导数的性质与应用.doc

山东城建职业学院工程数学电子教案第三章 导数与微分导数与微分（14学时）内容：导数、左右导数的概念，导数的几何意义，导数的基本公式与运算法则，反函数、复合函数，初等函数，隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的函数的导数，简单函数的高阶导数，隐函数的二阶导数，由参数方程所确定的函数的二阶导数。变化率的应用，微分概念和运算以及微分的应用。要求：理解导数的定义及其几何意义，了解连续与可导的关系。熟练掌握导数的基本公式与运算法则，熟练掌握复合函数、初等函数、隐函数的求导方法。掌握取对数的求导法，掌握由参数方程所确定的函数的求导法。理解高阶导数的概念及其几何意义，了解微分用与近似计算。重点与难点：重点是导数的定义及运算法则，导数的几何意、复合函数、初等函数、隐函数的求导方法。微分的概念，求二阶导数。难点是商的导数公式的运用。求二阶导数。第三章 导数与微分本章内容简介：微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分，其中导数反映的是函数相对于自变量的变化快慢的速度，而微分则指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。本章里，我们主要学习导数和微分的概念以及它们的计算方法，而导数的应用，则在下一章讨论。第一节 导数的概念教学目的：理解导数的概念及几何意义会求平面曲线的切线和法线,了解导数的物理意义,理解函数连续性与可导性之间的关系教学重点：导数的概念,导数的几何意义教学难点：导数定义的理解,不同形式的掌握教学时数：2学时教学内容：一、导数概念的引例为了引出导数的概念，我们先看下面两个关于变化率的实际问题。（1）直线运动的速度例如，物体作匀速直线运动时，其速度为 （1）如果物体作变速直线运动，则上式只能表示从时刻到的平均速度，如果时间间隔选得较短，这个比值（1）在实践中也可用来说明动点在时刻的速度。但对于动点在时刻的速度的精确概念来说，这样做是不够的，而更确切地应当这样：令,取（1）式的极限，如果这个极限存在，设为，即，这时就把这个极限值称为动点在时刻的（瞬时）速度。（2）切线问题我们就曲线为函数的图形的情形来讨论切线问题。设是曲线上的一个点（图2-2），则。根据上述定义要定出曲线在点处的切线，只要定出切线的斜率就行了。为此，在点外另取上的一点，于是割线的斜率为，其中为割线的倾角。当点沿曲线趋于点时，。如果当时，上式的极限存在，设为,即存在，则此极限是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。这里，其中是切线的倾角。于是，通过点且以为斜率的直线便是曲线在点处的切线。事实上，由以及时，可见时（这时），。因此直线确为曲线在点处的切线。图2-2图2-1 二、导数的定义与几何意义1 定义上面所讨论的两个问题，一个是物理问题，一个是几何问题。但是当我们抛开它们的具体意义而只考虑其中的数量关系时，就会发现本质上完全相同的一个极限即因变量的改变量与自变量的改变量之比，当自变量的改变量趋于0时的极限。这就是导数。定义 设函数在点内有定义，当自变量在处取得增量（）时，相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即 ， （2）也可记作，或。函数在点处可导有时也说成在点具有导数或导数存在。导数的定义式（2）也可取不同的形式，常见的有 （3）和 （4）区间可导和导函数(1) 如果函数y = f (x) 在某个开区间（a,b）内每一点x处均可导，则称函数y = f (x)在区间（a,b）内可导。(2) 若函数y=f(x)在某一范围内每一点均可导，则在该范围内每取一个自变量x的值，就可得到一个唯一对应的导数值，这就构成了一个新的函数，称为原函数y =f (x)的导函数，导函数往往简称为导数。如果函数在开区间内可导，且及都存在，就说在闭区间上可导。2、导数的几何意义函数y = f (x)在处的导数在几何上表示曲线y = f (x)在处的切线的斜率，即,为切线与x轴正向的夹角。根据点斜式直线方程，可得处的切线方程为：相应点处的法线方程为：是曲线在点的切线斜率；路程对时间的导数是时刻的速度；在抽象情况下，表示在点变化的快慢。求导练习下面根据导数定义求一些简单函数的导数例1 求函数（为常数）的导数。解：，即。这就是说，常数的导数等于零。例2 求函数（为正整数）在处的导数。