金属EBG结构与波导模式分析.pdf

y t g 3 f 1 3 2 6 ，+ j j ；j ：| n 粪母= 垂m 4 堑j g ：筮茏一 u d c 二堂i 一 * 目盟 东南大学 硕士学位论文 i f 金属e b g 结构与波导模式分析 研究庄姓名：。至二厦 导师魁名：弛! 酉熬攫 申请学位缎月型兰亟一学科业名称盅增韭妇型! 一 论文提交口期2 q 鱼查生i 县垫目论文答辩日期鲤垦笙量且! l 县 学位授予m 位蔓且l 盘l 一学位授下日期业生旦旦一 弩释始主席 誊案爱竽斛! “_ 了寄专 i 一i ：爹黪麓 摘要 近些年来。人造金属周期性结构在微波频段表现出的电磁带隙( e b g ) 特性，使得微波 毫米波波段金属e b g 器件得到越来越深入的研究。金属e b g 微波器件具有损耗小，散热好 的特点。尤其适合于工作频率高、能量密度大的场合，在民用及军事领域都有广泛的应用。 金属电磁带隙结构及模式分析是研究和设计金属e b g 器件的基础。 本文首先从m a x w e l l 方程出发，介绍了分析金属e b g 结构的两种理论方法，平面波展 开法( p w e ) 及时域有限差分法( f d t d ) ，并分别进行了详细的讨论。本文又提出，可将 固体物理中对称性分析方法引入到e b g 结构分析中，介绍了群论的基本概念和原理。 接着，本文对金属e b g 结构进行数值分析。建立了二维金属周期性结构f d t d 分析模 型，分别获得二维方格型及三角型金属周期性结构电磁带隙的数值分析结果。研究了平面金 属e b g 波导的模式问题，分析了方格型及三角型格点平面e b g 波导中主要导波模的本征值 及模式特性。对基于金属e b g 结构的简单器件- t 型分路器进行了仿真，所获得的电磁 波传输的结果与直接获得的带隙计算结果一致。 本文利用群论的方法，对方格型及三角型两种格点形式的二维周期性结构模式问题进行 了定性分析，并将群论的分析结果与p w e 数值计算结果进行了比较，两者表现出了良好的 一致性，从而验证了群论方法在周期性结构模式对称性分析中的有效性。 最后。本文深入分析了纵向均匀金属e b g 波导的模式问题，研究了波导中主要导波模 的模场分布和基本特性，以及波导中心缺陷尺寸及波导壁层数对模场分布的影响。所得主要 模式场图的对称性特征与群论分析方法的结论一致，从而验证了f d t d 数值分析方法的有 效性。仿真获得方格型及三角型金属e b g 结构波导的色散特性。以上结果为进一步分析金 属e b g 波导及器件奠定了基础。 l 关键词l 光子晶体电磁带隙金属e b g 结构模式分析 a b s t r a c t r e c e n t l y , t h ea r t i f i c i a lm e t a l l i cl ：m t i o d i c $ t r u c t u r e sh a v ea t t r a c t e di n t e n s ea t t e n t i o nb e c a u s eo f t h ee l e c t r o m a g n e t i cb a n dg a p ( e b g ) p r o p e r t i e si nm i c r o w a v eb a n d s 1 1 谗e b gs t r u c t u r ep r o v i d e g o o dr a d i a t i n ga n de x t r e m e l yl o wl o s s s ot h ee b g b a s e dm i c r o w a v ed e v i c e s , a r ee s p e c i a l l yu s e f u l i l ih i g ho p e r a t i n gf r e q u e n c ya n dh i g hp o w e rd e n s i t yc a s ，w h i c hl e a dt ot h et r e m e n d o u s a p p l i c a t i o np o t e n t i a li nb o t hc i v i la n dm i l i t a r ya r e a 1 1 1 ea n a l y s i so fb a n ds t r u c t u r e 鹋w e l l 船 t h em o d ep r o b l e mi st h eb a s i so f e b gs t r u c t u r er e s e a r c h a tf i r s to ft h i sp a p e r , t h ef u n d a m e n t a lo fp h o t o n i cc r y s t a lw i l lb ei n t r o d u c e ds y s t e m a t i c a l l y b a s e do nm a x w e l le q u a t i o n s