带约束条件下回归模型的参数估计问题.doc

带约束条件下回归模型的参数估计问题 一、 前言线性模型是数理统计学中重要的模型,是几类统计模型的总称,是现代统计学中内容丰富、应用广泛的一个研究分支。在简单线性回归模型中，一般会舍弃某些非主要因素，选取对因变量影响更大的变量作为自变量而建立模型。在实际应用中，特别在于复杂的经济活动的研究中，为了全面地考虑各个因素对某个特定变量是否产生影响或者影响的程度，十分必要引入多变量模型，例如，影响一个国家货币需求量的不仅有经济总量gdp，而且还有利率、物价水平、外汇储备等多种因素。不带约束条件的线性模型的有偏估计已经发展得相对成熟,但在大量的统计问题中,往往需要在某些约束条件下对模型进行回归分析,这就使得带约束条件的线性模型具有重要的研究意义和应用价值。参数估计是根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数的方法。模型的参数估计有多种方法，有最小二乘法、极大似然法、极大验后法、最小风险法和极小化极大熵法等。在一定条件下，后面三个方法都与极大似然法相同。最基本的方法是最小二乘法和极大似然法。（在下面的实例中，将选用最少二乘法对模型进行估计）在实际的研究中运用样本数据对参数的估计与检验，将面临很大的计算工作量，因此必须借助计算机软件加以实现，本论文将应用eviews（econometrics views）对相关的数据进行分析。本次论文主要选取几个经济模型作为研究的实例，当中涉及建立模型的方法，参数估计的操作，并通过多重共线性检验，异方差性检验，自相关检验，时间序列平稳性的单位根检验完善模型。二、 建模与参数估计2.1建立模型为了研究影响中国税收收入增长的主要原因，分析中央和地方税收收入增长的数量规律，预测中国税收未来的增长趋势，需要建立计量经济模型。下面，先以税收收入作为被解释变量()，以国内生产总值（），财政支出（），商品零售价格指数（）为解释变量建立多元线性回归模型。（以下是模型的相关数据）年份税收收入（y）/亿元国内生产总值（x1)/亿元财政支出（x2)/亿元商品零售价格指数（x3)/%1978519.283624.11122.09100.71979537.824038.21281.791021980571.74517.81228.831061981629.894862.41138.41102.41982700.025294.71229.98101.91983775.595934.51409.52101.51984947.3571711701.02102.819852040.798964.42004.25108.819862090.7310202.22204.9110619872140.3611962.52262.18107.319882390.4714928.32491.21118.519892727.416909.22823.78117.819902821.8618547.93083.59102.119912990.1721617.83386.62102.919923296.9126638.13742.2105.419934255.334634.44642.3113.219945126.8846759.45792.62121.719956038.0458478.16823.72114.819966909.8267884.67937.55106.119978234.0474462.69233.56100.819989262.878345.210798.1897.4199910682.5882067.513187.6797200012581.5189468.115886.598.5200115301.3897314.818902.5899.2200217636.45104790.622053.1598.7200320017.31135822.824649.9599.9200424165.68159878.328486.89102.8200528778.54183217.433930.28100.8200634804.35211923.540422.73101200745621.97249529.949781.35103.8资料来源：中国统计年鉴2008.中国统计出版社为观察数据，利用eviews获取序列y、x1、x2、x3的线形图可以看出y、x1、x2都是逐年增长的，但增长速率有所变动，而x3在多数年份呈现水平波动。说明变量间不一定是线性关系，可探索将模型设定为以下对数模型： 2.2参数估计根据模型的设定，利用序列y、x1、x2生成序列、。利用eviws估计模型参数得下面的回归结果dependent variable: lnymethod: least squaresdate: 01/20/12 time: 01:25sample: 1978 2007included observations: 30variablecoefficientstd. errort-statisticprob. c-2.8490790.639702-4.4537560.0001lnx10.4122820.1355283.0420440.0053lnx20.6664070.1557464.2788100.0002x30.0115280.0055272.0855990.0470r-squared0.987300 mean dependent var8.341376adjusted r-squared0.985835 s.d. dependent var1.357225s.e. of regression0.161534 akaike info criterion-0.684632sum squared resid0.678427 schwarz criterion-0.497806log likelihood14.26948 f-statistic673.7521durbin-watson stat0.612601 prob(f-statistic)0.000000用规范的形式将参数估计和检验的结果写为 （0.6307） （0.1355） （0.1557） （0.0055） t=（-4.4538） （3.0420） （4.2788） （2.0856） =0.9873 =0.9858 f=673.7521 df=262.3.