解：。把以上结果中的换成得，即。更一般地，对于幂函数（为常数），有。这就是幂函数的导数公式。利用这公式，可以很方便地求出幂函数的导数，例如：当时，（）的导数为，即；当时，（）的导数为，即。例3 例 求函数的导数解 即 这就是说,正弦函数的导数是余弦函数.用类似的方法，可求得就是说,余弦函数的导数是负的正弦函数例4 求函数（）的导数。解：即 。这就是指数函数的导数公式。特殊地，当时，因，故有。上式表明，以为底的指数函数的导数就是它自己，这是以为底的指数函数的一个重要特性。例5 设.解:特别地.例6 函数f(x)=|x|，在点x0处是否可导? 解： ，所以f(x)=|x |在x0处不可导据函数在点处的导数的定义是一个极限，因此存在即在点处可导的充分必要条件是左、右极限 及 都存在且相等。这两个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数，记作及，即，。现在可以说，函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等。例7 求指数函数的图形在点（0，1）处的切线方程和法线方程。解 由例4和导数的几何意义知，的图形在点（0，1）处的切线斜率为，所以切线方程为，即法线方程为，即。例8 求过点(2,0)且与曲线相切的直线方程 解 显然点(2,0)不在曲线 上. 由导数的几何意义可知，若设切点为(x0,y0)，则的所求切线斜率k为 故所求切线方程为又切线过点(2,0)，所以有于是得x0=1,y0=1,从而所求切线方程为 三、 导数与连续的关系若存在。则有极限的函数与无穷小的关系知道，即（其中为当时为无穷小），由。可知，定理 如果函数在点处可导，则函数在该点必连续。反之，一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。例9 研究函数在点处的连续性和可导性.启发与思考1、数学、物理、化学、生物以及经济中哪些概念可以用导数来描述。2、若，能否说明在处连续？可导？3、如果和都存在，且相等，问在处是否可导？小结：本节讲述了导数的定义,导数的几何意义,可导与连续之间的关系,作业：作业见作业卡第二节 函数和差积商的求导法则，反函数的导数教学目的：掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求反函数的导数教学重点：导数的四则运算法则，反函数求导方法教学难点：反函数求导教学时数：2学时教学内容：1. 函数和、差、积、商的求导法则设函数,根据导数定义，很容易得到和、差、积、商的求导法则.（1）（2）（3）证明：（1） 所以f(x)在点x处可导，且，即，类似的，可以得因此得函数得和、差得求导法则两个可导函数之和（之差）得导数等于这两个函数得导数之和（差）。这个法则可以推广导任意有限项的情形。（2）由导数定义与极限法则，有 其中，是因为存在，从而在x处一定存在。所以，f(x)在点x处可导，且，简记因此得函数积得求导法则：两个可导函数得乘积得导数等于第一个因子的导数与第二个因子的乘积，加上第一个因子与第二个因子的导数的乘积。积的求导法则也可以推广到任意个有限个函数之积的情形。（3）设因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是x0时，v(x+x)v(x)，从而即。说明：（1）；（2）学习了函数的和、差、积、商的求导法则后，由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数，均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求。这里仅证（2） 例1 已知，求例2已知，求 解例3，求解 例4解 例5 解 例6 ，求。解： ，即 。这就是正切函数的导数公式。例7 ，求。解：，即 。这就是正割函数的导数公式。用类似方法，还可求得余切函数及余割函数的导数公式：，。2. 导数的基本训练（1）（2）（3）（4）（5）（6） 小结：本节讲述了导数的四则运算法则，求反函数的导数的方法作业：作业见作业卡第三节 反函数的导数与复合函数的导数教学目的：掌握反函数、复合函数的求导法则，熟练反函数、复合函数的求导方法教学重点：反函数、复合函数的求导法则教学难点：理解反函数、复合函数的求导方法教学时数：2学时教学内容：一、 反函数的导数至今，我们没有合适的方法求出三角函数的对应的反函数的导数，用下面介绍的反函数的求导法则就可逐一解决。