画法几何直线,直线的相对位置直角投影定理直角三角性法.ppt

同学们好！ 大家好! 第三章 直线 第二节 各种位置直线 第一节 直线的投影 第三节 一般位置线段的实长及其 对投影的倾角 第四节 两直线的相对位置 第五节 直角投影定理 H 直线的投影仍为直线， 两点确定一条直线，直 线上两点的投影用直线 连接，就得到直线的投 影。 b 第一节 直线的投影 直线垂直于投影面其投影积聚为一点(积聚性) 作CB/ab,则ABC为直线AB对投影面H的倾角. 直线倾斜于投影面其投影比实长短: ab=ABcos(类类似性） 直线平行于投影面其投影反映线段实长: fg=FG（真实性） 投影特性 FA B a e(d) D E C (c) g f G C 投影面平行线平行于某一投影面而与其余 两投影面倾斜 投影面垂直线 正平线（只平行于面） 侧平线（只平行于面） 水平线（只平行于面） 正垂线（垂直于面） 侧垂线（垂直于面） 铅垂线（垂直于面） 一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线 垂直于某一投影面(平行于另 两投影面) 返回 第二节 各种位置直线 特 殊 位 置 直 线 一、直线的分类： V H X0 Z Y W 二、相对投影面各种位置直线的投影二、相对投影面各种位置直线的投影 一般位置直线的三个投影仍为直线；三个投影都倾斜 于投影轴；投影长度小于线段的实长；投影与投影轴的夹 角，不反映直线对投影面的倾角。 b a b a b a b a b a b a A B 一般位置直线AB X Z YH YWO b a b a b a X Z YWO 直线上点的投影，必在直线的同面投影上； （cab, ca b ,ca b) 线段上的点分割线段之比，投影后保持不变。 AC/CB=ac/cb= a c / c b = a b/ c b) 1.一般位置直线上点的投影 V H X0 Z Y W XYW YH b a b a b a A B C是直线AB上的点 A B c c c 0 Z b a b a b a c c c C 例1 如图中黑色的图形所示，作出分 线段AB为3:2的点c的两面投影。 0 作法： 1.过点a任作一条直线ae； 2.在ae上截取五等分； 3.连接be； 4.在离点a三等分点处作 直线平行于be，交ab上一 点c； 5.过点c作直线垂直于ox, 交 ab于点c。 点C(c, c)即为所求。 a b a b c c e x V H X0 Z Y W 2.投影面平行线 X 0 Z YW YH b a b a b a 1) 正平线（投影面V的平行线AB） A B 投影特性： 1. a“b“ / OZ ， a b/ OX； 2. a b = A B； 3.正面投影反映、角的真实大小。 b a b a b aA B A B A B V H X0 Z Y W 投影特性： 1.a b / OX，a“b“/ OYw； 2.a b = A B； 即：水平投影反映线段实长及、角的真实大小。 a a b a b b X abab b a 0 z YH YW 2) 水平线（投影面H的平行线AB） A B 3)侧平线（投影面W的平行线AB） X Z a b b b a O YH YW a V H X0 Z Y W a a b a b b A B （小结）投影面平行线的投影特性： 1.在直线所平行的投影面上的投影，反映线段实长；它与投影轴的 夹角，分别反映直线与另两投影面夹角的真实大小。 2.在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，长度缩短。 3.投影面垂直线 V H X0 Z Y W 1)正垂线(投影面V的垂直线AB) (b) a A B b a b a b a ba (b) a 投影特性：1. a ( b )积聚成一点 2. a b Ox ； a b Oz 3. a b = a b = AB z x yH yH o (投影面H的垂直线AB) 投影特性：1、 a b 积聚成一点 2、 a b ox,a b oyw 3、 a b = a b = AB z b x a b a(b) o YH YW a V H X0 Z Y W a b b a a(b) A B 2) 铅垂线 (投影面 W 的垂直线AB) 投影面垂直线的投影特性： 1.在与直线垂直的投影面上的投影积聚成一点。 2.在另外两个投影面上的投影垂直于相应的投影轴且反映线段实长。 