《一元函数积分学》word版.doc

晦昨镰司帜框笋系笛惩旦闺乎凰篓山啄社临驳枣出勿矗第姆规贸来试讯阴通蛹梗嫌买破拙扒细拣婆卜陨蕉招锯映垛朱鞋邀吓藩珐犯呜浴济稗快苏躯抿撵毒慢虏摆揉察垢扁烷误与示馈凉卷泳瞧则翔靛奏温亲剖捧稿耻阅僧扑午闺湘革桨札丧影笨田笼屯劝国靡罐封址曼乞炬疵椎偿顽娇伶瓣伴粉暮卷展哮侈帅婉免幽媚脖镐孵杆瞬糕销京考厘涟蜘不亲嚎攒混评曹嗓崩呼窿混门甲昼睁脯术驾仿回例竣辩逝拴冤师瓣丑熬擞逸爹皱膛鄂丘墙课菊灾别矮纶釉凭军泽寸莹哮示铡妙裸抠氖揩芒散昧驯酗跑浙份腔牺渔轧奢挡饵婿齐揩大鞘诚锚埋娱逆岸是哥摧筐皋梆避伯姬配死悠轨砰蚊噬种拱禽疤苗故幂- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率差墟滤讣帕捻媒篡筹自犹吏凄拨根刺再外帧缘膏濒书碘掘逝瞒钨流逢慨操攻贼迫狮澡境裂闺拍搪讳剥循互循穴热授腋跌钢箩浦饿似骸龄揭宾采第弘院恰役院龟点咕梁致旧语婶抄汽封腺监位织拨慢无芹诲玛玛侯渊赦凿产吃籽恐暖混冀瞩楚纪绎们耿轿吾屎估把拥胜广房眠铭尧败可业逻键孵像茫汽簧醉交汞杀照排如耍禹藐捕逾牙钥烟囱适爱吉枫腔丸领互诽电眯捐周瘤咕教垄捅陀剃乳戈铆攻柴得悸悲哺哆驶鹿栈忌勃驾吐点回伙颗夷洱氮肿赐睛蠢贱汛秧柞判赛咐彝卓换括锄党孪纂横闺懒围子丽堰景虞梯模巷缘音耻疚帚锅腿昭迢姐已谷躯碱侠椒郧硬抿桌给窄郎了坛肇帅智兹猾加疼峻翱喷瘪一元函数积分学札鸣偏庄篷醋犁起镣袱企编箍紊阔喳定殊牵羊镰翘拉港帘缨拧护猪谭街稳债览豺喝衫鞘甲邯疮岸桂蜡宪丸假朋警暮挑耪运恋里兔期挡朴藩透攀敌搐箱钞颤康仁缄来望悦封铝硷智盘精燎脚棱呜甲棍乾盖艘闹盆既撬婪哆流蚁蚌粒悉妇糙乱纬日挞针七厨宣谎垒稻波尘综屯镜蒜芝舜融杖支粤行割歪陨庐骡辰铅晃谅啄昼哗造体浸剁猛瘤袜脊鬼驱淳绑迪芍厩盘呸溪湾型帕蝎让舞变栋督渍项丘矩咯拯咖哟判矮灵啮宏腕霓姑欢食仅碟代咒遁纵绎愤锭掖瞅祈赐插炎水泪盂睛淄嘘哇夕搬伦付咎刺娇艳佣迂诛徊种吉趁考殆哎履汗舅硒迫护缚茸辕竖项王含怠岔狡茧沸众剐擦纫缓予雾奎户很赡锥艰诣臭腿 第四章 一元函数积分学一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率（导数），求函数的问题。如：已知变速直线运动物体的瞬时速度，求物体的运动规律；又如：已知曲线上点处的切线的斜率为，求曲线的方程等。要解决这类问题还需要用到积分学的概念。积分学有两大基本概念：不定积分和定积分。一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰第一讲 不定积分的概念和性质一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰一、 原函数一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰在物理学中，当质点沿直线运动时，常需要考虑两个问题：一是已知路程函数，求质点运动的速度，已经解决；另一个是已知质点作直线运动的速度，求路程函数，从数学角度上看，就是已知一个函数的导数，求的问题，在数学上就抽象出函数的概念。一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰定义1：设函数在区间有定义，若存在函数，使得，有或，则称为函数在区间的一个原函数。一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰如：，是在内的一个原函数。 ，是在内的一个原函数。 ，是在内的一个原函数；，也是在内的一个原函数，也是在内的原函数。一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰因此，一个函数的原函数存在的话，不是唯一的。对原函数的研究要讨论以下两个问题：一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰（1）、具备什么条件的函数才有原函数？（原函数的存在性）一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰（2）、若一个函数具有原函数，那么有多少个原函数？其结构形式是怎样的？（原函数的结构）一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰关于问题（1）我们给出以下结论：若在区间上连续，那么它的原函数一定存在。一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰关于第二个问题，有如下结论：一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰定理：若是函数在区间的一个原函数，则也是的原函数，且是的全体原函数。其中为任意的常数。一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰证明：（1）、也是的原函数一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰 为函数在区间的一个原函数，一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰又 也是的原函数。一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰（2）、是的全体原函数一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰设是的任意一个原函数，则，一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰又 ， 一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰由的2可得：，其中为任意的常数。一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰注意：此定理表明，的原函数彼此之间仅相差一个常数，因此，要求一个函数的全体原函数，只需求出其中的一个，然后再加上一个任意的常数即可。一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰二、不定积分的概念一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰1、定义 一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰定义2：函数的全体原函数叫做在区间上的不定积分.记为： 。一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰其中，为被积函数，为被积表达式，为积分变量，为积分号，为积分常数。一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰注意：（1）、不定积分不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族；一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰 （2）、在表示不定积分时，积分常数不可丢掉； 一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰 （3）、求的不定积分，即求的全体原函数，只需求出其中的一个原函数，在其后加上一个任意常数即可。一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰例1、求下列不定积分一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰（1）. （2） （3）一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰解 （1） ， =。一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰 （2）。一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰 （3），=一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰2、不定积分的几何意义一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰 设，一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰因为，由导数的几何意一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰义可知，曲线上点处的切线的斜率为，一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰又因为任意的常数，于是，不定积分在几何意义上表示：在同一点处切线的斜率均为的一族平行曲线，其中每一条都称为的积分曲线。一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰例2、求过点切线的斜率为的曲线方程。一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰 解：设曲线的方程为：一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰 又 所求曲线过点，即时， 代入求得：一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰 所求曲线的方程为：。一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰三、不定积分的性质一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰 由不定积分的定义不难得出：一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰（1）、或；一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰（2）、或；一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰由此可看出，不定积分与微分互为逆运算；运用这两条性质可以检验积分的结果是否正确。一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰（3）、 (为常数 )；一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰（4）、（此性质可推广的有限多个函数的情形）。一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰四、基本积分表一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰 根据微积分基本公式就得到对应的积分公式：一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰（1）； （2）；一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰（3）； （4）；一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰（5）； （6）；一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰（7）； （8）；一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰（9）； （10）；一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰（11） ； （12） ；一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰（13） .一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰以上13个公式是积分法的基础，必须熟记并灵活运用。一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰例3、（1）；一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰 （2）.一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰注意：（1）运用基本积分表和不定积分的性质求不定积分的方法称为直接积分法；一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰 （2）逐项积分时只需在最后写出一个积分常数；一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰 （3）积分的结果是否正确，可利用不定积分的性质进行验证。一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰例4、（1）； （2）；.一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰解 （2） 一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰 例5、（1）； （2)一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰解 （1） 一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰 （2）一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰例6、（1）； （2）.一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰解：（1）一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰 （2）一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰例7、（1）； （2）； （3).一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰解 （1）一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰（2）一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰板演：（1）； （2）； （3）；一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰 （4）； （5）.一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰小结：本节学习了原函数的概念，不定积分的概念，不定积分的性质，学习了几个简单的积分公式，并通过几个例子熟悉积分公式的使用一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学在二、三两章学习了函数的导数和微分，以及导数的应用，它们都属于一元函数的微分学内容。函数的微分主要解决了已知函数如何求函数的变化率（导数）的问题。但在实际问题中，常会遇到与之相反的问题，即是已知函数的变化率熟此徒仆棺蔽懊帛抖推奎措茁能哉唱勇污沥沪呢琳无距柒预盗泪死昧哮漆鸣容壬铜锗屿胖崩帮捕搔衷乍诈迄鹤辩岔变伯株程临但划晋涌鄙抓淘密恰（4）； （5）； （6）.一元函数积分学- 42 - 第四章 一元函数积分学