b o t hp l a n ew a v ee x p a n s i o nm e t h o d ( p w e la n df i i i i t cd i f f e r e n c ei n t i m ed o m a i nm e t h o d ( f d t d ) a l ed e d u c t e di nd e t a i l f d t di sak i n do f a l m i g h t ym e t h o d , i tc a nb e u s et os i m u l a t et h eo p e r a t i n gs t a t o e w e l la sb a n ds t r u c t u r e s u b s e q u e n t l y ，t h eg r o u pt h e o r yw i l lb ei n t r o d u c e dt oa n a l y s i so ft h ep e r i o ds t r u c t u r e t h e s y m m e t r yr e l a t i o n so ft w o - d i m e n s i o n a lp h o m n i cc r y s t a l sa l ed e d u c e db yt h em e t h o do fg r o u p t h e o r y a n dg o o dc o n s i s t e n c yi ss h o w nb e t w e e ng r o u pt h e o r ya n dt h en u m e r i c a ls o l u t i o n sf r o m p w e b a s e do nt h et h e o r yr e s e a r c hw o r ka b o v e , t h em e t a l l i ce b gs t r u c t u r e sa 陀s t u d i e di nd e t a i l t h et w od i m e n s i o n a le b gs t r u c t u r e sa l em o d e l e db yf d t da l g o r i t h m ，a n dt h e nt h ed i s p e r s i o n r e l a t i o n sa r ec o m p u t e d b e s i d e s ，t h eg u i d e dm o d e si np l a n a rm e t a l l i ce b g w a v e g u i d ea l ef o u n d f i n a l l y t h ef d t dm e t h o di su s e dt os o l v et h em o d ep r o b l e mo fm e t a l l i ce b gw a v e g u i d e t h ee f f e c t so fd e f e c ts i z ea n dt h i c k n e s so fw a v e g u i d ea r es t u d i e dn u m e r i c a l l y - t h e nt h em o d e p a t t e m sa mc o m p u t e db yf d t d i tc a l lb es e e nt h a ts y m m e t r yc h a r a c t e r so f c o m p u t e dm o d e sa 咒 s a m ea st h a tp r e d i c t e db yg r o u pt h e o r y , i nt h ee n d ，t h ed i s p e r s i o nr e l a t i o n so f e b gw a v e g u i d e sa r e s i m u l a t e db a s e do nt h em o d er e s u l t s k e yw o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a l s , e l e c t r o m a g n e t i cb a n dg a p ，m e t a l l i ce b gs t r u c t u r e ，m o d ep r o b l e m i l 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名： 赫日 期：壁：! ：型 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 日期： 第一章绪论 第一章绪论 自上世纪5 0 年代以来，电子技术突飞猛进，成为社会生产力发展的巨大推动力。