参数的经济意义：其中，-2.8491为模型的截距项，-0.4123的意义是：假设其他变量不变的情况下，当年gdp每增长1%，税收收入平均增长0.4123%；0.6664的意义是：假设其他变量不变的情况下，当年财政支出每增长1%，税收收入平均增长0.6664%；0.0115的意义是：假设其他变量不变的情况下，商品零售价格上涨一个单位，税收平均增长0.0115%.2.4.统计检验1）拟合优度：可决系数=0.9873，修正的可决系数=0.9858，表面模型对样本的拟合很好。2）f检验：针对原假设:=0，给定显著性水平=0.05，在f分布表中查自由度k-1=3和n-k=26的临界值(3,26)=2.98.由上表知f=673.7521(3,26)=2.98，应拒绝原假设:=0，说明回归方程显著，即3个变量联合起来确实对“税收收入”有显著影响。3）t检验：分别针对:=0（i=0,1,2,3），给定显著性水平=0.05，查t分布表得自由度为n-k=26的临界值（n-k）=2.056，由上表数据知，对应的t统计量分别为-4.4538、3.0420、4.2788、2.0856，其绝对值均大于（n-k）=2.056，说明在显著性水平=0.05下，分别都应当拒绝:=0（i=0,1,2,3），也就是说，当在其他解释变量不变的情况下，“国内生产总值”（）、“财政支出”（）、商品；“零售价格指数”（）分别对别解释变量“税收收入”y都有显著的影响。三、 多重共线性上一节讨论多元回归模型的估计时，暗含了无多重共线性的假定，即假定各解释变量之间不存在线性关系。在实际的经济问题中，解释变量之间可能会存在不完全的多重共线性（完全的多重共线性并不常见）。造成这种情况的原因主要有四个，包括1、经济变量之间具有共同变化趋势；2、模型中包含滞后变量；3、利用截面数据建立模型也可能出现多重共线性；4、样本数据自身的原因。严重的多重共线性会导致使用普通最小二乘得到的回归参数估计值很不稳定，回归系数的方差随着多重共线性强度的增加而加速增加，对参数难以作出精确的估计，造成回归方程高度显著的情况下，有些回归系数通不过显著性检验，甚至可能出现回归系数的正负号得不到合理的经济解释。因此，在进行参数估计时，有必要对模型进行多重共线性的检验。下面，以能源（标准煤）消费需求模型为例，用逐步回归法检验并修正多重共线性问题。3.1模型的设定与估计理论上认为，影响能源消费需求总量的因素主要有收入水平、经济发展水平、产业发展、人民生活水平提高、能源转换技术等。为此，收集了中国能源消费标准煤总量y（万吨）、国民总收入x1（代表收入水平）（亿元）、国内生产总值x2（代表经济发展水平）（亿元）、工业增加值x3（亿元）、建筑业增加值x4（亿元）、交通运输邮电业增加值x5（亿元）（代表产业发展水平及产业结构）、人均生活电力消费x6（代表人民生活水平提高）（千瓦小时）、能源加工转换效率x7（代表能源转换技术）（%）等在19852007年的统计数据，具体如下表。年份能源消费标准煤总量y/万吨国民总收入x1/亿元国内生产总值x2/元工业增加值x3/亿元建筑业增加值x4/亿元交通运输邮电业增加值x5/亿元人均生活电力消费x6/千瓦小时能源加工转换效率x7/%1985766829040.790163448.7417.9406.921.368.2919868085010274.410275.23967525.7475.623.268.3219878663212050.612058.64585.8665.8544.926.467.4819889299715036.815042.85777.281066131.266.5419899693417000.916992.3648479478635.366.5119909870318718.318667.86858859.41147.542.467.2199110378321826.221781.58087.71015.11409.746.965.9199210917026937.326923.510284.514151681.854.66619931159933526035333.9141882266.52205.661.267.32199412273748108.548197.919480.72964.72898.372.765.2199513117659810.560763.724950.63728.83424.183.571.05199613894870142.571176.629447.64387.44068.593.171.519971377987765344621.64593101.869.23199813221483024.384402.334018.44985.85178.4106.669.4419991338318818989677.135861.55172.15821.8118.269.19200013855398000.599214.640033.65522.37333.4132.469.042001143199108068.2109655.243580.65931.78406.1144.669.032002151797119095.7120332.747431.36465.59393.4156.369.042003174990135174135822.854945.57490.810098.4173.769.42004203227159586.7159878.3652108694.312147.6190.270.712005223319183956.1183084.876912.910133.810526.1216.771.082006246270213131.7211923.591310.911851.112481.1249.471.242007265583251483.2249529.9107367.214014.114604.1274.971.25资料来源：中国统计年鉴2008.