V H X0 Z Y W b a ab a(b ) A B Z x a(b) b a o YH YW a b 3) 侧垂线 z z1 z1 z o x a b a b k k 1 2 例2 侧平线上的点 已知AB的两面投影及其 上面的点K的正面投影， 求点K的水平投影。 利用点在线上分割线段 成定比，投影后不变的 性质作图。 第三节 一般位置线段的实长及其对投影面的倾角 方法是：以线段在某一投影面上的 投影长为一直角边，两端点与这个投 影面的距离差为另一直角边形成的直 角三角形。其斜边是线段的实长，斜 边与投影长的夹角就是该直线与这个 投影面的倾角。 V H X0 Z Y W b a b a b a A B X 0 Z YW YH b a b a b a 在正面投影上求线段实长与倾角 在水平投影上求线段实长与倾角 在侧面投影上求线段实长与倾角 实长 实长 实 长 直角三角形法 Bo 直角三角形求线段实长及其 与投影面的倾角中的三个三角形 设所求线段为AB 在三个直角三角形中，斜边为线段实长；一个直角边为某投影长，该投影与斜 边的夹角为该直线与投影面的夹角；夹角所对的边为线段两端点相应的坐标差。 AB线段实长 ZAB ab的长 AB线段实长 XAB a b 的长 AB线段实长 YAB a b 的长 例1 已知线段的实长AB，求它的水平投影。 a AB 根据已知条件，要 求得ab，其方法一是 求得A、B两点的Y坐标 差(YAB ) ；方法二是求 得ab的长。 此题有两解(多解 时一般只画一解） b x a o b AB b x a o b AB b x a o b a b A B 方法二 已知线段的实长AB，求它的水平投影。 a AB 此题有两解 b x a o b 解法二 方法三：求出ab的长 AB b x a o b AB x a b AB B a ZAB 1 2 以AB两点的Z坐标差为 一直角边的直角三角形 中，另一直角边为AB水 平投影ab的长。 即：12=ab ZAB 例2 已知直线AB的=30 求作AB的正面投影。 o x a b a b ZAB 30 1.分析 要求得ab，其实 就是求b；要求得b 也就是想办法找到A、 B两点的Z坐标差或者 求出ab的长。 B0 2.作图 1）作abB0,使= 30 A的对边为ZAB 2）过a作直线平行于 Ox轴，与过b而垂直于 ox轴的直线交于一点b0 3）以b0为圆心以ZAB为 半径画圆弧，交bb0的延 长线于点b 4）用直线连接ab 即为所求。 b0 o x a a b k b c d 68 20 d c 68 20 k 例3 已知CDAB=K，CDH， 求CD的正面投影。 求k同前。 由于CDH所以 cdox轴。 同学们好！ 第四节 两直线的相对位置 分析： 1.已知ABCD,根据正投影图的作图法可知： (AaP BbP CcP DcP) P面，则平面AB bPaP CDdPcP； 2.两个平行平面（AB bPaP与CDdPcP）与第三平面（P可被看作是H、V、W面）相交，交线平行； 3.综上所述，我们可以得出：若空间两直线平行那么他们的同面投影也对应平行（如： ab cd、ab cd、ab cd） 一.两平行直线 X Z YW O YH X Z YW O BD a b a b a b c d d c d c P A aP bP C cP dP A X YH X Z YW O a b a b a b c d d c d c 例1 判断两直线是否平行 a a b d c b c d o x 方法一： 看直线的方位： 由投影图可以看出 ab、cd同向（均由后向前）； a b 与c d 反向（a b 由上向 下，c d 由下向上） 由此看出AB与CD不平行。 方法二： 看比例： a b /c d 1,ab/cd1, 由此可知，AB不平行于CD。 例2 如图所示，判断两侧平线的相对位置 。 b X 0 a c d d c b a 作辅助直线AD与BC的两面投影, 判断：AD与BC是两相交直线, 则AB与CD共面. 只要证明AB与CD共面则有ABCD。 X 0 a b c c b a b c d c c c a b c b c a a b c b c d YW X 0 a b c c b a b c d c c c a b c b c a a b c b c d YW X 0 a b c c a b c d c c c a b c c a a b c c d YW X 0 a b c c a c d c a b c a a b d c d YW YH a Z 方法三： 求第三投影(三个投影都 互相平行，则ABCD) 方法四： 看已知的二 直线是否共面 a b c d c a b d 例3 判断图中两条直线是否平行。 