应用抽样技术答案.ppt

3.3为调查某中学学生的每月购书支出水平，在全校 名学生中，用不放回简单随机抽样的方法抽得一 个的样本。对每个抽中的学生调查其上个月的购 书支出金额 yi （如表1所示）。 (1)在95%的置信度下估计该校学生该月平均购书支 出额； (2)试估计该校学生该月购书支出超出70元的人数； (3)如果要求相对误差限不超过10%，以95%的置信 度估计该校学生该月购书支出超出70元的人数比 例，样本量至少应为多少。 样本 序号 支出额（ 元） 样本 序号 支出额（ 元） 样本 序号 支出额（ 元） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 85 62 42 15 50 39 83 65 32 46 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 75 34 41 58 63 95 120 19 57 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 49 45 95 36 25 45 128 45 29 84 表1 30名学生某月购书支出金额的样本数据 3.3解：(1)依据题意和表1的数据，有： 因此，对该校学生某月的人均购书支出额的估计为56.07 （元），由于置信度95%对应的 t=1.96, 所以，可以以95%的把 握说该学生该月的人均购书支出额大约在56.071.965.115 ，即50.96-61.19元之间。 ， (2)易知，N=1750，n=30， 的95%的置信区间为间为 : 的95%的置信区间为间为 : (159，776) (3)N=1750，n=30，n1=8, t=1.96, p=0.267, q=1-0.267=0.733 由此可计算得： 计算结果说明，至少应抽取一个样本量为659的简单随机 样本，才能满足95%置信度条件下相对误差不超过10%的精度 要求。 n = n0/1+(n01)/N = 1054.64/1+1053.64/1750=658.2942 = 659 3.5要调查甲乙两种疾病的发病率，从历史资料得知 ，甲种疾病的发病率为8，乙种疾病的发病率为 5，求： (1)要得到相同的标准差0.05，采用简单随机抽样各 需要多大的样本量？ (2)要得到相同的变异系数0.05，又各需要多大的样 本量？ 3.5解：已知 P1= 0.08, Q1= 1-P1 = 0.92; P2= 0.05, Q2 = 1 P2 = 0.95; V(p) = 0.05*0.05 ， (1) 由 得 ： 由得： (2 ) 第四章 分层抽样 4.3解： （1） ， （2）按比例分配 n=186，n1=57，n2=92，n3=37 （3）Neyman分配 n=175，n1=33，n2=99，n3=43 4.5 ，置信区间（60.63，90.95）元。 4.6 解 已知W1=0.2，W2=0.3，W3=0.5， P1=0.1，P2=0.2，P3=0.4 P=hWhPh=0.28，Q=1P=0.72 n=100的简单随机抽样估计方差： V(Psrs) (1f )/100PQ 0.28*0.72/100 = 0.002016 按比例分配的分层抽样的估计方差： V(Pprop) hWh2 (1fh)/nh Ph Qh n-1hWh Ph Qh = n-10.2*0.1*0.9+0.3*0.2*0.8+0.5*0.4*0.6 = 0.186 n-1 故 n 92.26 93 4.8 解 已知W1=0.7，W2=0.3，p1=1/43，p2=2/57 （1）简单随机抽样 Psrs=(1+2)/100=0.03 V(P)=PQ/(n-1)=0.03*0.97/99=0.0002937 （2）事后分层 Ppst=hWhph=0.7*1/43+0.3*2/57=0.0268 V(Ppst) =hWh2(1fh)/(nh1)phqh =0.72*1/42(1/43)(42/43)+0.32*1/56(2/57)(55/57) =0.00031942 第五章 比率估计与回归估计 5.2 N2000, n36, 10.95, t1.96, f = n/N0.018， 0.000015359， 0.00392 置信区间为40.93%,42.47%。 第五章 比率估计与回归估计 5.3当 时用第一种方法，当 时用第二种 方法，当 时两种方法都可使用。