短短5 0 年之 内，电子电路从分立电子器件到集成电路，乃至今天的超大规模，甚大规模集成电路以及特大规模 集成电路，电子电路的集成度以几乎每1 8 个月翻一番的速度递增，这就是所谓的。摩尔定律”。然而， 随着集成度越来越高，元器件越来越小，集成电路技术出现了一些传统工艺无法逾越( 或者必须付 出巨大的代价来实现) 的物理极限，如散热、漏电流及热噪声等等，业界呼唤种新的技术，来作 为集成电路的替代者。 与此同时，不断增长的对信息的需求推动了通信技术的发展。使用了密集波分复用( d w d m ) 技术的光通信系统可以为人们提供几乎无限的带宽资源。但是由于必须在网络节点处进行光一电一 光的转换，使通信速度受到了限制，人们需要功能更强大，速度更快的光子器件；基于半导体及聚 合物技术的集成光路( o l c ) 的出现，大大提高了光子器件的性能，集成光路是公认的很有希望能 够超越集成电路成就的新技术。与集成电路相比，集成光路具有如下显著优点： 1 传输损耗小，带宽大； 2 无电磁干扰，适用于电磁环境复杂的情况； 3 无需接地，不用考虑阻抗匹配； 4 不易被监听，保密性好。 当前的集成光路一般采用半导体平面工艺来制作，业界称之为平面光波光路( p l a n a rl i g h t w a v e c i r c u i t s p l c ) ；p l c 将光源( l d ，l e d ) 与各种平面波导器件通过不同工艺方法( 单片集成、混和集 成) 在一起，实现各种复杂的功能。脊波导是p l c 的基本单元，在用脊波导构成单模的波导分支时， 汇流角非常小，通常交会部分长度会达到波导宽度的几百倍之多，由此造成了集成光路器件体积偏 大，不易实现大规模集成。而光子晶体是一种新型光子器件结构，利用光子晶体的带隙特性，可以 实现理论上无损的任意角度的波导拐弯和分支。光子晶体是实现集成光路的最理想的结构。 1 9 8 7 年，美国科学家e y a b l o n o v i t c h 首次提出了光子晶体( p h o t o n i n cc r y s t a l ，p c ) 的概念一y a b 在他论文中将f p 腔所具有的高频率选择性推广到三维情况下，提出如在空间的三个方向上，折射率 分布都表现出周期性，那就可能存在一个频率禁带 “i 一，。”= 彳7 爿i “。 【苏s ( 哳)砂占( 白) 砂j ”，2 ” r ， 和三维情况一样，波动方程的解可以表示为时谐场形式，即e ( 吻，t ) = e ( r ) e 一“ 皿( 嘞，r ) = 只( ) 口一“，从而将波动方程改写为本征方程： t m 模式： 第二章电磁带隙理论分析基础 t e 模式： 髦e c 嘞，= 南 导+ 等卜c 吻，= 等景e c 嘞， 绷咖一怯a 丽1 瓦a + 号赤珈等等地，眩：， 上述式子中，厶，厶为二维情况下的微分算符。同样的，可以将周期结构中的电场和磁场改 写为布洛赫波的形式，如果和g ，分别表示二维情况下的波矢和倒格矢则电场和磁场可以改写为： 忍( 吻) = e 加( 嘞) = e 拗( ) e x p f ( + q ) 吻 嘞 皿) = 见拗( 啊) = 见鼬( g ) 唧 f ( b + g ) ) 嘞 r l v l 模式： r ( g ，一g ，i 锄+ g ，1 1 2 e 咖( g t ，) = 孕e 助( g ，) “i 。 ( 2 2 8 ) t e 模式： k 岭广g 4 p g o 啦一g ，o h t 哆t | ：每hz 如心 。 陀2 9 ) 如三维情况一样，对于( 2 2 9 ) ，也可以定义一个h e r m i t i a n 矩阵帆( g i ，g ) m k 。”g ) 2 k 姆”一g j | f 1 q | + g 一q i j + g j 一( 2 3 0 、 其中帆( g ，g ) = 靠+ ( g ，g ) t 则( 2 2 7 ) 的本征值问题可以改写为： m h 。g ) h , n 岭，o = 等h3 蜘婚。 嘞 。 ( 2 3 1 ) 要对( 2 3 1 ) 的本征值问题求解，首先要得到介电常数分布占( 白) 在倒格矢空间的展开系数 r ( g i ) 。r ( g ，) 可以用傅立叶逆变换得到，在二维情况下， 响，2 古肛高唧( - i g 嘲 通常情况下，这个积分只能够通过数值方法求解，只有在某些特殊情况下才有解析解。 二维光子晶体最常见的一种形式就是空气中的介质柱子阵列的形式，假设介质介电常数为乞， 东南大学硕士学位论文 背景材料介电常数为；介质柱子半径为r o 。在这种情况下- 介电常数的分布情况可以写成： 定义一个函数s ( 珞) t 咖) ；卜 l 毛 h l h i 名 s c 畅，= ：l r 功i l s r o 。则有 赤= 去+ b 珈嘞， g ( 嘞)矗i 毛毛j “ 将( 2 3 4 ) 代入( 2 3 2 ) 可以得到 蚂，2 扣+ 吉岜1 ) d r s ( r ) e x p ( - ，泣， ( 2 3 5 ) 中的积分可以在极坐标下得到解析解，假设g i = 0 时，= 0 ，妒= 0 ，对于g ，0 的 情况，有： d r s ( r ) e 醑卿，j ，) = f 毋肭r 唧p 妒劲 = r 咖r 7 d 喹一( g r ) e x p f f ( 妒一升z 万r 。