江苏省南通市2016届高三下学期第一次调研测试数学试卷及答案.doc

南通市2016届高三下学期第一次模拟考试数学试题一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1、已知集合a，则【答案】【命题立意】本题旨在考查集合的概念和交集的运算考查概念的理解和运算能力，难度较小【解析】，根据交集定义可得2、若复数为虚数单位，），满足，则的值为【答案】【命题立意】本题旨在考查复数及模的概念与复数的运算，考查运算求解的能力.，难度较小【解析】由题意得 ，即，解得3、从1，2，3，4这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是【答案】【命题立意】本题旨在考查古典概型的求法，枚举法在求古典概型中的应用考查运算和推理能力，难度较小【解析】随机地抽取2个数总可能数为6种，两个数之积为偶数的为：1，2；1，4；2，3；2，4；3，4，共有5种，那么所取的2个数之为偶数的概率为4、根据下图所示的伪代码，可知输出的结果s为【答案】21【命题立意】本题旨在考查算法伪代码，考查学生的阅读能力考查推理运算能力，难度较小。【解析】模拟执行程序，开始有i=1，s=0，此时满足条件s10；接下来有i=2，s=1，此时满足条件s10；接下来有i=3，s=1+4=5，此时满足条件s10；接下来有i=4，s=5+16=21，此时不满足条件s10，退出循环，输出s=21【易错警示】此题容易出错的地方就是循环的结束的确定5.为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间上，其频率分布直方图如下图所示，则被调查的10000户家庭中，有 户月消费额在1000元以下【答案】2000【命题立意】本题旨在考查统计的概念，直方图考查概念的理解和运算能力，难度较小.【解析】由题意得，被调查的10000户家庭中，消费额在1000元以下的户数有：（0.0001+0.0003）50010000=2000户6.设等比数列的前项的和为，若，则的值为 【答案】63【命题立意】本题旨在考查等比数列的基本运算，等比数列的求和，考查学生的运算能力，难度中等.【解析】由等比数列前n项和的性质 成等比数列，则成等比数列，解得法一：设等比数列an的首项为a1，公比为q显然q1，由题意得解之得：所以，s663法二：由等比数列的性质得 q24，(下同一)法三：由s2，s4s2，s6s4成等比数列所以 (s4s2)2s2(s6s4)，得s6637.在平面直角坐标系中，已知双曲线过点,其一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为 【答案】【命题立意】本题旨在考查双曲线的标准方程，双曲线几何性质，渐近线等概念考查概念和运算和推理能力，难度中等.【解析】法一： 由题意可得 ，解得故双曲线的方程为法二：设所求的双曲线方程为：2x2y2，因为点p(1，1)，所以211所以，所求的双曲线方程为：2x2y218.已知正方体的棱长为1，点是棱的中点，则三棱锥的体积为 【答案】【命题立意】本题旨在考查多面体的概念，三棱锥的体积求法考查计算能力，难度较小【解析】根据等体积法可得法一：vbadevdabeadsabe11法二：因为adb1e，所以vbadeadb1edsin111 (其中d为异面直线ad与b1e的距离，为异面直线ad与b1e所成的角) 法三：设f、g、h分别为棱cc1、dd1、aa1的中点，则vbadevbadefvbcghadefvabcdabcd9.若函数为奇函数，则的值为 【答案】【命题立意】考查函数，分段函数的概念，函数的奇偶性，函数的求值等基础知识考查数形结合的思想方法，考查分析问题、解决问题的能力，难度中等.【解析】法一：因为函数f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)，f(2)f(2)，即，解得a1，b2经验证a1，b2满足题设条件f(a+b)f(1)1法二：因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称当x0，二次函数的图象顶点为(， )当x0，二次函数的图象顶点为(1，a)所以，1，a，解得a1，b2(下略)10.已知，则的值是 【答案】【命题立意】本题旨在考查三角函数的基本性质，诱导公式，两角和与差三角函数，三角函数的恒等变换，考查运算能力，难度中等.