2011年高中数学联赛模拟试题.doc

2011高中数学联赛模拟试题第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.定义在上的函数满足且则使得 的整数的个数是 .2.已知向量满足：和都是正整数，且则 与的夹角为 .3.已知双曲线的左、右焦点分别为、为坐标原点，设为双曲线上任一点，则的最大值为 .4.在长方体中，为棱上一点，且 在底面正方形内随机取一点，并设点到直线距离为， ，则所取点满足的概率为 .5.设是非直角三角形，且有其中，表示不超过实数的最大整数，则满足条件的的最小内角的弧度数为 .6.在平面直角坐标系中，已知点集设点集则点集所形成图形的面积为 .7.设有红、黑、白三种不同颜色的球各10个，现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且两个袋子里三种颜色球的个数之积相等，则这样的放法共有 种8.一个四面体的六条棱长均为整数，且它们的和为2011，则这样的四面体的最大棱长与最小棱长之差的最大可能值为 .二、解答题（共56分）9.（本题满分16分）在方格表的每个方格中都写有一个正数，使得每一列中的两个数的和都等于1，证明：可以从每一列中删去一个数，使得每一行中剩下的数的和不超过10.（本题满分20分）设动圆过点且与圆相切.(i)求动圆圆心的轨迹的方程(ii)设点在曲线上,求证:直线有唯一的公共点(iii)设(ii)中的直线与圆交于、两点,求证:满足的点必在圆上.11.(本题满分20分)已知函数的图象如图1所示,直线且直线与函数的图象切于点、交于点.设点的横坐标依次为,求证:.第二试一、(本大题满分40分)如图2,在中, 、分别是边延长线上的点,是线段上一点,直线与的外接圆交于点求证:充要条件是为线段的中点.二、(本小题满分40分)设均为集合的三元子集,求正整数的最大值,使得（i）（ii）三、(本大题满分50分)已知数列满足求证：（i）（ii）四、（本小题满分50分）求整数使得方程的正整数解的组数最多，并求相应的正整数解.参考答案第一试一、填空题1.2.令得再令，得当时，同理，所以令解得或2因为且所以 解得又所以故3.根据对称性，不妨设则又 当时， 的最大值为4.如图3，过点作垂足为过点作交于点，则，故从而由得故点的轨迹是正方形内以为焦点，为准线的抛物线与所围成的区域，在平面上，以的中点为原点，直线为轴建立直角坐标系，由题设知抛物线方程为则该区域的面积又正方形的面积故所求概率5.因为所以从而均为整数，且其中至少有两个是正整数，不妨设是正整数，则由知也是正整数 不妨设若则这与矛盾，故即的最小内角为6.7.如图4，点集为正方形区域，点集为区域线段的中点为的中点为的中点为的中点为的中点为所以，点集形成的图形为五边形区域，其面积为7.25.设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为则且即所以于是中必有一个为5.不妨设代入得此时有9组解同理，当或时，也各有9组解但满足的解重复2个故满足要求的放法共有（种）8.668.该六条棱长分别为其中最大棱长为，最小棱长为当与不共面时，如图5，得则故所以即故于是此时易知不存在满足题意的故的最大值为667.事实上，当时，符合题意当与共面时，如图6，由得又故于是而所以则故的最大值为668.事实上，当时，符合题意综上所述，的最大可能值为668.二、解答题9.设第一行中所放的数依次为必要时可通过交换列的位置，便得此时，第二行中所放的数依次为如果，那么可以找到使得成立的最小正整数，此时在第一行中删去，在第二行中删去由的取法知下面只须证明即可由得所以综上所述，命题得证10.（i）因为点在圆：内，所以动圆与圆相内切，故由椭圆的定义知，动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，其方程为（ii）由点在曲线上，得又由得即直线与曲线有唯一的公共点（iii）由得设则从而 故即点在圆上11.设三次函数在点的展开式为则，即切线的方程为由得或，则同理又同理 故第二试一、设外接圆半径为在圆内接四边形中，由托勒密定理，得又又若，则由得若，代入得即由题设知不恒为0即为线段的中点综上所述，的充要条件是为线段的中点二、首先，由（i）得其次，由于是集合中互不相同的个元素，因此，这个元素和的最大值为所以解得即最后，说明可以取到220，事实上，当时，于是，我们可以将集合中较大的660个元素中的最小一个341减去110，得231，即用1000，999，998，343，342以及231共66