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第四章 解的存在性与连续性 4.1 连续性的概念 4.1.2 对应的连续性 下面是对教材进行部分替换的内容及相关插补内容 集值映射 集值映射是经济学为自己创造的一种分析工具，主要用于研究 需求与供给问题。与通常的映射相比，集值映射是取值为集合的映 射，它反映的是元素与集合之间的某种对应关系。事实上，多值函 数就是集值映射的一种形式。带歧视的价值函数就是一种集值映射 。消费预算、需求、供给其实也都是集值映射，甚至连经济系统本 身也可以看成是一种集值映射。 现实经济生活中，集值映射也是多见的。比如，消费选择。消 费者往往因为百货商店的好多西太多而眼花缭乱，做不出唯一的选 择：这件东西好，那件东西也好，买其中哪一个都行。这样，这件 东西和那件东西都成为他需要且能够购买的商品，但只能购买其中 之一。这种现象就是集值映射的一个典型事例：选择的不唯一性。 又如，抛物线 y = 4x 所表达的变量 y与x之间的关系就是 集值映射： 。 关于集值映射，讨论起来比单值映射要复杂得多。这里，我们 只讨论与本课程有关的内容：集值映射的连续性。 (一) 集值映射的概念 定义 设 E 和F 是两个集合。如果对 E 中每个元素x，都有F 的 子集 (x) 与之对应，则称这种对应关系为从 E 到F 的集值映射(set- valued map)，简称集映，记作 : E F 。如果集映 : E F 满足条 件：(xE )( (x) )，则称 : E F 为对应(correspondence)。 x (x) : E F E F 补例1(预预算对应对应 ) 集合 E, F 如下: E = ( p1, p2, r): ( p10)( p2 0)(r0) F = ( x1, x2): (x10)(x2 0) 对任何 ( p1, p2, r)E，与之对应的 F 的子集为 ( p1, p2, r) = (x1, x2)F : ( p1 x1 + p2 x2 r)。则这一对应关系就 是一个集值映射，并且是对应。我们可把 ( p1, p2) 看成价格向量，把 r 看成收入，则集合 ( p1, p2, r) 就是支付不超过收入的消费方案的全体预算 集合，因而通常把 : E F 称为预算对应。 ( p1, p2, r) 补例2(集族) 通常的集族就是集映。比如，集族ZttT 实际上 是集映 Z: T F，其中 F = Zt，Z(t) = Zt(对一切 tT )。 tT x1 x2 1.看作多值映射 通常所说的映射或函数都是单值映射或单值函数，即对于自变 量的每一种取值，与之对应的因变量的值是唯一的；集值映射则实 际上是多值映射，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量 的值是可能有多个，甚至无限多个。 补例3. 带带人员员歧视视的价值值函数 用 x 表示商品Q的数量，则下述集值映 射 v : R+ R+ 是一种带有人员歧视的价值函 数：v(x) = x, exp(x) 1, ln(1+ x) ( x 0)。这 是一个多值函数。 补例4. 反三角函数 经常使用的各种反三角函数都是多值 函数，它们就是集值映射。比如，反正玄 函数 Arcsin(x) 是从闭区间 1, 1 到实数直 线 R 的集值映射，即Arcsin : 1,1R, 其 中 Arcsin(x) = 2k +arcsin(x): k = 0, 1, 2, (2k+1) arcsin(x): k = 0, 1, 2,。 v x x v(x) x exp(x)1 ln(1+ x) x x y Arcsin(x) 补例5. 经济经济 系统统集映 社会经济系统本身就是一个集值映射 : AR，其中 A代表经济 人的全体，R 是商品空间， (a)代表经济人 a 的选择集合(商品空间 的子集)。经济制度及法律法规都能通过集映 : AR 得以体现。 2.看作单值映射 也可把集值映射 : EF 看成是一种单值映射 : EP(F )，其 中P(F )是 F 的幂集(power set)，即由集合 F 的一切子集所构成的集 合。这种看法的好处在于, 与 x 对应的元素 (x)被作为一个整体来 看待，而不再像多值映射那样把 (x)看成是对应于x的多个元素。 当把集值映射看成是单值映射时, 集值映射 : EF 实际上代 表着一个集族 (x)xE，也就是说，集映 : EF 与集族 (x)xE 是同一回事。 F E (x) x 把集值映射看成单值映射的 又一个好处在于, 当E和F为拓扑 空间时, 我们可以给幂集合P(F ) 赋予适当的拓扑结构，从而可以 像单值映射那样来研究集映。 都是本质集映, 例4是非本质集映。对于本质性集映，采用如下的集 合论观点看待，将会给分析带来方便。 3.看作乘积集合的子集 G( ) x (x) F E 集映的图像 集映 : E F 可看作是积集合 EF 的子集G( ) = (x, y)EF : y (x)。 集合G( )叫做 : EF 的图像。不 同集映的图像是不同的，集映与它的图 像之间一一对应，因而可把集映与其图 像等同看待。 这样, 单值映射 f 与集值映射 表达了相 同的对应关系。可见，我们更应该关心 本质性集值映射 : E F：存在x, yE使 得 x y且 (x) ( y) 。前面的例1,3,5 集值映射可以区分为本质性和非本质性两类。