【解析】 法一：sin(x)sin(x)sin(x)sin2(x)cos2(x)1sin2(x)1，所以sin(x)+sin2(x)法二：sin(x)+sin2(x)sin(x)+cos(2x)+cos(2x+)+12sin2(x)11.在平面直角坐标系中，点.若直线上存在点，使得,则实数的取值范围是 【答案】【命题立意】本题旨在考查直线与圆的位置关系，点到直线距离考查学生的运算能力，灵活运用有关知识解决问题的能力难度中等.【解析】法一：设满足条件pa2pb的p点坐标为(x，y)，则(x4)2+y24(x1)2+4y2，化简得x2+y24要使直线xy+m0有交点，则2即2m2法二：设直线xy+m0有一点(x，x +m)满足pa2pb，则(x4)2+(x+m)24(x1)2+4(x+m)2整理得2x2+2mx+m240 (*)方程(*)有解，则4m28(m24)0，解之得：2m212.已知边长为6的正三角形,与交点,则的值为 【答案】3【命题立意】本题旨在考查向量的线性运算，向量的数量积，向量的坐标运算考查运算能力，推理论证能力及灵活运用数学知识能力难度中等.【解析】法一：设，则8设+，+， 又b、p、e三点共线，所以 解之得：，+，()(+)(3222）3法二：以bc为x轴，ad为y轴，建立坐标系，b(2，0)，c(2，0)，a(0，2)，e(，)，p(0，)所以，(2，)(0，)313.在平面直角坐标系中，直线与曲线和均相切，切点分别为和,则的值是 【答案】【命题立意】本题旨在考查导数的概念，函数的切线方程考查运算能力，推理论证能力及灵活运用数学知识能力，难度中等.【解析】由题设函数yx2在a(x1，y1)处的切线方程为：y2x1 xx12，函数yx3在b(x2，y2)处的切线方程为y3 x22 x2x23所以，解之得：x1，x2所以 14.已知函数.若对于任意，都有成立，则的最大值是 【答案】【命题立意】本题旨在考查二次函数、函数性质、基本不等式、绝对值的概念. 考查恒等变换，代换技巧，抽象概括能力和综合运用数学知识解决问题能力，难度中等.【解析】法一：由|f(x)|1，得|2a+3b|1，所以，6ab|2a3b|2a+3b3b|3b|且当2a3b时，取得等号所以ab的最大值为法二：由题设得，ab(f(1)f(0)f(0)()2二、 解答题：本大题共6小题，共计90分请作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）在中，角所对的边分别为，。（1）求角的大小；（2）若，求abc的面积。【答案】（1）；（2）【命题立意】本题旨在考查三角函数的基本关系、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、向量的数量积等基本知识，考查运算求解能力难度较小【解析】（1）在abc中，由(a+bc)(a+b+c)ab，得，即cosc3分 因为0c，所以c6分 （2）（法一）因为c2acosb，由正弦定理，得 sinc2sinacosb， 8分 因为a+b+c，所以sincsin(a+b)， 所以sin(a+b)2sinacosb，即sinacos bcosasinb0，即sin(ab)0， 10分 又ab， 所以ab0，即ab，所以ab212分 所以abc的面积为sabcabsinc22sin 14分（法二）由及余弦定理，得，8分化简得，12分 所以，abc的面积为sabcabsinc22sin14分16. （本小题满分14分）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，点是的中点.求证：（1）;（2）平面.【答案】（1）略；（2）略【命题立意】本题旨在考查直线与直线、直线与平面及平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力难度较小【解析】（1）在直四棱柱abcda1b1c1d1中， 连结bd交ac于点f，连结b1d1交a1c1于点e 因为四边形abcd是菱形，所以bdac 因为abcda1b1c1d1为直棱柱， 所以bb1平面abcd，又ac平面abcd， 所以，bb1ac3分 又bdbb1b，bd平面b1bdd1，bb1平面b1bdd1， 所以ac平面b1bdd1 5分 而be平面b1bdd1，所以beac 7分 （通过证明等腰三角形a1bc1，得bea1c1，再由aca1c1得beac，可得7分） （2）连结d1f，因为四棱柱abcda1b1c1d1为直棱柱， 所以四边形b1bdd1为矩形 又e，f分别是b1d1，bd的中点， 所以bfd1e，且bfd1e9分 所以四边形bed1f是平行四边形 所以bed1f11分 又d1f平面acd1，be平面acd1， 所以 be平面acd1 14分17. