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直线与平面垂直（2） 复习提问情境引入新授过程 实践探究 数学理论 数学运用 巩固新知 回顾小结布置作业 学生活动 引入概念 江阴市青阳中学 吴国华 一、复习提问 1、直线与平面垂直的判定定理是什么？ 如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 2、直线与平面垂直的性质定理是什么？ 如果两条直线同时垂直于一个平面， 那么这两条直线平行。 3、你能举出具体的例子说明吗？ 你能画出教室的直观图吗？若能，请回答： 1、直线AA1、BB1、CC1、DD1 与平面ABCD的关系如何？ 二、情境引入 A B C D A1 C1 B1 D1 2、直线A1D、A1C、A1B 与平面ABCD的关系呢？ 会垂直吗？ P P1Q 斜线 斜足 垂线 射影 直线与平面 所成的角 垂足 三、新授过程 1、引入概念 如图，BCA=90，PC平面ABC，则在 ABC，PAC的边所在的直线中： (1)与PC垂直的直线有； (2)与AP垂直的直线有 AB、AC、BC BC 问题一 观察、分析、讨论 得出结果 2、学生活动深化概念 问题二 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， D B1 A B C A1 C1 D1 （2）直线BD1与平面ABCD所成 的角的正弦值是 （1）直线AD1与平面ABCD所成的角是； 45 提示：连接BD 问题三 1、直线与平面所成的角的范围是什么？ 当直线与平面平行时，直线与平面所成的角是0； 当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角是90，所以 直线与平面所成的角的范围是：0，90 2、斜线与平面所成的角呢？ 答：（0，90） A CB a 例3、如图所示，已知AC，AB，分别是平面 的垂 线和斜线，C分别是垂足和斜足，a ，a BC . 求证： a AB 证明：AC a a AC a BC AC BC=C a 平面ABC AB 平面ABC a AB 题设和结论交换位 置，命题成立吗？ 3、构建数学实践探究 分析：要证明a AB，也就是要 证明a 平面ABC，因此问题转化成证 明a 平面ABC，根据已知条件可知， a 平面ABC显然成立，问题得以解决 。 4、数学理论总结归纳 线线垂直 线面垂直 要证明线线垂直，可以先根据线面垂直的判 定定理证明线面垂直，然后运用线面垂直的性质 定理证得线线垂直，即 例4，如图所示，已知BAC在平面内，P ，PAB=PAC 求证：点P在平面上的射影在BAC的平分线上。 （1）角平分线上的点有什么特点？ （2）证明线段相等的常用方法 是什么？ （3）如何判定三角形全等？ （4）你能说出本题的证明 思路吗？ 5、数学运用加强认识 P P1Q 1.如图所示，直线PP1平面 ，则是平面 垂线；是平面的斜线；是直线PQ 在平面 上的射影. 2、平面的一条斜线和这个平面所成 角的范围是 3、如果平面的一条斜线上一点与其斜足所确定线段 的长是其在平面内的射影长的2倍，那么这条斜线与 平面所成的角的大小为 4、点是ABC的垂心，PO平面ABC，则PC与AB所 成的角为 5、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证： （1）AC1BD；（2）AC1平面A1BD. D B1 A BC A1 C1 D1 6、即时训练巩固新知 PP1 PQ P1Q 0，90 60 90 证明：（略） 四、回顾小结总结反思 1、平面的垂线、斜线、射影、直线与平面所成 的角的概念，及直线与平面所成角的范围。 2、证明线线垂直的方法： 线线垂直 线面垂直 3、两个重要定理：