中国统计出版社与上一节的方法类似,利用eviews获取序列y、x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7的线形图，观察上面曲线的特征，试探性地将模型设定为用最小二乘估计参数得dependent variable: ymethod: least squaresdate: 01/31/12 time: 14:05sample: 1985 2007included observations: 23variablecoefficientstd. errort-statisticprob. c-32734.05105831.4-0.3093040.7613x112.078384.1433992.9150890.0107x2-13.190744.044675-3.2612620.0053x3-1.1332323.689298-0.3071670.7629x424.4897311.285682.1699830.0465x5-0.0417073.860154-0.0108050.9915x6826.8889374.24462.2094880.0431x71519.9271539.3860.9873590.3391r-squared0.988658 mean dependent var139364.6adjusted r-squared0.983365 s.d. dependent var51705.05s.e. of regression6668.682 akaike info criterion20.71644sum squared resid6.67e+08 schwarz criterion21.11139log likelihood-230.2391 f-statistic186.7913durbin-watson stat1.236125 prob(f-statistic)0.000000标准形式为：(105831.4) (4.143399) (4.044675) (3.689298) (11.28568) (3.860154) (374.2446) (1539.386)t=（-0.309304）（2.915089）（-3.261262）（-0.307167） （2.169983） （-0.010805） （2.209488） （0.987359）=0.988658 =0.983365 f=186.79133.2多重共线性的检验模型的可决系数和修正可决系数很高，f检验值186.7193远大于临界值=2.71.回归方程整体显著。但是在=0.05下，不仅，的系数t检验不显著，而且，系数的符号和预期相反。这表明很可能存在严重的多重共线性。为进一步确定模型存在严重的多重共线性，计算各解释变量的相关系数，以下为相关矩阵变量x1x2x3x4x5x6x7x110.9999240.999470.9984710.9792940.9967540.75548x20.99992410.9991580.9986620.9808090.9972450.758316x30.999470.99915810.9984990.9729040.9944070.75827x40.9984710.9986620.99849910.9747520.9948850.769473x50.9792940.9808090.9729040.97475210.9865690.7323x60.9967540.9972450.9944070.9948850.98656910.741286x70.755480.7583160.758270.7694730.73230.7412861由相关系数矩阵可以看出，各解释变量相互之间的相关系数较高，证实确实存在严重多重共线性。3.3修正多重共线性采用逐步回归的办法，去解决多重共线性问题。分别作y对x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7的一元回归，结果如下表变量x1x2x3x4x5x6x7参数估计量0.7332810.7352431.73006913.1908810.89804678.005820009.42t统计量26.4697725.3570528.5353525.9636313.5147322.422944.8763230.97090.9683730.9748590.9697890.8968810.9599070.5310250.9695140.9668660.9736610.968350.891970.9579980.508693其中，加入x3的方程最大，以x3为基础，顺次加入其他变量逐步回归，结果如下变量x1x2x3x4x5x6x7x3，x1-1.0418124.487770.974629(-1.341945)（2.287687）x3，x2-1.0911164.2868150.976294(-1.825398)（3.058009）x3，x42.364813-4.859520.972779（2.101537）(-0.564925)x3，x52.162428-2.918520.978297（8.661898）(-1.780105)x3，x62.054712-128.9340.97277（3.520315）(-0.559335)x3，x71.792474-1289.680.973376（19.17088）(-0.880209)新加入变量后，各参数的符号变得不合理，所以重新选择，以x1为基础，顺次加入其他变量逐步回归，结果类似于上面的情况。