数学与应用数学毕业论文6.doc

成 绩： 江西科技师范学院毕业设计（论文） 题目（中文）： 勾股定理的证明方法研究 （外文）：the research on the method of proving the pythagorean theorem 院（系）： 数学与计算机科学学院 专 业： 数学与应用数学 学生姓名： 李星星 学 号： 20081434 指导教师： 余志成 年 月 日目录1.引言32.西方证明42.1plato的证明42.2euclid对勾股定理的证明42.3plato-euclid证明风格52.3.1 第一条思路52.3.2 第二条思路62.3.3 第三条思路72.4 美国总统garfield证明82.5 利用多列米定理证明93. 我国数学家的证明93.1周髀算经注中赵爽的证明103.2周髀算经注中商高的证明103.3九章算术注中刘徽的证明113.4勾股举隅中梅文鼎的两种证明123.5 邹元治的证明133.6新人教版八年级下18章中的证明143.7小结144.结束语15参考文献15勾股定理的证明方法研究摘要：勾股定理是我国古代数学研究的重要源泉，中华数学的精髓诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展，都与勾股定理有着密切关系。勾股定理的证明方法，至今已有400种左右。西方对勾股定理的证明大多是“拼图法”和面积相等法，而中国古代数学家们的证明则建立在一种不证自明、形象直观的原理出入相补原理之上。本文探讨了古代中国和西方对勾股定理的几种不同证明方法，列举了部分勾股定理的证明方法。关键词：勾股定理；证明方法；弦图1. 引言勾股定理是几何学中的明珠，是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是古代文明中最古老的定理之一，它的推论和推广有着广泛的应用。勾股定理它充满魅力，千百年来，几乎所有文明古国(希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究,人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想发放正是数学发展的一个极其重要的条件。所谓勾股定理，就是指：“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方”。勾股定理的别称有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（pythagoras，公元前572-公元前497年）于公元前550年首先发现的，实际上比毕达哥拉斯早一千多年的古巴比伦人就已经发现了这一定理，在plimpton322号泥板上的数表提供了这方面的证据，这块泥板的年代大约是公元前1700年。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传了。著名的希腊数学家欧几里得（euclid，公元前330-公元前275年）在巨著几何原本（第一卷，命题47）中给出一个很好的证明。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为毕达哥拉斯命题的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有数据表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。本文将介绍几种著名的证法。理在西方被称为定理, 它2. 西方证明2.1 plato（普拉提）的证明拜占庭学者proclus（蒲洛克勒斯）（约公元5世纪）在其数学史专著中指出：“希腊rhodes岛的eudemus(约公元前4世纪)称pythagoras学派发现此定理。希腊哲学家plato（公元前427-前347年）对此定理就其特殊情况作了图证。”如图，plato对等腰直角三角形作了证明，他把腰上的两个正方形沿着对角线切开，所得四个全等的等腰直角三角形可以拼成原三角形斜边上的正方形。 plato的证法可能源于他的老师socrates，这一证法对后世产生的影响是巨大的。首先，plato把平方作为正方形的面积,在直角三角形的三边上向外作三个正方形，后证明两个直角边上正方形面积之和等于斜上正方形的面积。西方后世的数学家大都沿用这一构图形式和证明思路。最后，plato把两个小正方形切开，然后拼成大正方形，这一思想为后人用“拼图法”证明勾股定理作了启发。同时，拼图法又与我国古代数学家（赵爽、刘徽 、梅文鼎等）以出入相补原理证明勾股定理的“割补法”具有异曲同工之妙，主要数学思想均为几何变换, 即几何图形经过平移、对称、旋转面积不变。2.2 euclid对勾股定理的证明西方对勾股定理的明文记载始于著名的希腊数学家欧几里得（euclid，公元前330-公元前275年）在巨著几何原本（第一卷，命题47），他利用图形分割、全等三角形以及面积关系等知识进行演绎推理。