浅谈实数的完备性-信息与计算科学毕业论.doc

本科毕业论文题 目 浅谈实数的完备性 专 业 信息与计算科学 作者姓名 唐星星 学 号 2013201334 单 位 数学科学学院 指导教师 张冬梅 2017 年 5 月 教务处编聊城大学本科毕业论文原创性声明本人郑重声明：现提交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研究取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料.对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.本人承担本声明的相应责任. 学位论文作者签名： 日期： 指 导 教 师 签 名: 日期： 目录摘要3Abstract4前言11实数完备性定理在数学分析中所占的地位22. 实数集的完备性23实数六个基本定理的描述和证明331闭区间套定332确界的叙述433有限开覆盖6 定理3（有限覆盖定理） 6聚点的定义 7定理4（聚点定理）735致密性定理836柯西收敛准则837单调有界定理104实数循环定理的证明1041确界定理闭区间套定理1042区间套定理有限覆盖定理1043有限覆盖定理聚点定理1144聚点定理致密性定理1145致密性定理柯西收敛准则1147单调有界确界定理125.实数的完备性的发展状况136实数完备性定理过程中的一些注示1361关于实数完备性定理的循环证明过程1362关于实数完备性定理的起点14参考文献16致谢17摘要 本文主要是叙说实数的完备性定理和它的证明以及在数学上所占的地位，对今后数学发展起到怎么样的作用；实数完备性六个相互定理的证明它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，都可以相互证明 关键词：实数的完备性定理；等价性；循环证明；实数基本定理Abstract This article is about the completeness of the real numbers on the theorem and its proof in mathematics and the status of, how are mathematics play a role in the future; proving theorems in real number completeness in six mutual . They are equivalent to each other, that is, any two theorems, can be proved Key words：Real completeness theorem equivalence; cycle proof real fundamental theorem前言数学分析的基础是实数理论。对于实数系而言最关键的属性即完备性与连续性，拥有这两种属性，才可以对于极限，连续，微分和积分展开深入探究讨论。正是在对于函数的各种极限运算加以探讨的过程里，人们开始逐步构建其严密的数学分析理论体系。浅谈实数的完备性1实数完备性定理在数学分析中所占的地位实数集的连续性是实数集区别于有理数集的一个重要特征，是实数集其中的优点，而实数完备性又是数学分析中的一个基础，再加上数学分析是数学专业的必修课程之一实数域的完备性是人们经过长期的探索与研究里一步步总结认识的，它是所有函数分析理论的本质基础，由此获得了极限论、微积分学等许多重要的数学成果 数学分析的基础是实数理论对于实数系而言最关键的属性即完备性与连续性，拥有这两种属性，才可以对于极限，连续，微分和积分展开深入探究讨论。正是在对于函数的各种极限运算加以探讨的过程里，人们开始逐步构建其严密的数学分析理论体系，不仅只是在数学分析中谈论到，还在实变函数中进一步研究过2. 实数集的完备性 对于实数的完备性，几位著名数学家基于各个视角，采取多种方法加以阐述；在刘玉莲所写的课本数学分析中分别列出了实数完备性定理的六个基本定理，而这六个定理分别是1、闭区间套定理2、确界定理3、有限覆盖定理4、聚点定理5、致密性定理6、柯西收敛准则，它们是基本等价的可以出现循环证明及应用，在以后得数学中起到很大的作用；我也是参照他的书定理开始证明，并用另一种顺序开始证明的，以此来说明它们的等价关系以及六个定理的重要性3实数六个基本定理的描述和证明31闭区间套定 311定理1（闭区间套定理） 设有闭区间a，b若1) a，ba，ba，b;2) (b-a) =0则存在唯一的实数是属于所有的闭区间（即a，b=)，且 (3.1.1) 证明 由条件1）可知， 数列为递增并且是有界的数列， 由单调有界定理可知，有极限，且有 ，()同理，递减并且有界的数列也是有极限，并按区间套的条件2）可有且，综上，可得， 下面证明满足，的是唯一的 设数也满足，则由 ；可以有 -，由区间套的条件2）得 - (3.1.2)故有 注 区间套定理里的闭区间如果更改成开区间的话， 则结论就将出现改变，并不必然成立 例如对于开区间列，显然可得是不存在的 32确界的叙述 定义一 设是非空数集，若存在，且 对于任意，有;2)任意，存在，有-则称是数集的上确界，记为 定义二 设是非空数集，若存在，且 1）对于任意，有； 2）对于任意0，存在，有则称是的下确界，记为定理2（确界定理）如果非空数集存在上界（下界），那么数集具有唯一的上确界（下确界）证 我们仅需要对于上确界的结论加以证明，下确界的结论能够采用相同的原理加以证明出来为了便于叙述，我们能够假定集合存在有非负数因为集合是存在上界，因此能够找到一个非负整数，使得 对于任何有; 存在，使把半开区间平均分成等分，分点为，则在中存在一个数，使得 对于任何有存在，使继续将其平均分为个等分点，则在上一步骤里得获得的半开区间，能够得出对于任何存在中的个数，都会使得 对于任何有 存在，使 将上面的步骤无限地继续进行下去，可以得出一个实数以下证明 (3.2.1)因此只需要证明：1) 对一切有；2)对任何，存在使如果结论1)不成立，即存在使，那么可找到的位不足近似，使 ， （3.2.2）从而得， （3.2.3）然而此和不等式存在矛盾因此1)得证 现在假定，那么存在一个数使的位不足以近似，即， （3.2.4）根据数的构造，存在使，从而有 (3.2.5)即得到，这说明2)成立 注 如果数集有上界，那么它有无数个上（下）界，在这些无限多个上（下）界当中，有个上（下）界和数集会存在一种特殊的关系 33有限开覆盖 设是一个区间（或开区间），并且有开区间集（中的所有元素都是开区间，开区间的个数可以是有限的，也可以是无限的） 定义1 若对于任意的，存在，则称开区间集覆盖区间例题 设=（0，1），则开区间集没有覆盖区间事实上，任意，且，但是不属于中任何一个开区间 设，则开区间集没有覆盖区间事实上，任意，只要正整数充分大，有0，点的领域（，）都含有的无限多个点，则称是的一个聚点 例如，设，则无限点集没有聚点显然可以得到，是的聚点0，有（，） 定理4（聚点定理） 对于数轴上有界无限点集的聚点不低于一个 证明（利用有限覆盖定理来证明） 设为直线上的有界无限点集 于是存在使假定在任何点均并非的聚点，那么对于每一点均存在对应的，使内最多包含的有限多个点令，那么是的一个开覆盖依据有限覆盖定理，里具有有限个邻域，使得将加以覆盖，进而亦将加以覆盖因为各个邻域里至多包含的有限个点，因此这个邻域的并集亦最多包含的有限个点，因此为有限点集，此和题设为无限点集相冲突所以，在里最少存在一点是的聚点 35致密性定理 定理5（致密性定理） 有界数列一定有收敛的子数列 证明 设为有界数列若中有无限多个相等的项，那么此类项构成的子列是一个常数列，而常数列是收敛的 如果数列不包含无限多个相等的项，那么在数轴上对应的点集必定是有界无限点集，因此基于聚点定理，点集至少有一个聚点，记为于是依据定义能够知道，存在的一个收敛子列（以为其极限） 36柯西收敛准则 361定理六（柯西收敛准则） 数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的，一定存在一个正整数使得当时有 （361） 证 (必要性)设 ，由数列极限的定义，对任给的，存在正整数，使得当时有 ， 因而有 (362) (充分性)由题设，对任给的，存在正整数，当时， 即当时，有 令，存在正整数，当时， 取 (363)令，存在正整数，当时， 取 (364)显然有 ，并且当时， 令，存在，当时，取 这样就得到一列闭区间，满足 （i）； （ii） ； （iii）对，当时，由区间套定理，存在惟一的 由区间套定理的推论，对任给的，存在，当时，所以即证明了 故数列收敛 37单调有界定理 定理7 在实数系中，有界的单调数列必有极限 证 假定是一个存在上界的递增数列 基于确界定理理可以得到，数列是一个存在上确界的数列，记为 下面证明就是的极限 事实上，任给，按上确界的定义，存在数列中的某一项使得又由的递增性，当时有 另一方面，由于是数列的一个上界，故对一切都有 所以当时 ，这就证得相同的道理可以证明有下界的递减数列一定时有极限的数列，并且它的极限便是它的下确界4实数循环定理的证明 