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，离心率为. （1）求椭圆的方程; （2）若直线与椭圆相交于两点(异于点),线段被轴平分，且,求直线的方程。【答案】（1）；（2）【命题立意】本题旨在考查直线、圆、解三角形等基础知识，考查学生的抽象概括能力、运算求解能力，建系能力，考查学生的数学应用意识难度中等【解析】（1）由条件知椭圆离心率为 ， 所以 又点a(2，1)在椭圆上， 所以，2分 解得 所以，所求椭圆的方程为 4分 （2）将代入椭圆方程，得， 整理，得 由线段bc被y轴平分，得， 因为，所以 8分 因为当时，关于原点对称，设， 由方程，得， 又因为，a(2，1)， 所以， 所以12分 由于时，直线过点a(2，1)，故不符合题设 所以，此时直线l的方程为 14分18. （本小题满分16分）如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以为圆心，半径为的半圆面。公路经过点,且与直径垂直。现计划修建一条与半圆相切的公路(点在直径的延长线，点在公路上),为切点.（1）按下列要求建立函数关系：设，将的面积表示为的函数；设，将的面积表示为的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求的面积的最小值。【答案】（1）；（2）【命题立意】本题旨在考查椭圆的标准方程和几何性质，直线与椭圆的交点，直线斜率等基础知识考查运算能力难度中等（1）由题设知，在rto1pt中， opt=，o1t=1， 所以o1p 又oo1=1，所以op 在rtopq中， 3分 所以，rtopq的面积为 5分（取值范围不写或不正确扣1分） 由题设知，oq= qt = t，o1t=1，且rtpoqrtpt o1， 所以，即， 化简，得8分 所以，rtopq的面积为 10分（取值范围不写或不正确扣1分） （2）选用（1）中的函数关系 13分 由，得 列表0+极小值 所以，当时，opq的面积s的最小值为（km2）16分 （2）选用（1）中的函数关系 13分 由，得 列表t0+极小值 所以，当时，opq的面积s的最小值为（km2） 16分19. （本小题满分16分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）试求函数的零点个数，并证明你的结论。【答案】（1）函数的单调增区间为，单调减区间为；（2）当时，的零点个数为0；当时，或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力难度较大（1）由函数f(x)a+lnx(ar)，得f (x) 2分 令f (x)0，得 xe-2列表如下：x(0，e-2)e-2(e-2，+)f (x)0f(x)极小值 因此，函数f(x)的单调增区间为(e-2，+)，单调减区间为(0，e-2)5分 （2）由（1）可知，fmin(x)f(e-2)a2e-1 6分 （i）当a2e-1时，由f(x)f(e-2)a2e-10，得函数f(x)的零点个数为0 8分 （ii）当a2e-1时，因f(x)在(e-2，+)上是单调增，在(0，e-2)上单调减， 故x(0，e-2)(e-2，+)时，f(x)f(e-2)0 此时，函数f(x)的零点个数为1 10分 （iii）当a2e-1时，fmin(x)f(e-2)a2e-10 a0时， 因为当x(0，e-2时，f(x)alnxa0， 所以，函数f(x)在区间(0，e-2上无零点； 另一方面，因为f(x)在e-2，+)单调递增，且f(e-2)a2e-10， 又e-2a(e-2，+)，且f(e-2a)a(12e-a)0， 此时，函数f(x)在(e-2，+)上有且只有一个零点 所以，当a0时，函数f(x)零点个数为113分 0a2e-1时， 因为f(x)在e-2，+)上单调递增，且f(1)a0，f(e-2)a2e-10， 