证法如下：如图，做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使h、c、b三点在一条直线上，连结bf、cd. 过c作clde，交ab于点m，交de于点l. af = ac，ab = ad，fab = gad， fab gad， fab的面积等于，gad的面积等于矩形adlm的面积的一半， 矩形adlm的面积 =.同理可证，矩形mleb的面积 =. 正方形adeb的面积 = 矩形adlm的面积 + 矩形mleb的面积 ，即.euclid的方法使用的是演绎法证明, 他继承了plato的构图方法, 并形成plato-euclid证明风格。这种风格有两大主要特征, 一为构图方式, 二是对图形进行必要的分割。而他与plato不同在于, euclid把斜边上正方形分成两个矩形,通过证明它们分别与两个直角边上正方形的面积相等, 从而获得定理的证明。这种把斜边上正方形分成两个矩形的思想对后人有较大的影响。2.3 plato-euclid证明风格在euclid之后, 西方数学家大多运用plato-euclid风格的方法对勾股定理进行证明, 其思路大致可以分为以下三条：2.3.1第一条思路leonardo da vinci（1452-1519），文艺复兴时期意大利著名画家, 他在数学、机械设计、人体解剖学上也有巨大成就。他在欧几里得的几何原本的插图上、下各添加一直角三角形, 如图, 凑成两个面积相等的六边形, 再做一次面积减法, 证明勾股定理。 da vinci的方法, 继承euclid的思想, 同时也有极大的不同：他把斜边上正方形分成两个全等的直角梯形而其面积是两个正方形面积的一半。这条分割线aj与正方形acgf一条对角线ag垂直，也与正方形abhi对角线ah垂直。若从几何变换的角度看, 则是把六边形bcgfih绕对角线交点a顺时针旋转90度,然后沿aj向下平移ag个单位。另一方面, 四边形ghif与ghbc对称, 对称轴为gh, 四边形ghbc绕点c逆时针旋转90度成jabe, 四边形ghbc绕c顺时针旋转90度成ajdc。德国人p.epstein(1871-1939)的拼图证明法与da vinci的方法有密切的联系。他的证明如图所示。2.3.2第二条思路德国人w.weber(1842-1913)的证法也继承euclid的思想, 把以斜边上正方形分成两个矩形, 通过证明它们分别与两个直角边上正方形的面积相等。在证明面积相等的时候, 再次把两矩形分成若干小块, 然后分别经平移拼成直角边上两个正方形，如图。这一证法与我国清初数学家梅文鼎的证法有异曲同工之妙。2.3.3第三条思路h.perigal于1873年提出的证明, 如图, 只在长直角边上正方形中剪两刀成四个图形, 并和短直角边上正方形合成斜边上的正方形。丹麦人n.nielsen(1865-1931)的证法也很简洁, 作法也很方便, 如图, 在两个直角边上正方形中剪三刀成五个图形, 再拼成斜边上正方形。进一步, 我们对图稍作改动, 如图, 就会发现, 他的证法与我国魏晋时期数学家刘徽的证法完全相同。刘徽在为九章算术作注时给出他用出入相补原理对勾股定理的证明, 并有一图, 不过他的原图已失传, 清代数学家李锐和李演对其图作了复原, 正如图中实线所构成的图形。英国人h.e.dudeney(1857-1930)于1917年发明“风车证法”，分割长直角边上正方形使其形如风车, 如图。这一方法比较简便,不难看出,它产生于nielsen的证法, 但比perigal的证法更美观更精致,所以也成为数学史上比较著名的一种证法。显然，三条思路中的六种方法, 除去第一种da vinci的方法, 其余几种均使用了拼图法。第一条思路中epstein的方法与其余四种不同, 不能单纯使用平移变换来解释。而weber方法与第三条思路中的几种方法不同, 不能用图这样的平铺图来表示。类似的证明方法还有很多，我国三国时期数学家赵爽的弦图证明也可以扩展为这样的平铺图，赵爽的证法将在下文论述。2.4 美国总统garfield证明以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于。把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使a、e、b三点在一条直线上。 rtead rtcbe, ade = bec. aed + ade = 90, aed + bec = 90. dec = 18090= 90. dec是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又 dae = 90, ebc = 90, adbc. abcd是一个直角梯形，它的面积等于. 2.5 利用多列米定理证明在rtabc中，设直角边bc = a，ac = b，斜边ab = c（如图）. 