d r r a o ( c , r ) = 百2 z r o 以( 蚴旺，。， 上述式子中，g = l g ，i 。正表示第l 阶贝塞尔函数，在( 2 3 6 ) 的推导过程中还利用了如下 的关系：e x p ( i a ) s i n # ) = 一( ) e x p ( 玎声) 和 戗，1 ( 印) = n ，o ( ) 。 编，：f ( i - i 牌( 删3 # 0 ( 2 3 7 ) 将( 2 3 7 ) 代入( 2 ，3 0 ) ，则可以得到本征问题的特征矩阵完整形式，求解这个本征问题，可以 得到光子晶体的色散特性及带隙结构。 2 1 4 无标度定理 光子晶体的一个重要特性就是无标度性。无标度性表示，如果两个光子晶体其他的参数都相同， 1 8 第二章电磁带隙理论分析基础 仅仅是结构上尺度不同，则这两个光子晶体具有相同的带隙结构，仅是带隙波长不同，带隙波长随 光子晶体的尺度成正比。关于无标度定理的证明如下： 重新定义空间和时间变量： 以及 l r = r 口 c t = t 口 新的变量，。和，是没有单位的。从而可以定义新的介电常数分布和： 气i ) = g ( r ) 以及电场分布： & 满足下列的波动方程 吃( ，f = e ( r ，f ) ( 2 3 8 ) ( 2 4 1 ) 赤v i v 蛾( ， 门 - _ 盖啪 ( 2 铊) 这个波动方程的形式与( 2 5 ) 是一样的；因此如果两个光子晶体仅仅使尺度上不同，通过尺度 变换，可以使两个光子晶体满足的波动方程一致。 同样的，与( r ，f 系统对应的波矢及角频率分别用( 七，国) 表示，根据尺度变换关系( 2 3 8 ) 和( 2 3 9 ) ，可以得到： 后t ：旦七 2 n “ ( 2 4 3 ) ：旦国 d r c ( 2 4 4 ) 这意味着，如果波矢k 以2 石a 为单位，口以2 万c a 为单位，仅仅尺度不同( 晶格常数a 不同) 的光子晶体色散曲线的样式是完全相同的i 枷】。 2 2 时域有限差分法( f d t d ) 时域有限差分法最早见于y e e 在1 9 6 6 年发表的论文1 4 ”。该方法的核心思想是将m a x w e l l 旋度方 程写成差分形式，空间分为正交网格( c e l l ) ，在时间域上交替计算电场和磁场。这种方法理论上可 以处理几乎所有的电磁场计算问题，且合理选择空间和时间步长可以保证收敛；所不足的是，为了 保证计算精度，往往需要选取较小的空间和时间步长，因此产生的计算量是惊人的，在处理复杂结 构，尤其是三维结构时，往往因计算量过大而无法使用f d t d 方法，所以f d t d 一般用于二维光子 晶体问题的分析。 1 9 东南大学硕士学位论文 各向同性介质中，m a x w e l l 方程可以写为： 警+ v x 础 眨。， 丝一v 。露：了 研 ( 2 4 6 ) 曰2 日 ( 2 4 7 ) d = s e 2 4 8 ) 其中，在笛卡儿坐标系下，( 2 4 5 ) 和( 2 4 6 ) 可以分别展开为标量方程组( 2 4 9 ) 和( 2 5 0 ) ： 堡：堡一堡 a t 锣出(249a、 a b v8 e ，8 e ， 一= _ _ ：- 一二 国如缸 ( 2 4 9 b ) 丝：堡一堡 0 t 勿0 x ( 2 4 9 c ) ( 2 5 0 c ) 对于要研究的任一矢量j ，可以改写为各方向的分量，即j = ( 4 ，以，4 ) 。在笛卡几坐标系下 划分空间格点，假设f ，_ i 为格点标号，a x ，缈，z 分别为各方向上的步长，则标号为( f ，) 的点 的空间坐标为( f x ，_ ，缈，k a z ) 。对于任一个空间和时间的函数f ，可以按如下的规则表示： f ( f 缸，缈，& , n a t ) = f ”( i ，七) 。三维情况下，分离后的y e e 元胞( 1 1 ) 如( 图2 ，1 ) 所示。 ， j ， j 。 一 一 一 哆i 堡叙 堡钞 堡勿堡如堡缸 他百 呜卜毽 以百 第二章电磁带隙理论分析基础 z 图2 1 三维f d t d 元胞示意图 则( 2 4 9 ) 的三个方程可以按相同的方法改写为差分格式，以( 2 4 9 a ) 为例： y z a y 同样的，( 2 5 0 ) 的三个方程也可以改写为如下的形式，以( 2 5 0 a ) 为例 fv ( 2 5 1 ) 一!,二-i21：至i二2二二二ii：；：2,-i2：盟ii+一，：o+三，_，七) 缸 2 。 ( 2 5 2 ) 应用差分方法的前提是电磁场在空间步长上的变化并不显著，即要求空间步长与工作波长相比， 比例很小。一般的，为了保持计算的稳定，要求空间步长满足如下的关系： 厨丽 肛 2 l ( 2 5 3 ) 东南大学硕士学位论文 2 3 群论分析方法 群及其表示理论，作为数学的一个分支，是处理具有一定对称性的物理体系的一种有力的工具。 