41确界定理闭区间套定理 证 现设数列是任给的单调有界非递减数列的数列取集合，根据假设这是一个有界集合根据确界定理，存在唯一的一个上界根据上确界的定义，这个便是数列跌的上确界 设和定理中的一系列区间一样根据这些区间的定义，可以得出是单调的但并不是递减数列，所以数列是有上确界的数列；是单调非递增数列，所以有下确界 因为区间长度趋于0，我们有 这就证明了区间套定理 42区间套定理有限覆盖定理证(反证法) 假设一个闭区间是有一个开覆盖但不能用它的任意一个有限个开区间将其覆盖 定义性质P:不能用中有限个开区间覆盖 Step(1) 将等分为两个子区间，则至少有一个具有性质，不妨记该区间为，则; ;Step(2) 将等分为两个子区间，则至少有一个具有性质，不妨记该区间为，则;Step(n) 将等分为两个子区间，则至少有一个具有性质，不妨记该区间为，则;由此可得一个区间套且满足 （41） 利用二等分法容易构造出满足性质的区间套故由区间套定知，存在唯一的，从而存在，存在，有，这与具有性质矛盾这就证明了有限复盖定理 43有限覆盖定理聚点定理证(反证法) 假设原命题不成立，则由于是直线上的有界无限点集，即存在闭区间，使得， 所以任意存在，只含中的有限多项从而得的一个开覆盖记为由有限覆盖定理可知存在的一个有限子覆盖记为所以只含有中的有限多个点，这显然与是矛盾的，故可知假设错误，原命题成立 44聚点定理致密性定理 证 设数列有界，即，若是有限集，那么数列必定存在无限项相同，此类无限项按照下标由小到大排列能够获得的一个收敛子列，如果是无限集，基于聚点定理我们能够了解到此无限集必定存在一个聚点，经由聚点的定义能够构造的一个子列，它收敛于 45致密性定理柯西收敛准则证 设为柯西列，第一步首先证明有界，如此基于致密性定理能够知道有一个收敛子列设，第二步，通过数列收敛定义证明 (42)46柯西收敛准则单调有界 证 可以先假设是一个有上界的递增数列 经由确界定理能够知道，数列是一个存在上确界的数列，记为 下面证明即为的极限若其不满足柯西数列条件可得：正整数N，使得-故我们可以选择合适的N来得到的两个子列与使得-，(=1，2，3)且则与单调有界矛盾因此是柯西数列，收敛 47单调有界确界定理 证 （1）我们可以先证明非空数集S的上确界 ，通过非空有上界的数集S来造就一数列使其极限是我们所要求的实数，取其中的一个性质P：大于等于数集S中的任意一个数的有理数，将其中具有性质P的所有有理数排成一个数列，并令x=，则得单调递增且有上界的递增数列x（2） 由单调有界定理可以得到=x，而且对与任意的自然数n都有x；（3） 是数集的上确界，用反证法，若使得，取=(+)/2=，则存在一个有理数，使得+=(+)/2(+)/2=，从而0，若S，都有x则存在有理数，使得，即x，我们就找到了这与（若，都有x）矛盾，所以存在S，使得则是数集的最小上界 故，结论得以证明5.实数的完备性的发展状况 在数学分析的所有知识中，实数系完备性基本定理此知识是理论性最严谨的部分，而且实数理论的构建，促使数学分析的严密性得到极大的加强。它是数学分析的基础，而实数完备性定理又是该理论里的关键知识内容之一，其中有非常精妙之处。当前，对于实数完备性的探究基本上聚集于这六个定理的循环证明与其应用方面 这六个定理尽管出发的角度具有一定的差异，然而描述的均为实数连续性此一性质特点，其彼此之间是等价的 对其的证明不但是数学分析的关键，亦为对于数学其他领域加以学习的一个难点，各种教材对其的处理方式独具特色、多种多样。在这之中较为简单的是用区间套方法对于其他定理加以证明 就在1987年，Botsko提出了一种对于这些内容加以统一处理的新方法，亟完全覆盖法，促使对于数学具有热情的研究者在此领域的探究重新燃起高昂的斗志此外，定理的应用亦为探究的重要方向之一，此类定理基于各个角度对于实数系的完备性加以描述，而且其是对于其他关键定理与规则加以论证的根据理论，例如连续函数介值定理，一致连续性定理等等6实数完备性定理过程中的一些注示 61关于实数完备性定理的循环证明过程 在上文中我们已经将六个完备性定理的一个循环证明加以完成，这个循环非常形象具体，然而亦应该观察到不同定理之间是彼此等价的，换句话说就是任何两个命题均能够彼此证明，虽然可能并非最为简洁的)，这六个定理里除有限覆盖定理以外其他均是相同的类型；其均表明，在特定的条件下，就会存在某个“点”，有个定理的逆否形式，因此，无论他是基于其余定理对于有限覆盖定理加以证明，亦或是基于有限覆盖定理开始对于其余几个定理加以证明，均是采用反证法来进行验证，然而其余的五个定理能够直接进行彼此推证，仅需要把握住上述提及的那些点就能够有效的加以应用，通常常用的方式是基于已知出发构建某一个点，接着对于该点加以证明，而该点即为所要求的那个点；有限覆盖定理不和某种“点”相关，它隶属另一种表达形式；所以在不同的教材里在处理上述几个定理的循环证明中亦多种多样，独具特色，而我主要是借鉴了刘玉莲编写的那个课本中的加以证明解释的 62关于实数完备性定理的起点 我们可以从之前的证明流程和文字说明中了解到，实数的完备性命题之间相互等价是可以证明出来的。