过点a作adcb，过点b作bdca，则acbd为矩形，矩形acbd内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有abdc=adbc+acbd ab = dc = c，ad = bc = a，ac = bd = b， ，即，.3. 我国数学家的证明勾股定理揭示的是在直角三角形中三边之间的数量关系，是初等几何中的重要定理。早在公元前11世纪的西周初期，数学家商高曾与辅佐周成王的周公谈到直角三角形具有这样的一个性质：如果直角三角形的两个直角边分别为3和4，则这个直角三角形的斜边为5。利用商高的方法，很容易得到更一般的结论：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这就是勾股定理或商高定理。一般认为，我国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家，是公元3世纪三国时期的赵爽。赵爽为周髀算经做注，用“勾股圆方图”( 又称“赵爽弦图”)证明了勾股定理，给出一幅弦图。弦图是我国古代数学家们用来证明勾股定理及其相关命题时必备的平面几何模型。2002年在北京举行的国际数学家大会，会徽就选用了验证勾股定理的“赵爽弦图”作为中央图案，因为它标志着我国古代数学的伟大成就。 到目前为止，通过对勾股定理的研究，国内出现了许多种证明勾股定理的方法。3.1周髀算经注中赵爽的证明赵爽在为周髀算经作注时，给出弦图后，有一篇“勾股圆方图说”的短文，文中根据所画弦图对勾股定理给予了证明，并纵论了勾、股、弦三边的各种关系, 给出了一系列公式。此文第一段给了弦图的说明：“勾股各自乘, 并之为弦实, 开方除之即弦。案：弦图又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四,以勾股之差为中黄实, 加差实亦成弦实。”第一句是对勾股定理的一个命题论述。“案”以下的文字，是对勾股定理的一个完整证明，也是对弦图构造的解说。赵爽的“弦实”是弦平方的面积，“弦图”是以弦为方边的正方形。赵爽的“弦图”，相当于运用面积的出入相补证明了勾股定理。证明如下：以a、b 为直角边（ba）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. rtdah rtabe, hda = eab. had + had = 90， eab + had = 90， abcd是一个边长为c的正方形，它的面积等于. ef = fg =gh =he = ba ,hef = 90. efgh是一个边长为ba的正方形，它的面积等于. .3.2周髀算经中商高的证明约在公元前2 世纪，我国西汉时期成书的周髀算经被认定为现存最早的中国古代数学著作，书中涉及的数学、天文知识，可以远溯至公元前11世纪的西周年间。它的数学成就主要在于分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用等，其中尤以勾股定理的论述最为突出。弦图最早出现在周髀算经中，其原图已不复存在。周髀算经中记载西周开国时期周公与大夫商高的一段对话，商高答周公问题时提到：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘。得成三四五，两矩共长二十有五，是谓积矩。”英国人李约瑟( joseph needham ) 这样解释这段话：“设把一个矩形沿对角线切开，让宽等于3单位，长等于4 单位。这样，两个对角之间的对角线的长度就等于5单位。现在用这条对角线作为边长画一个正方形，再用几个同外面那个半矩形相似的半矩形把这个正方形围起来，形成一个方形盘。这样，外面那四个宽为3、长为4、对角线为5的半矩形，合在一起便构成两个矩形，总面积等于24；然后从方形盘的总面积49减去这24，便得到余数25。这种方法称为积矩。” 虽然商高只给出“3, 4, 5”这组特殊的勾股数，但书中“以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘, 并而开方除之，得邪至日”则已可以推广到一般情形。而且“既方其外，半之一矩，环而共盘”的证明方法和过程也不失一般性，所以也认为，商高已经证明了勾股定理。3.3九章算术注中刘徽的证明在周髀算经之后的九章算术也是我国古代重要的数学典籍, 它是一部从先秦至西汉中期经过众多学者编纂、修改而成的数学著作, 在算术、代数、几何领域均具有世界意义的成就。它代表的中国古代传统数学的机械化算法体系，对东方数学的发展产生了巨大的影响。魏晋时期的数学家刘徽在为九章算术作注时，给出他用出入相补原理对勾股定理的证明:“勾自乘为朱方, 股自乘为青方, 令出入相补, 各从其类, 因就其余不动也。合成弦方之幂开方除之即弦也。”如图，先将bep 移到hmn 的位置，将kfn 移到adp 的位置，再将agk 移到bmh 的位置，得到s正方形bcde +s正方形acfg = s正方形abhk3.4勾股举隅中梅文鼎的两种证明梅文鼎是清朝初年著名的民间数学家和天文学家, 当时被誉为“国朝算学第一人”。