解系的是（） A. B. C. D. 答案： C.7.设阶方阵有一个特征值为，则必有一个特征值为（） A. B. C. D. 答案： C.8.二次型的规范型是（） A. B. C. D. 答案： C 的矩阵，易用顺序主子式判定正定，故的规范型中的两个系数都为1，于是只有选项C正确.9.设为阶矩阵，且，则必有（） A. 的行列式等于 B. 的逆矩阵等于 C. 的秩等于 D. 的特征值均为 答案： C 10.已知矩阵与对角矩阵相似，则（） A. B. C. D. 答案： C 由于与对角矩阵相似，从而存在可逆阵，使，二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.若，则 . 答案：12.若方程组有非零解，则常数 .答案：13.设则 .答案： 14.已知为矩阵的2重特征值，则的另一个特征值为 .答案： 解析： 因为 ， 故15.齐次线性方程组的基础解系中所含向量个数为 .答案：216.设矩阵但其中则矩阵的秩 . 答案：1 解析：因所以的两个列向量都是齐次线性方程组的解，而的两个列向量是线性无关的，故的基础解系中至少含2个向量，而基础解系中所含向量个数为所以即另外故17.设2阶矩阵，则 .答案：618.设则 .答案：19.若矩阵，则二次型 .答案：20.已知2阶方阵的特征值为则 .答案：36 解析：由特征值的性质知的全部特征值为4，9，故.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式解：.22.已知矩阵矩阵满足求.解：由，即23.设向量组，问取何值时，该向量组线性相关？何时线性无关？并在线性相关时把表示成的线性组合.解：由，知线性相关（线性无关） 当时，由得.24.设二次型，确定常数的最大取值范围使该二次型正定.解：二次型对应的矩阵的特征值为.当时，即时，二次型正定.25.对矩阵，求一个正交矩阵，使为对角矩阵.解：由，得的特征值.由，得属于的特征向量；同理可得属于的特征向量分别为，其单位特征向量分别为，.故所求正交矩阵可取为，它使.26.求方程组的基础解系和通解.解：对系数矩阵作初等行变换：，由此知方程组的用自由未知量表示的通解为：，取，得，取，得，取，得，故方程组的通解为.四、证明题（本题6分）27.设均为维向量，已知可由线性表示，但不能由线性表示.证明：可由线性表示.证明：由条件知存在常数（不全为零）使得因不能由线性表示，故上式中的必为零（否则，则有这与不能由线性表示矛盾），于是得全国2006年1月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198 试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设A是3阶方阵，且|A|=2，则|-A|=（ ）A-6B-2C2D62设A=，则A的伴随矩阵A*=（ ）ABCD3秩A是n阶方阵，且A的第一行可由其余n-1个行向量线性表示，则下列结论中错误的是（ ）Ar(A)n-1BA有一个列向量可由其余列向量线性表示C|A|=0DA的n-1阶余子式全为零4设A为n阶方阵，AB=0，且B0，则（ ）AA的列向量组线性无关BA=0CA的列向量组线性相关DA的行向量组线性无关5设1、2是非齐次线性方程组Ax=b的解，是对应齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b必有一个解是（ ）ABCD 6设齐次线性方程组Ax=0的基础解系含有一个解向量，当A是3阶方阵时，（ ）Ar(A)=0Br(A)=1Cr(A)=2Dr(A)=37设A与B等价，则（ ）AA与B合同BA与B相似C|A|=|B|Dr(A)=r(B)8已知A相似于=，则|A|=（ ）A-2B-1C0D29设是可逆阵A的一个特征值，则A-2必有一个特征值是（ ）ABCD10设3阶实对称矩阵A的特征值分别为1，0，-1，则（ ）A|A|0B|A|=0CA负定DA正定二、填空题(本大题共l0小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案错填、不填均无分。11按自然数从小到大为标准次序，则排列54123的逆序数=_。12=_。13设A=，则A-1=_。14设=（1，2，4），=(-1,-2,y)且与线性相关，则y=_。15设=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，0），=（1，2，-3），则秩（，）=_。16若A是秩为1的三阶方阵，是Ax=b的解，且与无关，则Ax=b的通解可表示为x=_。17已知A=与B=相似，则x=_。18若向量=（1，-2，1）与=（2，3，t）正交，则t=_。19已知三阶实对称矩阵A有三个特征值2,1,-2,B=A2+2E，则B的特征值是_。20二次型f(x1，x2，x3，x4)=的对称矩阵是_。三、计算题(本大题共6小题，每小题8分，共48分)21计算行列式的值。22设A=且AB=A+2B，求B。23设向量组：=（-1，-1，0，0）T， =（1，2，1，-1）T，=（0，1，1，-1）T 、 =（1，3，2，1）T、=（2，6，4，-1）T，试求向量组的秩及其一个极大线性无关组。24讨论p取何值时，下列线性方程组无解？有解？并在有解时求其通解。25已知A=的一个特征向量是=(1，1，-1)T（1）确定a,b以及的特征值。（2）求r(A)。26用正交变换化二次型f(x1，x2，x3)=2为标准型，并写出所用的正交变换。四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）27设方阵A满足A2-A-2E=0，证明A可逆，并求其逆阵。28设是齐次方程组Ax=0的基础解系，证明,也是Ax=0的基础解系。全国2006年4月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，表示方阵A的行列式。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1行列式的值为（）A2B1C0D-12设n阶方阵A，B，C满足ABC=E，则必有（）AACB=EBCBA=ECBAC=EDBCA=E3设n阶方阵A中有n2-n个以上元素为零，则的值（）A大于零B等于零C小于零D不能确定4设3阶矩阶A=（1，），B=（2，），且=2，=-1，则=（）A4B2C1D-45线性方程组 有解的充分必要条件是=（）A-1B-CD16设A为mn矩阵，则非齐次线性方程组Ax=b有惟一解的充分必要条件是（）Am=nBAx=0只有零解C向量b可由A的列向量组线性表出DA的列向量组线性无关，而增