这是因为： ， ， 若 则 0 0 5.4 解： V(YR)(1f)/nY2CY2+CX22rCYCX V(Ysrs)=(1f)/nSY2 =(1f)/n CY2Y2 故 V(YR)/V(Ysrs) = 12rCX/CYCX2/CY2 = 1-2*0.696*1.054/1.063-1.0542/1.0632 = 1-0.397076 = 0.602924 5.5 证明：由（5.6）得： 5.6 解 (1) 简单简单 估计计: 总产量: Ysrs=(N/n)i=1n Yi=(140/10)1400+1120+480 =176400(斤) v(Ysrs)=N2(1f)/nSY2 =1402(110/140)/10*194911.1 = 354738222 se(Ysrs)= 18834.496 5.6 解 (2) 比率估计计: R =i=1n Yi/ i=1n Xi = 12600/29.7 = 424.2424 YR= XR = 460*424.2424 = 195151.5(斤) v(YR)=N2(1f)/n *i=1n (yiRXi )2/(n-1) =1402(110/140)/90*124363.5 = 25149054 se(Ysrs)= 5014.883 面积积/ 亩亩 产产量/ 斤 31400 2.51120 4.21710 3.61500 1.8720 5.21980 3.21310 2.41080 2.61300 1.2480 29.712600 5.6 解 (3) 回归归估计计: 回归系数 b = Sxy/Sxx2= 370.5965 ylr=xb(xX)=1260370.5965*(2.97460/140)=1377.089 Ylr=Nylr=192792.47(斤) v(Ylr)=N2(1f)/n *i=1n yiyb(xix)2/(n-2) =1402(110/140)/80*89480.59 = 20356834 se(Ylr)= 4511.855 5.7解： 故估计量 虽然与 一样都是 的无偏估计， 但方差不小于 的方差， 当 时 ， 故 不优于 。 0.22390.2514 0.15480.0573 0.04870.1022 0.06760.0981 第六章 不等概率抽样 6.1假设对某个总体，事先给定每个单位的与 规模成比例的比值 Zi ，如下表，试用代码 法抽出一个n=3的 PPS 样本。 表1 总体单位规模比值 6.1解：令 ,则可以得到下表，从11000中 产生n=3个随机数，设为108，597，754，则第二、 第六和第七个单位入样。 iMi累计计Mi 代码 1 2 3 4 5 6 7 8 98 102 57 251 67 48 154 223 98 200 257 508 575 623 777 1000 198 99200 201257 258508 509575 576623 627777 7781000 M0=1000 281 954 1 085 1 629 215 798 920 1 834 5 6 7 8 1 353 639 650 608 1 238 746 512 594 1 2 3 4 子公司 序号 子公司 序号 6.3欲估计某大型企业年度总利润，已知该企业 有8个子公司，下表是各子公司上年利润Xi 和当年利润 Yi 的数据，以Mi作为单位Xi大小 的度量,对子公司进行PPS 抽样，设n=3,试与 简单随机抽样作精度比较。 表2 某企业各子公司上年与当年利润（单位：万元） 对子公司进行抽样，根据教材（6.7）式： 显然对 抽样，估计量的精度有显著的提高。 如果对子公司进行简单随机抽样，同样样本量时 的简 单估计方差为： 抽样的设计效应是： 6.4 解 (1) PPS的样本抽样方法可采用代码法或拉希里法. (2) 若在时间长度2、8、1、7h中打入电话数量分别为8、 29、5、28，则客户打入电话的总数： YHH=(35/4)8/2+29/8+5/1+28/7=145.46875 (3) 估计量的方差估计 v(YHH)=n(n1)-1i=1n(yi/ziYHH)2 =352/(4*3)(8/24.15625)2+(29/84.15625)2 +(5/14.15625)2+(28/74.15625)2 =106.4697 6.5设总体N=3, zi=1/2,1/3,1/6，Yi=10,8,5, 采取的 n=2的PS抽样，求i ,ij (i,j=1,2,3) 。 解：(1)所有可能样本为：（10，8），（10，5），（8， 10），（8，5），（5，10），（5，8），其概率分别为： 所以： 6.6 解 (1) 简单随机抽样简单估计 Y=2+3+6+8+11+14=44 S2=(N1)-1i=1N(YiY)2 =(2*322)2+(3*322)2+(6*322)2 +(8*322)2+(11*322)2+(14*322)2/(5*9) = 322/15 = 21.4667 总值估计的方差估计 V(Ysrs) = N2(1f)/nS2 = 36(12/6)/2322/15 =1288/5 = 257.6 6.6 解 (2) 简单随机抽样比率估计 X=1+2+4+7+9+13=36，Y=2+3+6+8+11+14=44， R=44/36=11/9，f=2/6=1/3 总值估计的方差估计 V(YR) N2(1f)/n i=1N(YiRXi)2/(N1) = 36(12/6)/10(21*11/9)2+(32*11/9)2 +(64*11/9)2 +(87*11/9)2 +(119*11/9)2+(1413*11/9)2 = (12/5)*(488/81) = 