梅文鼎在勾股举隅中给出对勾股定理的两种证明, 一种与赵爽和刘徽的方法相似, 另一种有一定的独创性。第二种证明, 梅文鼎的原文如下: 甲乙丙丁勾股形, 乙丙弦, 其幂戊乙丙丁, 甲丙股, 其幂甲壬辛丙,甲乙勾, 其幂乙庚癸甲. 论曰: 从甲角作己甲丑垂线,与乙丙弦成十字, 分弦幂为大小两长方, 一为子丙大长方, 准股幂, 一为戊丑小长方, 准勾幂. 试移甲丑丙勾股形补己子丁虚形, 又移己壬甲勾股形补丁丙辛虚形, 则子丙大长方即移为甲辛股幂. 次移甲丑乙勾股形补己子戊虚形, 再移己戊卯勾股型补戊癸寅虚形, 末移戊卯甲癸形补癸寅乙庚虚形, 则戊丑小长方, 即移为庚甲勾幂矣!即： 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使d、e、f在一条直线上. 过c作ac的延长线交df于点p。 d、e、f在一条直线上, 且rtgef rtebd, egf = bed， egf + gef = 90， bed + gef = 90， beg =18090= 90。又 ab = be = eg = ga = c， abeg是一个边长为c的正方形。 abc + cbe = 90。 rtabc rtebd， abc = ebd。 ebd + cbe = 90。即 cbd= 90.又 bde = 90，bcp = 90，bc = bd = a. bdpc是一个边长为a的正方形.同理，hpfg是一个边长为b的正方形.设多边形ghcbe的面积为s，则, .我国传统数学以社会生活与生产实际为研究对象，以解决实际问题为目标，围绕建立算法与提高计算技术而展开，强调在观察、实验基础上进行分析、归纳得出结果，寓理于算，把数学建立在少数不证自明、形象直观的原理上。而赵爽、刘徽以及梅文鼎等人的证法就是建立在这样一种“出入相补”原理之上，即：一个平面图形从一处移置别处，面积不变； 如把图形分割成几块，那么各部分面积的和还是等于原来图形的面积。3.5邹元治证明以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于。把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使a、e、b三点在一条直线上，b、f、c三点在一条直线上，c、g、d三点在一条直线上。 rthae rtebf, ahe = bef. aeh + ahe = 90, aeh + bef = 90. hef = 18090= 90. 四边形efgh是一个边长为c的正方形. 它的面积等于. rtgdh rthae, hgd = eha. hgd + ghd = 90, eha + ghd = 90. 又 ghe = 90, dha = 90+ 90= 180. abcd是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于 . . 3.6新人教版八年级下18章中的证明做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即， 整理得.3.7小结 中国传统数学以社会生活与生产实际为研究对象，以解决实际问题为目标，围绕建立算法和提高计算技术而展开，强调在观察、实验基础上进行分析、归纳得出结论，寓理于算，把数学建立在少数不证自明、形象直观的原理上。赵爽、刘徽以及梅文鼎等人的证法就是建立在这样一种“出入相补”原理之上，即：一个平面图形从一处移植他处，面积不变；如把图形分割成几块，那么哥部分面积和相等与原来图形的面积。从中国勾股定理的诞生和发展来看，中国古代数学文化传统明显有重视应用、注重理论lianxshij、数形结合，善于把问题分门别类建立一套套算法体系的特征。中国古代人充分运用了直角三角形易于移补的特点，给出了简洁、直观的证明，其应用的集合思想是图形经移、补、凑、合而面积不变，这种思想不仅反映了我国传统文化中追求直观、实用的倾向，而且反映出我国集合研究不仅在应用方面有过辉煌成就，而且在理论方面也曾有一席之地。4. 结束语勾股定理是研究直角三角形及其相关命题的重要工具。有着几何学上明珠之称的勾股定理，从问世以来就是人们争相证明研究的焦点，至今为止，它的证明方法已经有四百多种。相信随着时间的推移，科技的进步，相信还会有更多更精巧的证明方法出现。参考文献1 车勇.运用图形转换证明勾股定理j.中学生数理化.2010（1）：35-36.2 钱宝琮.中国数学史m.北京:科学出版社.1964.3 朱哲.中国古代数学家对勾股定理的证明j.中学教研.2006（7）：48-50.4 窦云飞.谈勾股定理证明的两种思路j.德宏教育学院学报.2002（2）：59-61.5 朱哲.数学史中勾股定理的证明j.数学教学.2006（3）：43-46.6 朱哲.梅文鼎对勾股定理的证明及其与欧几里得方法的比较j.中学数学杂志.2005（6）：59-61.7 印惠媛.勾股定理证明中的“中西合璧”j. 内江