连续性随机变量及其概率密度.ppt

4 连续型随机变量及其概率密度 一 连续型随机变量的概念与性质 在线段上随机投点的位置、温度、气压、电压、 电流等物理量等等，理论上可以取到某个区间 的任何实数值。 对这种类型的随机变量，不能象离散型随机变 量那样，以指定它取每个值概率的方式给出其 概率分布，而是通过给出所谓“概率密度函数” 的方式，从而得到连续型随机变量的概念。 定义 如果对于随机变量 X的分布函数 F ( x )， 存在非负函数 f ( x ) , 使对于任意实数 x 有 则则称 X 为为连续连续 型随机变变量，其中函数 f ( x ) 称为为 X 的概率密度函数，简简称 概率密度或密度。 连续型随机变量的概念 x f ( x) x F ( x ) 分布函数 F ( x )与密度函数 f ( x )的几何意义 -10-55 0.02 0.04 0.06 0.08 由定义知道，概率密度f (x) 具有以下性质 f (x) 0 x 1 概率密度的性质 这两条性质是判定一个 函数 f (x)是否为某 X的 概率密度函数的充要条件 这是因为 注 由上述性质可知，对于连续型随机变量， 我们关心它在某一点取值的问题没有太大的 意义，我们所关心的是它在某一区间上取值 的问题。 对数集 A (严格意义下要求可测性), （1） 设 X 是连续型随机变量, 有概率密度 f ( x ) ，则 （2）在 f ( x ) 的连续点处，有 6 密度函数与分布函数的关系 注 1、对于连续型的随机变量, 密度函数 唯一决定分布函数。 2、连续型随机变量的分布函数一定是 连续的；分布函数如果不连续就不 是连续型随机变量 ( 除了连续型 分布和离散型分布以外还存在其它 类型的分布 )。 例1 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为 解 由密度函数的性质 求： 常数 c； 例2 某电子元件的寿命X（单位：小时）是以 为密度函数的连续型随机变量。求 5个同类型 的元件在使用的前 150小时内恰有 2个需要更 换的概率。 解 设 A = 某元件在使用的前150 小时内需要更换 检验5个元件的使用寿命可以看作是在做一个 5重伯努利试验 B = 5个元件中恰有2个的使用寿命不超过 150小时 例3 设随机变量 X 具有概率密度 (1) 确定常数 k ； (2) 求 X 的分布函数 ； (3) 求 解 (1)由 得 故，X 的概率函数为 (2)由 得 (3) 当然，还可以用概率密度求概率。 例4 设连续型随机变量 X的分布函数为 (1) 确定 A、B 的值； (2) 求 X 的概率密度； (3) 求 故有 解 (1) 因为 X 是连续型随机变量， 所以F ( x )连续 即 因此 (3) (2) 由 得 当然，还可以用概率密度求概率。 注 在 F ( x ) 导数不存在的点处，根据改变被积 函数在个别点处的值不影响积分结果的性质， 可以在 没意义的点处，任意规定 的值。 二 几种常用的连续型随机变量 1、 均匀分布 则称 X 在区间（a , b）上服从均匀分布， 若连续型随机变量 X 的概率密度为 记作 均匀分布密度函数的图形 其分布函数为 均匀分布的特性 如果随机变量 X在区间（a , b）上服从均匀分布， 则X 落在区间（a , b）中的任意一个子区间上的 概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的 位置无关。 即随机变量 X 落在区间（a , b）中任意等长度的 子区间内的可能性是相同的。 X a b x l l 0 即 X 例5 设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班 车，如果某乘客到达此站的时间是7:00 到7:30 之间的均匀随机变量，试求该乘客候车时间不 超过5分钟的概率。 解 设该乘客于7时X 分到达此站 则 X 服从区间 0 , 30 上的均匀分布 令 B =候车时间不超过5分钟 则 2、 指数分布 其中 0 为为常数，则则称X 服从参数为为 的指数分布 。 若连续型随机变量 X 的概率密度为 指数分布密度函数的图形 则其分布函数为 指数分布的应用 指数分布具有“无记忆性”。所以，又把指数分布 称为“永远年轻”的分布。 对任意 s , t 0 , 有 “无记忆性”： 若X 服从参数为 的指数分布 ，则 指数分布常作为各种“寿命”分布的近似。 例 设某日光灯的使用寿命服从参数 =2000的指数分布（单 位：h） （1）任取一根这种灯管，求能正常使用1000h以上的概率。 （2）某灯管已近正常使用了1000小时，求还能使用1000小 时以上的概率。 其中， （ 0）为常数，则称X 服从 参数为， 的正态分布或高斯分布。 记记作 若连续型随机变量 X 的概率密度为 3、 正态分布 正态分布密度函数的图形 其分布函数为 正态分布的应用 若随机变量 X受到众多相互独立的随机因素 的影响，而每一个别因素的影响都是微小的， 且这些影响可以叠加，则 X 服从正态分布。 正态分布是应用最广泛、最重要的一种分布。 例如 各种测量的误差； 人的生理特征； 工厂产品的尺寸； 农作物的收获量； 海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度； 热噪声电流强度； 学生们的考试成绩； 都服从或近似服从正态分布。 正态分布密度函数的几何特性 （1）曲线关于直线 x = 对称： f ( + x) = f ( - x)； （2）在 x = 时， f (x) 取得最大值 （3）在 x = 时，曲线 y = f (x) 在对应的点处 有拐点； （4）曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线； （5）曲线 y = f (x) 的图形呈单峰对称状； （1） 位置参数 即固定 ，改变 的值，则f (x) 的形状不变， 只是位置不同，沿着 x 轴作平移变换。 正态分布密度函数 f (x) 的两个参数： （2） 形状参数 即固定 ，改变 的值，则 f (x) 图形的 对称轴不变，而形状在改变。 越小，图形越高越瘦； 越大，图形越矮越胖。 当 = 0， = 1 时，称随机变量 X 服从 标准正态分布。 其概率密度和分布函数分别为 标准正态分布 标准正态分布密度函数的图形 标准正态分布分布函数的图形 重要结论 若 ，则 1、 3、 2、 证明 1、 的分布函数为 故 2、由 1 得 3、由 2 得 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般 的正态分布都可以通过线性变换转化为标准 正态分布。 根据上述结论，只要将标准正态分布的分布 函数制成表，就可以通过查表解决一般正态 分布的概率计算问题。 说明 例5 设随机变量 X N (0 , 1) ，试求 （1） ； 解 （1） （2） （2） 解 （1） 例6 设随机变量 X N (2 , 9) ，试求 （1） ； （2） ； （3） （2） （3） 若 X N ( , ) ，则 3 准则 可以看到，X 的取值几乎全部集中在 区间内，这在统计学上 称作 3 准则。 这说明，X