于是，分别以x2，x4，x5，x6为基础，顺次加入其他变量逐步回归，结果仍然类似上面的情况，即出现参数的符号变得不合理或参数不能通过t检验。所以，结果显示不能加入新变量。因此只保留x3作为解释变量。最后修正严重多重共线性后的回归结果为t =（30.53683）（28.53555）=0.974859 =0.973661 f=814.2776修正后的模型显示，当工业增加值每增加1亿元，能源（标准煤）消费总量平均增加1.730069吨。逐步回归后的结果虽然实现了减轻多重共线性的目的，但反映其他影响的因素也一并从模型中剔除出去了，可能会带来设定误差，这是在使用逐步回归时需要注意的问题。四、 异方差性 在现实经济活动中，最小二乘法的基本假定并非都能满足，多重共线性只是其中一个方面，本节将讨论违背基本假定的另一个方面异方差性。多重共线性属于解释变量之间存在的问题，而异方差是随机误差项出现的问题。异方差性是指被解释变量观察值的分散程度是随解释变量的变化而变化的。由于经济问题复杂多变，一些经济现象的变动与同方差的假定经常是相悖的，往往出现某些因素随其观测值的变化而对被解释变量产生不同的影响，导致随机误差项的方差相异。一般来讲，模型设定误差、测量误差的变化或者是截面数据中总体各单位的差异都可能产生异方差。 在模型参数的所有线性估计式中，ols估计方差最小的重要前提条件之一是随机误差项为同方差，如果随机误差项是异方差的，虽然ols估计仍然保持线性无偏性和一致性，但已失去了有效性，即参数的ols估计量不再具有最小方差。另外，异方差情况下通常由ols方法得到的t统计量不再服从t分布，类似地，f统计量也不再服从f分布。因此，一般情况下，存在异方差性时在古典假定下用来检验假设的统计量可能会导致得出错误的结论。 异方差性的存在，对回归模型的正确建立和统计推断都带来严重影响，因此在参数估计中，有必要检验模型是否存在异方差。 下面引入一个简单的一元线性回归模型来说明异方差性的检验和补救的具体方法。 下面数据是某地区消费y与收入x的数据yxyxyxyxyxyx55801522209514075901452408411565100144210108145741051301857912070851752451131501101601892509012580110180260110160113150558098130791201351901251651251657085140205841151402051151801081457590140210981301782651301851151806510015222095140191270135190140225741051402259012513723012020012020080110137230145240175245189250180260187265191270根据序列y和x的线性图，理论模型设定为4.1、参数估计利用eviews得回归结果dependent variable: ymethod: least squaresdate: 02/10/12 time: 22:38sample: 1 60included observations: 60variablecoefficientstd. errort-statisticprob. c8.8025803.6664952.4008160.0196x0.6410820.02005631.963960.0000r-squared0.946281 mean dependent var119.8167adjusted r-squared0.945355 s.d. dependent var38.93649s.e. of regression9.101907 akaike info criterion7.287610sum squared resid4804.993 schwarz criterion7.357421log likelihood-216.6283 f-statistic1021.695durbin-watson stat1.584296 prob(f-statistic)0.000000即 t=（2.400816）（31.96396）=0.946281 =0.945355 f=1021.695 s.e.=9.1019074.2、检验模型的异方差4.2.1图形法 生成残差平方序列，并绘制对的散点图。由上图可以看出，残差平方对解释变量的散点图主要分布在图形中的下三角部分，大致看出残差平方随的变动呈增大的趋势，因此，模型很可能存在异方差。但是否确实存在异方差还应通过更进一步的检验。4.2.2、coldfeld-quanadt检验将样本按x的递增顺序排序，去掉16/60，再分为两个部分的样本，即=22，分别对两个部分的样本求最小二乘估计，得到两个部分的残差平方和，即=603.0148，=2470.365，f=/=4.09669给定=0.05，查f分布表，得临界值=2.12比较临界值与f统计值，f=4.09669.2.12.说明该模型的随机误差项存在异方差。