利用群论方法。可以直接对体系的许多性质作出定性的了解，可以简化复杂的计算。也可以预研物 理过程的发展趋向。群的相关理论。已经广泛而深入的应用于固体物理，尤其是晶体理论中；e b g 结构作为一种人造的周期性结构，与天然晶体都有着相似之处，群论同样是分析e b g 结构的有力工 具之一 2 3 1 群论基本概念1 4 2 l 凡是满足f 面几个条件的兀素集合或操作集合均称为群，在本文中，群记做m 如果用r l ，r 2 ， 等表示群m 中包含的元素或操作，即置m ，i = 1 ，2 ，或集合 b ) 必须满足如下的条件： ( 1 ) 任意两个元素( 操作) 的乘积等于该群中的一个元素( 算符) ，且这个乘积是唯一的和单 值的，即r e = r k ；足，e ，墨m ； ( 2 ) 元素( 操作) 作用的效果满足结合率，即如焉，r 2 ，玛分别为群中一个元素，则有 ( 焉马) r = 置( 马玛) ； ( 3 ) 点群中任一元素( 操作) 的逆操作也是点群中的一个元素( 操作) ，l l o 折v ( 蜀) = 是； ( 4 ) 点群中的元素( 操作) 中必然包括不变元素( 操作) e 。 在这里应该指出，条件( 1 ) 中所得的乘积与足，弓的次序有关，如果墨墨= 足，以为着 置，弓依次作用的结果与也作用相同，如果置弓= 弓冠，则元素足，玛是对易的在一般情况 下，群的任何两个元素蜀，弓不一定对易 群m 中的算符对向量的操作可以用n 维矩阵形式来表示，这些矩阵( 其中包括单位矩阵) 的行 列式不等于0 ，矩阵之间的乘积关系与点群中的元素之间的乘积关系一一对应，这样的一组矩阵称 为矩阵群。这个矩阵与群同构，可以代表群的性质，该矩阵群就是群m 的矩阵表示。 r ( 4 ) ，r ( 4 ) 和r ( 以) 分别为群中的三个元素，r ( 4 ) ，r ( 4 ) 和r ( 4 ) 分别代表这三个元素的 矩阵表示，如果蠢( 4 ) 具有形式j i ( 4 ) 5 ( 蜀孑2 箸； ，其中豆( 4 ) 是埘维方矩阵，f f t 2 ( 4 1 ) 是 栉一所维矩阵，则 孟c 4 疯4 ，= ( 豆惫器；) ( 豆于凳旨； 第二章电磁带隙理论分析基础 ：f 蜀( 4 ) 墨( 4 ) 蜀( 4 ) 局4 ) + r l z ( 4 ) 坞( 4 1“1 ) t 0 r 2 ( 4 ) 恐( 鸣)j 如果孟( 4 ) j 暮( 4 ) = i ( 4 ) ，豆( 4 ) 豆( 4 ) = 豆( 呜) ，孟2 ( 4 ) 丘( 4 ) = 是( 4 ) 。且有 是( 4 ) 豆：( 4 ) + 是：( 4 ) 是( 4 ) = 雹：( 呜) 则可以得到如下结论； 砌c 驴黝胎勰“ 铲凳他z ， 即局( 4 ) ，墨( 4 ) 等可以组成群的所维表示，马( 4 ) 是( 4 ) 可组成群的聆一7 维表示。 墨( 4 ) ，是( 4 ) 的维数小于，则该矩阵群称为可约的矩薛群：如果对应于每个元素4 的蜀2 ( - 4 ) 都 为o ，则称该矩阵群为完全可约的；如果不能找到是所有矩阵五( 4 ) 同时变成上述的变换，则五( 4 ) 是不可约的。 2 3 2m a x w e l l 微分算符的群 理论研究者早已证明，使氢原子的哈密顿算符保持不变的算符组成群，由此可以利用群论的方 法对氢原子模型的本征值( 能级) 及本征函数( 波函数) 进行定性的分析| 4 3 1 。在这里，我们将证明 同样的群论分析也可以引入到对光子晶体的分析中。 假设嘞为二维空闻中的一个向量，可以用( x ，y ) 的坐标来表示。群中的元素可以找到其矩阵表 示，则算符中的元素r 作用于这个向量可以表示为巧= ( 一，y 。) = j i ( 五y ) = r ( 嘞) 。矗表示与j 毛对 应的算符，厂为与坐标相关的一个函数，可以证明，r f ( r ) = f ( r r ) 1 4 4 1 。 假设算符r 为体系的对称性算符，即有如下的关系： 【r 占】( 畅) = 占( r 1 ) = 占( 吻) ，可以证明，对称性算符胄与二维m a x w e l l 方程中的微分算子乓， 厶是可互易的，印有； e l s e 一= 岛 ( 4 4 ) r 厶月= 厶 ( 4 5 ) 其中，厶，由式( 2 5 - 2 6 ) 定义。( 4 5 ) 及( 4 6 ) 的证明过程完全一样，在本文中仅对( 4 5 ) 作出证明： 孟= ( 乏：乏) ，由于豆是正交阵。豆龟= ，则有 东南大学硕士学位论文 嚣：惫：竽h ： s ， l 局，焉。+ 如焉：码+ 呓jl ol j 对十任蒽与坐杯彳目天明幽裂，【畅j ， r 要f 睁 、= r - 要f ( 1 0 ：) 靠 o x = r 蜀- 罢i 鼽+ 避，茜i 籼 = 局，矧。+ 恐，鼍l 。 c ， 因此可知， r 丢= 墨，昙+ 毛未 c 4 s ， 同样的，也可以得到： r 岳= 墨：昙+ 是：言 c 。