14.46 6.6 解 (3) PPS抽样汉森赫维茨估计 X=1+2+4+7+9+13=36，Y=2+3+6+8+11+14=44， 取Zi=Xi/X, (i=1,2,6) 总值估计的方差估计 V(YHH) = (1/n) i=1N Zi(Yi/Zi Y)2 = (1/nX)i=1N Xi(XYi/Xi Y)2 = (1/72)1*(36*2/144)2+2*(36*3/244)2 +4*(36*6/444)2 +7*(36*8/744)2 +9*(36*11/944)2+13*(36*14/1344)2 = 24.96 第七章 整群抽样 7.1（略） 7.3 解： 不是 的无偏估计，此因类似于 有 因为对群进行简单随机抽样， 故 ， ，从而 ，若取 则 7.2 样样本耐用时时数 1 1036 1075 1125995 1088 1065 1023988 1002994 2 1047 1126 1183 1058 1142 1098945968 1036987 3 1046 1153 1087984 1224998 1032976 1103958 4 1153 1078 1039 1006 1214 1076986994 10481126 5 1216 1094 1096 1035 1004 1053 1004 1122 10801152 6964 1136 1185 1021 1007948 1024975 1083994 7 1113 1093 1005 1088997 1034985997 10051120 8 1047 1097 1136989 1073 1102976984 10041082 样样 本 耐用时时数均值值标标准差 11036107511259951088 1065 10239881002994 1039.1 47.09907 210471126118310581142 109894596810369871059 78.46443 31046115310879841224998 10329761103958 1056.1 85.65493 411531078103910061214 10769869941048 1126107273.9324 512161094109610351004 1053 1004 11221080 1152 1085.666.5736 69641136118510211007948 10249751083994 1033.7 77.44539 71113109310051088997 10349859971005 1120 1043.7 53.65952 81047109711369891073 11029769841004 10821049 57.28098 y = (1/80)ij yij = 1054.78, sb2= (10/7)i (yiy)2 = 3017.65 V(y) = (1f)/(aM)sb2 = (18/2000)/(8*10)*3017.65 = 37.5697 Se(y) = 6.1294 (1) 以每盒灯泡为群实施整群抽样 y = (1/80)ij yij = 1054.78, s2= (1/79)ij (yijy)2 = 4628.667 V(y) = (1f)/(aM)s2 = (180/20000)/(8*10)*4628.667 = 57.6269 Se(y) = 7.5912 (2) 以从20000个灯泡中按简单随机抽样 y = (1/80)ij yij = 1054.78, Sw2 = (1/a) i si2 = 1/(a(M1)ij (yijyi)2 = 4721.0056 r = (sb2sw2)/sb2+(M1)sw2 = -0.04723 Deff = V(y)/V(y) = 1+(M1)r = 0.6694 7.4 对7.2题群内相关系数进行估计 7.5 解：由于农户是调查单位，故以村为抽样单位的抽样是 整群抽样，村即是群。对于村既有生猪存栏数，也有户数，因 此在村大小不等的整群抽样下，既可使用简单估计量估计生猪 存栏数，也可以户数为辅助指标构造比率估计和回归估计来估 计生猪存栏数。 （1）简单估计量 （2）以户数为辅助变量的比率估计量 314.452， 98880， 365.718， 133750 0.934 （3）以户数为辅助变量的回归估计量 1080000.803（100000200475）112015 显然以户数为辅助变量构造回归估计量效果最好。此因各村 生猪存栏数与村的规模（户数）有高度相关性，r0.934， 故采用回归估计量精度最高。 企业业已婚女职职工人数/人 Mi平均理想婚龄龄/岁岁 yi 149524.1 2102022.8 384425.5 4151824.6 563525.8 639423.7 7234624.5 7.6 7.6 (1) 按简单随机抽样抽取, 简单估计量估计 y = (1/7) i Mi yi = 25321.1571 M = 35680/35 = 10