4.2.3、white检验根据参数估计的结果进入white检验，根据white检验中辅助函数的构造，最后一项为变量的交叉乘积项，因为本例为一元函数，故无交叉乘积项，所以设辅助函数为经估计得white检验结果，white heteroskedasticity test:f-statistic7.584621 probability0.003790obs*r-squared9.766776 probability0.007571test equation:dependent variable: resid2method: least squaresdate: 02/10/12 time: 23:24sample: 39 60included observations: 22variablecoefficientstd. errort-statisticprob. c-11593.933050.091-3.8011750.0012x99.6054825.797923.8609890.0011x2-0.2102050.054207-3.8777950.0010r-squared0.443944 mean dependent var112.2893adjusted r-squared0.385412 s.d. dependent var124.6133s.e. of regression97.69140 akaike info criterion12.12763sum squared resid181328.6 schwarz criterion12.27641log likelihood-130.4039 f-statistic7.584621durbin-watson stat1.281191 prob(f-statistic)0.003790由表得，=10.86401，由white检验知，给定=0.05下，查分布表，得临界值（2）=5.9915，同时和的t检验值也显著。比较计算的统计量与临界值，因为=10.86401（2）=5.9915，所以拒绝原假设，表明模型存在异方差。除此之外，异方差的检验方法还包括arch检验，glejser检验，在这里不再详细讨论。4.3异方差的补救措施 这里选用加权最小二乘法（wls）继续沿用上面的例子简单讲述异方差的补救措施。分别选用权数，经估计检验发现用权数的效果最好，下面是用权数的结果，t=（3.673475） （25.74374）=0.961581 =0.960918 f=662.7404 s.e.=7.7789可以看出运用加权最小二乘法消除了异方差后，参数的t检验均显著，f检验也显著。除了运用加权最小二乘法以外，对模型进行变换也是补救异方差的一个比较常用的方法，在此也先不作详细说明。五、 自相关 前面的讨论中，我们假定随机误差项前后期之间是不相关的。但在经济系统中，变量前后期之间很可能存在一定的关联性，使得随机误差项不能满足无自相关的假定，从而对参数估计、模型的检验、模型的预测都带来严重的后果。 产生自相关的原因主要有以下几个方面：1、经济系统的惯性，自相关现象大多出现在时间序列数据中，而经济系统的经济行为都具有时间上的惯性。例如，gdp、价格、就业等经济数据，都会随经济系统的周期而波动。2、经济活动的滞后效应，滞后效应是指某一变量对另一变量的影响不仅限于当期，而是延续若干期，由此带来变量的自相关。3、数据处理造成的相关。例如在数据处理的过程中，为了使得数据具有平滑性，将月度数据调整为季度数据，通过加合处理，修匀了月度数据的波动，然而，这种平滑性可能产生一定程度的自相关。4、蛛网现象，蛛网现象是微观经济学中的一个概念，它表示某种商品的供给量受前一期价格影响而表现出来的某种规律性，即呈蛛网状收敛或发散于供需的均衡点。5、模型设定误差，如果模型中省略了某些重要的解释变量或者模型函数形式不正确，都会产生系统误差，这种误差存在于随机误差项中，从而带来了自相关。 随机误差项存在自相关给普通最小二乘法的应用带来的后果是严重的，因此，必须设法诊断是否存在自相关。检验回归模型是否存在自相关的常用方法主要包括图示检验法和dw检验法。下面以美国个人实际可支配收入和个人实际消费支出为例，在已知其收入消费模型的前提下，检验模型的自相关状况。年份个人实际可支配收入x个人实际消费支出y年份个人实际可支配收入x个人实际消费支出y196015714319783262951961162146197933530219621691531980337301196317616019813453051964188169198234830819652001801983358324196621119019843843411967220196198539635719682302071986409371196923721519874153821970247220198843239719712562281989440406197226824219904484131973287253199144941119742852511992461422197529025719934674341976301271199447844719773112831995493458注：数据为1992年价格。资料来源：economic report of the president模型已设定为5.1参数估计dependent variable: ymethod: least squaresdate: 02/26/12 time: 15:28sample: 1960 1995included observations: 36variablecoefficientstd. errort-statisticprob. c-9.4287452.504347-3.7649510.0006x0.9358660.007467125.34110.0000r-squared0.997841 mean dependent var289.9444adjusted r-squared0.997777 s.d. dependent var95.82125s.e. of regression4.517862 akaike info criterion5.907908sum squared resid693.9767 schwarz criterion5.995881log likelihood-104.3423 f-statistic15710.39durbin-watson stat0.523428 prob(f-statistic)0.000000用规范的形式将参数估计和检验的结果写为t =（-3.764951）（125.3411）=0.997841 =0.997777 f=15710.39 dw=0.5234285.2自相关检验该回归模型的可决系数很高，回归系数均显著。