m 却 ”叙 “巩 将( 4 8 ) ( 4 9 ) 代入( 4 5 ) ，可以得到5 州州南忙m 纠2 = 一南 ( + 口2 、j 竺0 x 2 + 2 ( 墨。如+ 足：) 面0 2 + ( 呓+ 23 ，砂0 2 ：j l = 厶 ( a - 。) 此外。容易证明使微分算子乓，磊保持不变的操作还具有以下的性质： ( 1 ) 如果墨，尼是使微分算子保持不变的操作，则( 马马) 也使微分算子保持不变； ( 2 ) 如果r 是便微分算子保持不变的操作，则置- 1 也使微分算子保持不变； ( 3 ) 不变操作e 显然也使微分算子保持不变。 根据群的定义可知，使m a x w e l l 微分算子保持不变的操作构成群。因此，在具有高度对称性的 光子晶体中，也可以运用群论方法进行定性的分析。具体对于二维方格及三角格子型光子晶体对称 性的分析将在第四章详细给出 2 4 本章小结 本章从m a x w e l l 方程组出发，利用布洛赫定律，将求解光子晶体模式问题转化为倒格矢空间中 的本征值问题。井详细推导了平面波展开法求解二维光子晶体模式问题的详细过程。其次，本章也 利用时域有限差分法划分空间和时间网格，对m a x w e l l 旋度方程进行离散化，从而提出求解e b g 结 构模式问题的f d t d 模型。此外，本文简单介绍了群论的相关概念，并从理论上证明了群论方法分 析e b g 结构模式问题的可行性。 第三章二维金属电磁带隙f d t d 分析 第三章二维金属电磁带隙f d t d 分析 3 1 二维e b g 结构f d t d 分析模型 在各类计算电磁场问题的数值方法中，f d t d 堪称是一种全能的方法，f d t d 方法直接对m a x w e l l 方程进行离散化。理论上只要离散化的网格取得足够密，就可以保证良好的精度。f d t d 方法同样 能够用于e b g 结构的分析，在本节中，将给出e b g 结构详细的f d t d 模型，并利用此模型研究金 属周期性结构的电磁带隙。 3 1 1 基本模型 二维情况下，金属e b g 结构中传播的电磁波满足的m a x w e l l 方程可以分为以下两组情况： t m 模式，在z 方向上仅有电场分量： 塑：一上翌 甜 ( j ，_ ) ，) 咖 堡：上堡 a t 声沁力知 鲁= 忐e ( xc 警一争一舞e 研 ，y ) 、苏勿s “力。 t e 模式，在z 方向上仅有磁场分量： 堡；一l f 堡一鸟 a o ，) 、凰 勿7 堡：l 丝一些盟e a 6 ( x ，y ) 咖s ( x ，力1 鲁一丽1 一o h , 6 ( xa x 一筹8 ( x 髟 西 n。y ) 7 我们选择的系统是空气中的金属柱子结构，体系的示意图及电导率分布函数如下 o 图3 1 二维金属e b g 结构 ( a ) 方格型二维金属e b g 结构( b ) 三角型二维金属e b g 结构 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 东南大学硕士学位论文 盯( 工，力= a o 。( x 一- m m a ) ) ：2 地+ 0 一- m n a ) ) ：2 3 时，功率也不能到达出射端口。 3 5 本章小结 本章利用f d t d 模型，求解了方格型及三角型二维金属e b g 结构。结果显示两种结构的金属 e b g 结构在t m 偏振态下存在带隙，而再t e 偏振态下不显示带隙性质。此外，本章还利用超晶格 法计算了二维平面金属e b g 波导的模式情况，证明了金属e b g 结构平面波导可以实现单模工作。 本章的最后还利用f d t d 方法仿真了金属e b g 结构t 型分路器的工作情况。 东南大学硕士学位论文 第四章二维e b g 结构对称性 e b g 结构和自然界中天然晶体一样，其结构具有特殊性。二维e b g 结构的周期性决定其结构 至少具有如下的对称关系：平移对称性：占( 芦+ 晚+ 珑砭) = s ( f ) ，其中，i ，m 为任意的整数。q ，a z 为正空间中的基矢。严格来说。仅有无限理想晶体结构才有平移对称性；考虑到实际e b g 结构总是 包括了许多个( 1 0 1 0 2 ) 周期，故表面效应并不重要。二维金属e b g 结构与二维介质光子晶体 仅仅是材料与尺度上的不同，二维周期性结构的对称性特征应该是具有普遍性的。因此，可以以= 维介质光子晶体为例，来研究二维周期性结构的模式对称性，所得到的结论，对于二维金属e b g 结 构也是适用的。典型的二维光子晶体为正方型及三角型介质( 空气) 柱的形式，其元胞为正方形或 正六边形，元胞的形状也具有高度对称性。本章将分别针对这两种结构的周期性结构，运用群论的 分析方法，分析其对称性特征。 4 1 二维方格形周期性结构对称性 4 1 1 正空间对称性 典型的二维光子晶体结构为正方型及六角型介质( 空气) 柱的形式，以正方格于介质柱型周期 性结构为例，如图所示设置坐标系，可以看到，除平移对称性之外，此类周期性结构还具有一些其 他的空间对称性如( 图4 1 ) 所示：如e a g 结构关于y 轴翻转，其结构保持不变，这样的对称性关 系可以用如下的式子来表示：占( 一x , y ) = e ( x ，_ y ) ，可以定义一个算符d 二，其作用是将空间关于y 轴翻转，即将点o ，y ) 映射为( - z ，y ) ，此对称性关系可以改写为：【口二s 】( 而) z 占( 1 易) = f ( 而) 。 