但是我们也要注意，证明的结果是正确的，前提是需要保证每一个命题的准确性，如果说一共有6个命题，我们将其中的5个都能够科学的证明出来，而最后一个是假命题，那整个证明的命题都为假命题。所以，这6个命题对于整个证明的流程和结果都至关重要，在现有的很多教材里，每个教材都有不同的出发点，针对不同的读者群，有的教材的命题处理方法和流程都比较简单，有的甚至直接将这种命题作为一个公理让学习的人们直接去使用，比如说刘玉琏等所编的数学分析一书中，针对书本的使用人群，本来属于一个命题的单调有界定理，直接当成公理来使用，虽然在一定程度上减轻了学习者和阅读者的思维负担，但是这种做法也未必合理，并且也不严谨。原则上我们所要思考的问题可以视为为实数的引入方式是应该怎样得来的有7种方式在日常中可以用来引用实数，第一个是通过十进位小数来来进行定义，通过这种定义来进一步证明出确界定理，第二种可以利用有理数的Cuahcy数列定义来证明，利用该数列定义可以很轻松的将数列的Cuachy充分性证明出来，也就是该命题的收敛准则，由这个定义可证明确界定理，但是我主要是从确界定理开始加以证明的。通过前面的解释我们可以理解，实数完备性的6个定理，分别是从6个方面来对实数的连续性进行的展示，这6个命题中，也有一些是从抽象的角度来对这种实数完备性思维给予启发的。比方说，有限覆盖定理在本质上主要是展示在实数系的整个范围内有界闭区间是紧闭的；聚点定理在本质上是为了表明在实数系的范围里有界无限数集是一个列紧集；Cuahcy收敛准则(充分性)在本质上主要是展示按一般的距离来讨论，实数空间是一个很完整的有距离的空间。紧致性，列紧性，完备性这些证明的目标其实都是从抽象的思维上来理解的，在后面我们所学的拓扑学，泛函分析等都会遇到，而且给的体会也特别深刻，运用到很多数学方面 现在以柯西收敛准则为例来说说它的重要性，进而可以说明实数完备性的重要性的理由是什么柯西收敛准则又可以叫做柯西极限存在准则，它给出了数列收敛的充分必要条件它的证明在上面我们已经证明过了，在这就不谈论这个了；柯西收敛准则最先是由柯西提出来的但是当时他提出的并不够特别完善，就像他在谈到收敛准则充分性时，他认为的这些都是不言自明的，不需要证明的显然是默认了某些是存在并且正确的，并不能意识到建立实数理论的必要性，并且同时不能完成微积分中的需要明确算术化方面但是柯西以此为理论基础，“无穷小量”也可以理解成极限的一种方式，而它的极限就是0，但是在这个靠近0的过程当中，它的变化也可以是趋向于零的，或无限地接近于零的而实际上极限论就是可以很好的证明出无穷小量与零之间的联系，也更好的将逻辑上想不通的问题或者杂乱的内容给理顺了，也为后来微积分的出现奠定基础。后来在经过迪尔、波尔察诺、魏尔斯特拉斯、戴德金、康托等人的不断努力工作，不断加以证明，不断进行假设，不断完善提高才使得极限论建立在严格的实数理论基础上的，并且还形成了描述极限过程的-语言；完成了微积分理论基础上的严密化而在后面是牛顿在对无穷和的兴趣上开始了一些逻辑证明推理中无意中使得他发现了他的“流数”，他用他的“流数”推进了微积分的发展，实际上是微积分学，牛顿制定的“流数”（微积分）的过程先后经历了四个主要阶段，即：（1）流数论的初建（1664年秋到1667年初），（2）向不可分量观点的摇摆（1669年前后），（3）成熟的“流数法”（1671年前后），（4）“首末比法”的提出与改进（八十年代中到九十年代初）；从而使得微积分这个新的知识一下跃进和扩展成为现代数学的一个非常重要的新领域所以由上面的叙述可以确切地说，完备性定理应是指Cuahcy收敛准则(它的充分性)，只是因为在实数域内其它的五个命题都与Cuahcy收敛准则(充分性)是等价，所以我们才把上述六个命题统称为实数完备性定理，这就是实数完备性一开始的由来实数完备性在数学中占有举足轻重的地位，是不可忽视的一部分，也是必不可少的一块内容参考文献1刘玉涟等数学分析讲义(第五版)Ml北京:高等教育出版社2汪林数学分析问题研究与评注M 北京:科学出版社， 1995 38423崔宝同数学分析的理论与方法M 北京:科学技术文献出版社， 1990 941074