设是直接函数，在区间内单调且连续，那么它的反函数，在对应的区间内也是单调、连续的。若再假定在区间内可导且在点处，。在此假定下，考虑它的反函数在对应点x处的可导性及导数与的关系。任取，给x以增量，由单调，可得，于是有。因为连续，所以时，必有，从而有。这说明反函数在点x处可导，且例1 设y=arcsinx,求y.同样我们可得到例2 求反正切函数的导数。解 时的反函数，而在内单调增加、可导，且，所以每点都可导，并有，又，于是有类似的，可求得例3 求对数函数的导数。让学生做练习二、 复合函数求导定理 复合函数求导法则(链导法) 如果在点可导，而在点可导，则复合函数在点可导，且其导数为。证： 由于在点可导，因此存在，于是根据极限与无穷小的关系有，其中是时的无穷小。上式中，用乘上式两边，得。当时，规定，这时因，而右端亦为零，故对也成立。用除两边，得，于是 。根据函数在某点可导必在该点连续的性质知道，当时，从而可以推知。又因在点可导，有，故 ，即 。证毕。复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形。我们以两个中间变量为例，设，则，而，故复合函数的导数为。当然，这里假定上式右端所出现的导数在相应处都存在。例4 设，求。解 可以看作由，复合而成的，因此 例2已知，求解：例3 ，求。解：。例4 ，求。解：所给函数可分解为，。因，故。不写出中间变量，此例可这样写：。1.自我训练题：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）2抽象的复合函数求导练习（所出现的抽象函数均可导）。（1）（2）（3）（4） 启发与思考1. 复合函数是由那些函数复合而成的.2. 中间变量函数的定义域与复合函数的定义域是什么关系?小结：本节讲述了复合函数的求导法则，训练了复合函数的求导方法及抽象的复合函数的求导方法作业：作业见作业卡.第四节 隐含数的导数和由参数方程确定的函数的导数 初等函数的导数教学目的：熟练初等函数的求导方法，了解高阶导数的概念，会求简单的n阶导数 掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，会求其一二阶导数教学重点：高阶导数的求法 隐函数求导教学难点：高阶导数的归纳方法 隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幂指函数的求导法教学时数：4学时教学内容:一、 隐函数的导数 先介绍显函数、隐含数的定义 如果在含变量x和y的关系式F(x,y)=0中,当x取某区间I内的任一值时，相应地总有满足该方程的惟一的y值与之对应，那么就说方程F(x,y) =0在该区间内确定了一个隐函数y =y(x)这时y(x)不一定都能用关于x的表达式表示. 若方程F(x,y) =0确定了隐函数y =y(x)，则将它代入方程中，得 F(x,y(x) =0 对上式两边关于x求导(若可导),并注意运用复合函数求导法则,就可以求出y(x)来.把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如从方程解出，就把隐函数化成了显函数。隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的。但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。下面通过具体例子来说明这种方法。例1 求方程y=cos(x+y)所确定的隐函数y=y(x)的导数解： 将方程两边关于x求导，1.隐函数求导方法小结：（1）方程两端同时对求导数，注意把当作复合函数求导的中间变量来看待，例如.（2）从求导后的方程中解出来.（3）隐函数求导允许其结果中含有.但求一点的导数时不但要把值代进去，还要把对应的值代进去。例2 ，确定了是的函数，求。解：，时，。自我训练：（1），求。（2），求。（3），求。（4），求。2.取对数求导法对于幂指函数是没有求导公式的，我们可以通过方程两端取对数化幂指函数为隐函数，从而求出导数。例3 求的导数。解：这函数既不是幂函数也不是指数函数，通常称为幂指函数。为了求这函数的导数，可以先在两边取对数，得；上式两边对求导，注意到是的函数，得，于是 。由于对数具有化积商为和差的性质，因此我们可以把多因子乘积开方的求导运算，通过取对数得到化简.解 先在两边取对数，得 lny=2ln(x2+2)-ln(x4+1)-ln(x2+1).