同样的，将空间关于x 轴翻转( 巳) 其空间结构不变，此外。将点( j ，) 映射为( 弘x ) ( 以) ，将 点 ，j ，) 映射为( y ，善) ( 西) ，以及逆时针翻转万，2 ( c 二) ，万( c 2 ) ，3 ，t 2 ( c 4 1 ) ，整个空问结构也保持 不变，加上使整个空间保持不变的算符e ，对于正方格子的二维周期性结构而言，存在着以上8 种 算符操作，这8 个算符的集合构成一个群，q ，= e c 4 ，c r ，c ：，a ；，q ，以，瓦 。 第四章二维e b g 结构模式对称性 黑 。y 、仃 ) v ) 厂、。 浆u 7 岁& 臼 盯j 图4 1 二维方格型光子晶体对称性 c v 的元素集合构成群，由前面的内容可知，群中元素的乘积仍然使群中的元素，为了印证这一 定理，在此列出c v 中元素的乘积表，如下所示 g ， e gagq吼 a 白 ee gg 1gq q d ja j ggg e g 1乃乃qq 掣g 1 e ge 吒q ggg 1g e qq乃乃 q 吧乃q e egg 1 qq 乃乃吒g e g 1g 乃乃5 正乃g 1g e g 乃乃 吒q乃gg 1g e 表4 1c “元素乘积表 c 4 ，中的各个元素( 操作) 的地位并不完全相等，其中有一些元素( 操作) 构成了共扼对。共 扼对的定义如下：r i ，坞和r 分别为点群中一个元素，如果有蜀= 尼如r 一，则称马，足为一个共扼 对。在c 4 ，的点群中，存在如下三个共扼对： 东南大学硕士学位论文 o i = c f s ： 砖= c 4 西g 1 c 4 = 以g 1 可以将这些互为共扼的算符看作是属于同一个类，因为它们的可以通过变换坐标系来相互转化， 比如将x 轴与y 轴交换，吒就变成了巳t 而巳就变成了吒。在点群c 4 ，中，总共有8 个元素， 分别属于5 个类。 4 1 2 倒格矢空间对称性 正空间点阵的对称性必然会表现在由此点阵所定义的布里渊区( b z ) 的外形对称性中，因此也 可以说b z 具有c j ，点群的全部对称性。 c j ，中的一些算符作用于位于b z 中某些向量时，向量保持不变。需要说明的是：在倒格矢空间 中，相差倒空间基矢整数被的向量被认为是相同的，如图所示：在b z 范围内，存在着相同的1 个r 点，两个x 点。刚j - m 点。r ( o ，o ) ，x ( o ，与，m ( 三，与被称为高对称性点。如果这些算符作 口口口 用于倒格矢空间中的向量| | 后，七保持不变，就将这些向量的集合命名为 以，可以证明 以也构成 一个群，且为c ：，的子群。 h r h 我 j h zz k l j rx 7 mm 图4 2 二维方格型光于晶体倒格矢仝同对称性 对于倒格矢空间的高对称性点，如在操作作用下保持不变，或相差倒格矢的整数倍，则这些操作 构成c 4 ，的子群，具体如下： m r = c 4 ，= e ，c 4 ，g 1 ，c 2 ，q ，q ，以，以 - - e ，2 c 4 ，c 2 ，2 q ，2 帆= c 4 ，= e ，c 4 ，g 1 ，c 2 ，吒，q ，以，西 = e ，2 g ，c 2 ，2 瓯，2 乃) m x = c 2 ，= e ，c 2 ，吒，q 第四章二维e b g 结构模式对称性 = c l = e ，q m z = g = e ，吒 魄= c l 。= e ， 由于在c 4 ，的元素中巳，a j 是同一类的，可以用2 吼来表示；同样的以，西也可以用2 d j 来表 示。值得注意的是，c 2 ，群中不包括以，西，所以吒，d j 不再组成一个共扼对，所以不属于同一个 类了故c 2 ，中a ；，巳是两个独立的元素 4 1 3 模式对称性 c 4 ，群中包含8 个元素，这8 个元素分属5 类，因此c 4 ，对称性体系的本征模式按对称性分应有 5 种，根据群论方法，这些模式的简并度的平方和应该等于群中元素的数量1 。即存在关系： 砰+ + 碍+ 瑶+ 碍= 8 ( 4 1 1 ) 上式仅存在一种可能的解，即1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 2 2 = 8 ，意味着q ，体系中本征模式中有4 种一 维的和1 种二维简并的模式。 此处引入群的基矢的概念。如果破，唬，疵是群m 的表示的基矢，则由这些函数可决定函数空 间，当用和群m 的元素相应的算符作用在这些函数后，所得到的函数可以表示为基矢的线性组合， 而这些系数组成的矩阵可以作为群m 的表示。 正如前面所提到的，群论的方法首先被应用于固体物理领域。