所谓非本质集映 : E F，是指 (x) (xE)互不相交，即对任何x, yE，只要xy，就 有 (x) ( y) = 。事实上，如果 : E F 是非本质集映, 那么 必然 是某个单值映射 f :FE 的逆映射：(zF )(x = f ( z)( z (x)。 (x) ( y) x y E F 非本质集映 (二) 各种类型的集映 E 的子集 K 在集映 : E F 下的像集是指集合 K ： K = (x) = yF : (xK )( y (x) 1. 开集映：设 E与F 都是拓扑空间。如果集映 : E F 的图像G( ) 是积空间 EF 的开子集，则称 : E F 为开集映。 2. 闭集映：设 E与F 都是拓扑空间。如果集映 : E F 的图像G( ) 是积空间 EF 的闭子集，则称 : E F 为闭集映。 3. 开集值集映：设 E 为任一集合，F 为拓扑空间。如果对任何xE， (x)都是 F 的开子集，则称 : E F 为开集值集映。 4. 闭集值集映：设 E 为任一集合，F 为拓扑空间。如果对任何xE， (x)都是 F 的闭子集，则称 : E F 为闭集值集映。 5. 紧集值集映：设 E 为任一集合，F 为拓扑空间。如果对任何xE， (x)都是 F 的紧子集，则称 : E F 为紧集值集映。 6. 凸集值集映：设 E 为任一集合，F 为向量空间。如果对任何xE， (x)都是 F 的凸子集，则称 : E F 为凸集值集映。 xK 教材上相关表述为： (三) 集映的连续性 设 E和F 都是拓扑空间， : E F， xE。 （1） 上半连续性 在点 x 处上半连续是指：对于F 中 任何包含 (x) 的开集 V ，都存在 x 的邻域 U 使得 U V 。 如果 在 E 中的任何点处都是上半连 续的，则称 是上半连续的集映。 （2） 下半连续性 在点 x 处下半连续是指：对于F 中 任何与 (x)相交的开集V ，都存在 x 的邻 域 U 使得 (zU )( (z)V )。 如果 在 E 中的任何点处都是下半连 续的，则称 是下半连续的集映。 E F (x) U V 上半连续 下半连续 x F E U (x) x V （3） 连续性 在点 x 处连续是指 在点 x 处既上半连续，又下半连续。 如果 在 E 中的任何点处都是连续的，则称 是连续集映。 V U U 集映的上半连续性和下半连续性都是函数连续性概念的推广。 的上半连续性是说 (x)不会突然膨胀框得住； 的下半连续 性是说 (x)不会陡然收缩粘得住。 1.集映连续性的意义 V (x) (x) x x 粘不住 框不住 在 x 处上半连续，但不下半连续在 x 处下半连续，但不上半连续 定理 设 : E F，xE，E R ，F R ，m 和 n 都为自然数。 (1) 如果 是闭集值集映且 E 是有界的，则 上半连续当且仅当 是闭集映。 (2) 若 (x) 是闭集且存在 x 的邻域U 使得 U 有界，则 在 x 处上 半连续当且仅当对任何 yF 以及任何序列 xkE 和 yk (xk) ( k = 1,2,)，当 xk x ( k ) 且 yk y ( k ) 时，y (x)。 (3) 在 x 处下半连续当且仅当对任何 y (x) 及 E 中任何收敛于 x 的序列xk ( k = 1,2,)，存在F 中收敛于 y 的序列 yk (k = 1,2,)，使 得 yk (xk) ( k = 1,2,)。 (4) 如果 是闭集值的闭集映且存在 x 的邻域U 使得 U 有界，则 在 x 处上半连续。 2.集映连续性的判别 nm 本定理为研究集值映射提供了极大的便利。其中的结论(4)直接 从(1)得到，它比(1)可能更为有用；结论(2)和(3)分别是集值映射的 上、下半连续性的极限形式，因而也是很有用的。 补例6 移动通讯需求 信息技术的发展让移动通讯业在全球迅速兴盛起来，尤其在中 国，手机的使用已经比较普遍，移动通讯需求相当旺盛，移动通讯 业的竞争也迅速展开。我们来分析一下移动通讯市场的需求情况。 假定市场上有两家公司A和B(比如联通公司和移动公司)在提供 移动通讯业务，这两家公司提供的服务相同，但话费可能不同。 p1：公司A的话费(元/分种)。 p2：公司B的话费(元/分种)。 x1：消费者使用公司A的网络通话的时间(分钟)。 x2：消费者使用公司B的网络通话的时间(分钟)。 r：消费者准备用于支付话费的收入。 这样，平面上的向量 x = (x1, x2) 表示着消费者的通话选择：使用 网络A通话 x1分钟，使用网络B通话 x2分钟。这样，消费者的消费集 合便为 。 (1) 偏好关系的确定 既然两家提供的服务完全相同，那么在不考虑价格因素的情况 下，不论是用谁的网络服务，对消费者来说都是一样的。因此，消 费者移动通讯消费方案的评价可以按照通话总时间多少来确定的： (x, yX)( (x1, x2) ( y1, y2) (x1+x2 y1+y2) ) 即消费者认为，移动通话的总时间越多 越好。这样，无差异曲线为直线： x1 + x2 = U (0 U p2、p1 p2的情形(2) p1 0和价格 ，选一个开球V使 得 。则对包含 p的任何开集U以及U中这 样的点 p = ( p1, p2)：p1 p2，都有D( p, r)V = 。故D( p, r)在( p, r)处 不是下半连续的。 (3) 移动通讯需求的上半连续性和非下半连续性 移动通讯消费者明显地满足需求上半连续性定理的条件，因此 移动通讯需