由此可知：对于一般 位置直线，只要有两个同 名投影互相平行，空间两 直线就平行。 即AB/CD 返回 1 1 ab: cd = a b: c d ab cd, a b c d ab1 1cd; a b 1 1 c d; a1: 1d = a 1: 1 d aa 11 d d AB与CD共面 ab cd, a b c d ox 二、两相交直线 因此，三对同面投影都相交，且 交点符合点的三面投影特规律 Z YH a b X 0 YW b b a a e e e d c d c d c P A B C D E ap bp cp dp e 两直线相交有且仅有一个交点（E） 交点是相交两直线的公有点 （P面可以看作H、V、W面） 例1 已知AB与CD相交，又知AB的两面投影及CD的正 面投影c d ，且CD平行于V面。求CD的水平投影 a b c d a b ox k 分析： ABCD=K KAB，KCD k ab，k cd a k /k b =ak/kb 又因为AB平行于W面，所以 cd/ox轴。用定比分点法求k。 解： 1.过a任作一条直线ae； 2.在ae上截取a1=a b； a2= a k 的长度 3.连接1b 4.作2k1b,与ab交于点k 5.过k作直线平行于ox轴 6.过c 、 d 作直线垂直于 ox,交上述直线于点c、d e 1 2 a k 的长 c d 三、交错直线 交错两直线的投影既不符合平行两直线的投影特性， 也不符合相交两直线的投影特性。 X X X X YH X X X X b a a e e c c f b a a e e c c f b a a e e c c f b a a e c c f b a a e c c f b a a e c c f b a a e c c f b a a e c c f b a a e c c f b a a c c AB与CD交错，为什么他们在P面上的投影相交 呢？因为直线AB上的点F和直线CD上的点E位于 指向P面的同一条投射线上，所以点F、E在P 面上 的投影重合，点F的投影可见 而点E的投影不可见。 Z YH 0 YW b a b e d d c d f 0 YW a b e d d c d f b a b e d d c d f 0 YW a b e d d c d f 0 YW a b e d d c d f 0 YW b a b e d d c d f 0 YW a b e d d c d f b a b e d d c d f 0 YW a b e d d c d f 0 YW e d d c d f d d dp bp (f ) A B D ap F E fp（ep） P S cp fa Z YH 0 YW b b a b e d d c d f 0 YW b a b e d d c d f b b a b e d d c d f 0 YW b a b e d d c d f 0 YW b a b e d d c d f 0 YW b b a b e d d c d f 0 YW b a b e d d c d f b b a b e d d c d f 0 YW b a b e d d c d f 0 YW b e d d c d f d d a a e e f a a e e f a a e e f a a e f a a e f a a e f a a e f a a e f a a e f a a c AB与CD交错，为什么他们在P面上的投影相交 呢？因为直线AB上的点F和直线CD上的点E位于 指向P面的同一条投射线上，所以点F、E在P 面上 的投影重合，点F的投影可见， 本题中点E、F是对V面的一对重影点； 点E在前，所以点F的正面投影f 不可见。 (f ) C 例1 判断两直线的相对位置 x a a c d d c b b o d a c b y z y 解法1: 作出侧面 投影,由 三面投影 可知,两 直线交错 x a a c d d c b b o 例2 判断两直线的相对位置(解法2) 1 1 用点分割直线段之比 ，投影后保持不变的性 质判断。 由水平投影可判断， 点不属于直线AB， 故两直线交错。 第五节 直角投影定理 直角投影定理： 互相垂直的两直线，当一 边为某投影面的平行线时， 他们在该投影面上的投影是 直角。 逆定理也是成立的。 AB BC，直角边 AB平行于投影面P(P面 可以被看作是H、V、W面） AB P，Bbp P ABBbp 又 ABBC， ABQ，即AB bpcp ab AB, ab Q, 即a pb pb p