对样本量为36、一个解释变量的模型、5%显著水平，查dw统计表可知，=1.411，=1.525，根据下述dw检验决策规则dw值范围自相关状态0=dw= 误差项间存在正相关dw= 不能判断是否存在自相关dw4- 误差项间无自相关4- =dw4- 不能判断是否存在自相关4- =dw=4误差项间存在负相关可以看到模型中dw ,显然模型中有自相关。这一点从残差图也可以看出残差的变动有系统模式，连续为正和连续为负，表明残差项存在一阶正自相关，模型中t统计量和f统计量的结论不可信，需采取补救措施。5.3自相关的处理 差分法是解决自相关常用的方法，由4.1中的模型式可得残差序列，使用进行滞后一期的自回归，可以得到回归方程=0.728550。由上式可知=0.72855，对原模型进行广义差分，得到广义差分方程对广义差分方程进行回归，得dependent variable: y-0.72855*y(-1)method: least squaresdate: 02/26/12 time: 16:24sample(adjusted): 1961 1995included observations: 35 after adjusting endpointsvariablecoefficientstd. errort-statisticprob. c-3.7830591.870964-2.0219840.0513x-0.72855*x(-1)0.9484060.01890550.168200.0000r-squared0.987058 mean dependent var86.40203adjusted r-squared0.986666 s.d. dependent var26.56943s.e. of regression3.068065 akaike info criterion5.135417sum squared resid310.6298 schwarz criterion5.224294log likelihood-87.86979 f-statistic2516.848durbin-watson stat2.097157 prob(f-statistic)0.000000回归方程为 t=（-2.021984） （50.16820） =0.987058 =0.986666 f=2516.848 dw=2.097157其中, 由于使用了广义差分数据，样本容量减少了1个，为35个。查5%显著水平的dw统计表可知=1.402，=1.519，于是，=1.519dw=2.0971574-=2.481,说明在5%显著性水平下广义差分模型中已无自相关，不必再进行迭代。同时可见，可决系数、t、f统计量也均达到理想水平。 由差分方程式有=-3.783059/（1-0.72855）=-13.93649由此，得到最终的模型为六、 时间序列的平稳性所谓时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化，也就是说，生成变量时间序列数据的随机过程的特征不随时间变化而变化。然而，越来越多的经济证据表明，经济分析中所涉及的大多数时间序列是非平稳的，如果直接将非平稳时间序列当作平稳时间序列进行回归分析，则可能带来不良效果，如伪回归问题。 因此，当经济变量数据为时间序列数据时，在利用回归分析方法讨论经济变量有意义的经济关系之前，必须对经济变量时间序列的平稳性与非平稳性进行判别。如果是非平稳的，则需要寻找新的处理方法。20世纪80年代发展起来的协整理论就是处理非平稳经济变量关系的行之有效的方法。 下面通过一个具体的例子，说明如何利用单位根检验判别变量序列是否平稳以及借助协整理论的相关知识修正模型和消除序列非平稳带来的误差。6.1平稳性检验以下是19701991年美国制造业固定厂房设备投资y和销售量x的数据，以10美元计价，且经过季度调整。年份固定厂房设备投资销售量年份固定厂房设备投资销售量197036.9952.8051981128.95168.129197133.655.9061982123.97163.351197235.4263.0271983117.35172.547197342.3572.0271984139.61190.682197452.4884.791985182.88194.538197553.6686.5891986137.95194.657197658.5398.7971987141.06206.326197767.48113.2011988163.45223.541197878.13126.9051989183.8232.724197995.13143.9361990192.61239.4591980112.6154.391991182.81235.142由于所用数据为时间序列数据，需要检验其平稳性，利用eviews分别对序列y和序列x作平稳性的检验。y序列的adf检验结果：adf test statistic-0.218141 1% critical value*-3.8304 5% critical value-3.0294 10% critical value-2.6552*mackinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.augmented dickey-fuller test equationdependent variable: d(y)method: least squaresdate: 03/02/12 time: 10:56sample(adjusted): 1973 1991included obs