理论研究者早已证明，薛定鄂方 程的解组成某个群的不可约表示的基矢【4 ”；同样的，e b g 结构模式所依据的m a x w e l l 方程，微分算 符乓和厶与群m 的元素互易，则微分算符厶和岛具有相同本征值的本征函数构成m n x w e l l 方程 群m 的一个表示的基函数。此处具有相同本征值的本征函数包括了简并( 一个本征值具有多个本征 函数) 及非简并( 一个本征值只有一个本征函数) 的情况。 对于二维e b g 结构，本征函数就是电( 磁) 场分布模式e ( h ) ，本征值就是各能带对应的角频 率毋。如果对于群m = 马，雹，如) ，旃，唬，九是群m 的表示的基矢，则有r 力= d ( 置) 自吮。 其中d ( 置) 为对应于群中任一元素置的矩阵表示。 二维方格型周期性结构具有c 4 ，对称性，由前面的相关推导可知，c j ，的元素构成一个群，这个 群的元素与m a x w e l l 方程的微分算符可互易， 个1 维基矢以及一个2 维基矢。 其本征函数构成群c 4 ，的基矢。对于c 4 ，群，存在着四 3 7 东南大学硕士学位论文 一维基矢，对应于本征值问题的非简并解： r 妒= 局( r ) ，其中西 一1 ，1 ； ( 4 1 2 ) 二维基矢，对应于本征值问题的2 重简并解，即存在，2 对应于同一个本征值国： r 矿1 = 4 1 妒1 + 4 2 妒2 r 妒2 = 4 i 1 + 4 2 2 筋= 4 i + 4 2 ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) 将( 4 1 1 ) 及( 4 1 4 ) 中的厄命名为特征标，特征标标明了基矢在群中元素作用下的对称性特 征。由此，c “群的特征标表如下所示 c 4 ， e2 e c 2 2 瓯2 4 l 111 1 4 i l1一ll a 1- 11 1 - i 岛 111- i1 e2o- 2oo 表4 2g v 群特征标表 由表( 4 2 ) 可以知道，具有c “对称性系统中可以存在的模式，如果按模式对称性特征分，可 以分为非简并模a - 、a 。、b t 、b 2 以及二重简并模式e 。同样的，具有g v 和c - - 对称性系统的特征标表 分别如( 表4 3 ) 及( 表4 4 ) 所示。 c 2 ， e c 2q吒 4 111 l 4 11 1 l 马 l l1 1 垦 11一l1 表4 3c 2 v 群特征标表 3 8 第四章二维e b g 结构模式对称性 q e 2 仉 a11 b11 表4 4c l 。群特征标表 为了验证上述群论的结果，可以使用平面波展开法数值计算二维方格型介质光子晶体模式，在 倒格矢空间中，r 点( k = ( o ，0 ，o ) ) 的模式具有已v 对称性，所以我们仅计算1 l i 偏振态下。r 点的 模式来验证群论的结果。此处选取的系统为空气中的介质柱型二维光子晶体，介质折射率n = 3 。介 质柱的填充率r a = 0 2 ，选定波矢k = ( 0 ，0 ，0 ) ，模式计算的结果如下： ( a ) 0 ) 0 2 ：r c = a a = 0 5 8 1 1 0 5( b ) o ) a 2 7 r c = 口五= 0 6 2 5 6 2 8 ( c ) 0 ) a ，2 ：t c = a 旯= 0 6 2 6 1 7 9( d ) 伽2 ：r c = a 五= 0 8 8 8 2 6 8 ( e ) 0 ) a 2 z r c = 口，旯= 0 9 6 9 7 6 1 图4 3 二维方格型光子晶体模式分布( k = ( o ，0 ，o ) ) 根据( 表4 2 ) 中a v 群特征标参数，可以将上述模式分类。( 4 3 a ) 为a 。模，( 4 3 b ) 和( 4 3 c ) 为一组简并的e 模，简并模式的本征频率缈数值上十分接近；( 4 3 d ) 为b ，模，( 4 3 e ) 为b ：模。数 东南大学硕士学位论文 值计算的结果与群论方法得到的结论完全_ 致- 4 2 二维三角型周期性结构对称性 二维三角型周期性结构的比正方格子e b g 结构有更多的对称轴，对称关系更为复杂。二维三角 型周期性结构的对称性特征如下图所示： g - 一- 了 y k 压d ，漶黢 - u 张漤。、 ， & 义口 k 图4 4 二维三角型光子晶体对称性 除具有与二维方格型周期性结构一样的e ，c 2 ，a 二及d j 之外，使二维三角型e b g 结构体系保持 不变的对称性操作还包括：q c ，即体系逆时针顺时针旋转2 疗，6 ；c 3 c r 。即体系逆时针 顺时针旋转2 万3 ；盯：仃0 ，体系以j ，= 鱼3 x 为中线翻转；以及盯。，盯0 ，体系以y = h 为中线翻转。 综上，使二维三角型周期性结构体系保持不变的操作有：e ，c 2 ，a ；，a j ，c 6 ，c ，g ，g 1 ， 盯i ，盯i ，o “ l y ，盯0 共1 2 种按照前面关于群的定义可知，这1 2 种操作构成一个群。定义为： c 6 ，= e ，c 6 ，g 1 ，c 3 ，g 1 ，c 2 ，吒，o “ i s ，盯”，巳，o “ l y ，盯”， 正空间中，二维三角型周期性结构的基矢为(