所以，函数f(x)在区间(e-2，+)有且只有1个零点； 另一方面，因为f(x)在(0，e-2上是单调递减，且f(e-2)a2e-10 又(0，e-2)，且f()aa0，（当时，成立） 此时，函数f(x)在(0，e-2)上有且只有1个零点 所以，当0a2e-1时，函数f(x)零点个数为2 综上所述，当a2e-1时，f(x)的零点个数为0；当a2e-1，或a0时，f(x)的零点个数为1； 当0a2e-1时，f(x)的零点个数为2 16分20. （本小题满分16分）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为 “等比源数列”。（1）已知数列中，。求数列的通项公式；试判断数列是否为“等比源数列”，并证明你的结论。（2）已知数列为等差数列，且.求证：为“等比源数列”【答案】（1）；略；（2）略【命题立意】本题旨在考查数列的概念、等差数列、等比数列的的通项公式与求和公式、不等式的求解等基本性质考查学生创新意识难度较大【解析】（1）由an+12an1，得an+112(an1)，且a111， 所以数列an1是首项为1，公比为2的等比数列2分 所以an1=2n-1 所以，数列an的通项公式为a n2n-1+14分 数列an不是“等比源数列”用反证法证明如下： 假设数列an是“等比源数列”，则存在三项am，an，ak (mnk)按一定次序排列构成等比数列 因为an2n-1+1，所以amanak 7分 所以an2amak，得 (2n-1+1)2(2m-1+1)(2k-1+1)，即22n-m-1+2n-m+12k-12k-m1 又mnk，m，n，kn*， 所以2nm11，nm+11，k11，km1 所以22n-m-1+2n-m+12k-12k-m为偶数，与22n-m-1+2n-m+12k-12k-m1矛盾 所以，数列an中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列 综上可得，数列an不是“等比源数列” 10分 （2）不妨设等差数列an的公差d0 当d0时，等差数列an为非零常数数列，数列an为“等比源数列” 当d0时，因为anz，则d1，且dz，所以数列an中必有一项am0 为了使得an为“等比源数列”， 只需要an中存在第n项，第k项(mnk)，使得an2amak成立， 即am+(nm)d2amam+(km)d，即(nm)2am+(nm)dam(km)成立13分 当nam+m，k2am+amd+m时，上式成立所以an中存在am，an，ak成等比数列 所以，数列an为“等比源数列”16分江苏省南通市2016届高三下学期第一次模拟考试数学试题（附加题）21. 【选做题】在a、b、c、d四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤a. 选修41：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，圆的直径,为圆上一点,.过作圆的切线，于点，且交圆于点,求的长.【答案】【命题立意】本题旨在考查圆的基本性质、圆周角定理等基础知识，考查推理论证能力难度较小【解析】因为圆的直径为，为圆上一点， 所以 因为直线为圆的切线， 所以 所以rtrt， 所以5分 又因为， 所以， 由，得 10分b. 选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵,求逆矩阵的特征值【答案】【命题立意】本题旨在考查矩阵乘法，矩阵相等，矩阵的逆等基础知识，考查学生的运算能力难度较小设，则， 所以， 所以解得所以 5分 的特征多项式，所以或 所以，矩阵的逆矩阵的特征值为或10分c. 选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知点,圆的方程为（圆心为点）,求直线的极坐标方程。【答案】【命题立意】本题旨在考查抛物线的参数方程、参数方程化普通方程、直线与曲线的交点、直线被曲线所截的弦长考查数形结合思想和运算求解能力难度较小【解法一】以极点为原点，极轴所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy 圆的平面直角坐标方程为，即，圆心 的直角坐标为4分 直线的斜率 所以，直线的直角坐标方程为，8分 极坐标