上式两边对x求导,得注：关于幂指函数求导，除了取对数的方法也可以采取化指数的办法。例如，这样就可把幂指函数求导转化为复合函数求导；例如求的导数时，化指数方法比取对数方法来得简单，且不容易出错。二、 由参数方程确定的函数的求导若由参数方程确定了是的函数，如果函数具有单调连续反函数，且此反函数能与函数复合成复合函数，那么由参数方程所确定的函数可以看成是由函数、复合而成的函数。现在，要计算这个复合函数的导数。为此，再假定函数、都可导，而且。于是根据复合函数的求导法则与反函数的导数公式，就有，即 。上式也可写成 。如果、还是二阶可导的，由还可导出对的二阶导数公式：，即 例 求由下列参数方程所确定的函数的导数：（1） （2）解（1），所以 (2),所以 例 求椭圆的参数方程在处切线方程。解 当时，椭圆上的相应点的坐标为。 椭圆在点处的切线斜率于是得椭圆在点处得切线方程为，化简得例 已知抛射体得运动轨迹得参数方程为 求抛射体在时刻t运动速度得大小和方向。让学生做练习启发与思考1、用定义法与运算法则求导时，有时结果不一致，这是为什么？2、若曲线用极坐标方程表示，那么是否是曲线在点处切线的斜率？小结：本节讲述了隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，利用取对数的方法解决了幂指函数的求导问题作业：作业见作业卡第五节 高阶导数教学目的 了解高阶导数的定义，熟悉高阶导数的计算教学重点 高阶导数（微分）的计算教学难点 高阶导数（微分）的计算教学时数：2教学内容l 引言前面已经看到，当变动时，的导数仍是的函数，因而可将再对求导数，所得出的结果（如果存在）就称为的二阶导数例如，已知运动规律，则它的一阶导数为速度，即，对于变速运动，速度也是的函数：如果在一段时间内，速度的变化为那么在这段时间内，速度的平均变化率为，这就是在这段时间内的平均加速度，当时，极限就是速度在时刻的变化率，也就是加速度，即综上知： 加速度是路程对时间的导数的导数说加速度是路程对时间的二阶导数记为 或这就是二阶导数的物理意义例如自由落体运动规律为：一般地，有如下定义：一、 高阶导数定义定义（二阶导数） 若函数的导函数在点可导，则称在点的导数为在点的二阶导数，记作，即，此时称在点二阶可导 如果在区间I上每一点都二阶可导，则得到一个定义在I上的二阶可导函数，记作，或记作，函数的二阶导数一般仍旧是的函数如果对它再求导数，如果导数存在的话，称之为函数的三阶导数，记为，或函数的阶导数的导数称为函数的阶导数，记为，或相应地，在的阶导数记为： ，二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数我们知道，在物理学上变速直线运动的速度v(t)是位置函数s(t)对时间t的导数，即： ， 而加速度a又是速度v对时间t的变化率，即速度v对时间t的导数：，或 这种导数的导数叫做s对t的二阶导数。二、 高阶导数的计算的例子从高阶导数的定义可知，求高阶导数无非是反复运用求一阶导数的方法例1 设一质点作简谐运动，其运动规律为是常数），求该质点在时刻t得的速度和加速的。解 由一阶导数和二阶导数的物理意义知 ， 例2 求幂函数（n为正整数0的各阶导数一般地，任何首项系数为1的多项式：的阶导数为，阶导数为零例3，注 竞赛题：已知，证明方程至多只有1个根例4，则；例5求对数函数的n 阶导数。例6 求函数的n阶导数。（例5，例6让学生做练习）三、 高阶导数的计算法则 1 2 ， （Leibniz公式）其中，注 将Leibniz公式与二项式展开作一比较可见：（这里 ），在形式上二者有相似之处练习：1函数由方程确定，试求及其在处的值2函数由方程确定，试求3设函数由确定，试求，4设，求5设，求6研究函数的高阶导数四、 隐含数、复合函数的高阶导数、参数方程的高阶导数从定义出发，重复应用一阶导数法则，容易建立“复合函数”的高阶导数，“参数方程”的高阶导数公式但这些公式非常繁，对于求高阶导数没有多大帮助，因此不作深入讨论 作为例子，我们指出参数方程求二阶导数的方法设，在上都是二阶可导，则由参数方程所确定的函数的一阶导数则隐含数：例7 求由方程所确定的隐含数的二阶导数。解 将方程两边对x求导，并注意到y是x的函数，有， （1）解得 （2）（1） 式两端同时对x求导，得 从上式中解出二阶导数 （3）再将（2）代入（3）式，整理，得 例8试求由摆线参量方程所确定的函数的二阶导数过程略第六节 微分及其应用教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用微分作近似计算教学重点：微分的计算教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算教学时数：2学时教学内容：一、微分的定义及其几何意义1 微分的定义计算函数增量是我们非常关心的。一般说来函数的增量的计算是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法。先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由变到（图2-1），问此薄片的面积改变了多少？图2-1设此薄片的边长为，面积为，则是的函数：。薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量自取得增量时，函数相应的增量，即。从上式可以看出，分成两部分，第一部分是的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当时，第二部分是比高阶的无穷小，即。由此可见，如果边长改变很微小，即很小时，面积的改变量可近似地用第一部分来代替。一般地，如果函数满足一定条件，则函数的增量可表示为，其中是不依赖于的常数，因此是的线性函数，且它与之差，是比高阶的无穷小。所以，当，且很小时，我们就可近似地用来代替。定义 设函数在某区间内有定义，及x在这区间内，如果函数的增量可表示为 ， 其中是不依赖于的常数，而是比高阶的无穷小，那么称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即 。下面讨论函数可微的条件。设函数在点可微，则按定义有式成立。式两边除以，得 。于是，当时，由上式就得到。因此，如果函数在点可微，则在点也一定可导（即存在），且。反之，如果在点可导，即存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成，其中（当）。由此又有。因，且不依赖于，故上式相当于式，所以在点也是可微的。由此可见，函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导，且当在点可微时，其微分一定是。 当时，有。从而，当时，与是等价无穷小，这时有， 即是的主部。又由于是的线性函数，所以在的条件下，我们说是的线性主部（当）。这是由式有，从而也有。式子表示以近似代替时的相对误差，于是我们得到结论：在的条件下，以微分近似代替增量时，相对误差当时趋于零。因此，在很小时，有精确度较好的近似等式。函数在任意点的微分，称为函数的微分，记作或，即。注1：由微分的定义，我们可以把导数看成微分的商。例如求对的导数时就可以看成微分与微分的商，即。注2：函数在一点处的微分是函数增量的近似值，它与函数增量仅相差的高阶无穷小。因此要会应用下面两个公式：，。作近似计算。2 微分的几何意义为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义。图2-2在直角坐标系中，函数的图形是一条曲线。对于某一固定的值，曲线上有一个确定点当自变量有微小增量时，就得到曲线上另一点.从图2-2可知：，。过M点作曲线的切线,它的倾角为，则，即 。由此可见，当是曲线上的M点的纵坐标的增量时，就是曲线的切线上M点的纵坐标的相应增量。当很小时，比小得多。因此在点的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。二、 分运算法则及微分公式表由，很容易得到微分的运算法则及微分公式表（当都可导）：1) ，2) ，3) ，4) 。5) 微分公式表：6) ，7) ，8) ，9) ，10) ，11) ，12) ，13) ，14) ，15) ，16) ，17) ，18) ，19) ，20) 。注：上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处，而且上述公式要从右向左背。例如：，。复合函数微分法则与复合函数的 求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下：设及都可导，则复合函数的微分为。由于，所以，复合函数的微分公式也可以写成或。由此可见，无论是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式保持不变。这一性质称为微