特殊平行四边形矩形的性质和判定.ppt

北师大课标九上3.2 (1) 3.2特殊的平行四边形(1) 矩形的性质及判定 证明命题的一般步骤: (1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证); (2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”, 执“果”索“因”); (5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰 地写出证明过程; (6)检查表达过程是否正确,完善. 回顾与思考 w定理:平行四边形的对边相等. w证明后的结论,以后可以直接运用. B D C A 四边形ABCD是平行四边形. AB=CD,BC=DA. w定理:平行四边形的对角相等. 四边形ABCD是平行四边形. A=C, B=D. 定理:平行四边形的对角线互相平分. 四边形ABCD是平行四边形. CO=AO,BO=DO. B D C A O 定理:夹在两条平等线间的平等线段相等. MNPQ,ABCD, AB=CD. B D C A MN P Q 平行四边形的性质 w定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. w定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的. wAB=CD,AD=BC, w四边形ABCD是平行四边形. B D C A B D C A O wABCD,AB=CD, w四边形ABCD是平行四边形. wAO=CO,BO=DO, w四边形ABCD是平行四边形. wA=C,B=D. w四边形ABCD是平行四边形. 平行四边形的判定 w定理:等腰梯形同一底上的两个角相等. w定理:等腰梯形的两条对角线相等. w在梯形ABCD中,ADBC, wAB=DC, wAC=DB. w在梯形ABCD中,ADBC, wAB=DC, wA=D, B=C. B D C A B D C A w证明后的结论,以后可以直接运用. 等腰梯形的性质 定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形. 在梯形ABCD中,ADBC, A=D或B=C, AB=DC. 定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形. 在梯形ABCD中,ADBC, AC=DB. AB=DC. B D C A B D C A w证明后的结论,以后可以直接运用. 等腰梯形的判定 w定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边 的一半. w这个定理提供了证明线段平行,和线 段成倍分关系的根据. 模型:连接任意四边形各边中点 所成的四边形是平行四边形. 要重视这个模型的证明过程反映出来的 规律:对角线的关系是关键.改变四边形 的形状后,对角线具有的关系(对角线相 等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决定 了各中点所成四边形的形状. wDE是ABC的中位, DE B C A DEBC, A B C H D E F G 三角形中位线性质 w四边形之间有何关系？w特殊的平行四边形之间呢？ w还记得它们与平行四边形的关系吗? w能用一张图来表示它们之间的关系吗? 四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 两组对边 分别平行 有一个角 是直角 有一组 邻边相等 有一个角 是直角 有一组 邻边相等 一组对边平行另 一组对边不平行 梯形 两腰相等 等腰梯形 腰与底垂直 直角梯形 四边形之间的关系 w定理:矩形的四个角都是直角. 已知:如图,四边形ABCD是矩形. w分析:由矩形的定义,利用对角 相等,邻角互补可使问题得证. 证明: 四边形ABCD是矩形, A=900,四边形ABCD是平行四边形. C=A=900, B=1800-A=900, D=1800-A=900. 求证:A=B=C=D=900. A=B=C=D=900 D BC A 想一想:正方形的四 个角都是直角吗? 矩形的性质 w定理:矩形的两条对角线相等. 已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线. 求证: AC=BD. 证明: 四边形ABCD是矩形, AB=DC,ABC=DCB=900. w分析:根据矩形的性质性质,可转 化为全等三角形(SAS)来证明. D BC A BC=CB, ABCDCB(SAS). AC=DB. 矩形的性质 w议一议:设矩形的对角线AC与BD交于点E,那么,BE 是RtABC中一条怎样的特殊线段? w它与AC有什么大小关系?为什么? D BC A E w由此可得推论:直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半. wBE是Rt ABC中斜边AC上的中线. wBE等于AC的一半. AC=BD,BE=DE, 直角三角形的性质 w已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线 ,AC,BD相交于点O,AOD=1200,AB=2.5cm. 求矩形对角线的长. 解:四边形ABCD是矩形, BD=2AB=22.5=5(cm). AC=BD,且 DAB=900, D BC A O AOD=1200, ODA=OAD= 你认为例1还可以 怎么去解？ 例题讲解 w定理:有三个角是直角的四边形是矩形. 已知:如图,在四边形ABCD中, A=B=C=900. w分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形 是平行四边形,可使问题得证. 证明: A=B=C=900, A+B=1800,B+C=1800. ADBC,ABCD. 求证:四边形ABCD是矩形. 四边形ABCD是平行四边形. D BC A 四边形ABCD是矩形. 矩形的判定 w定理:对角线相等的平行四边形是矩形. 已知:如图,在ABCD中,对角线AC=BD. 求证:四边形ABCD是矩形. D BC A w分析:要证明ABCD是矩形,只 要证明有一个角是直角即可. w证明: AB=CD,ABCD. AC=DB,BC=CB, ABCDCB. ABC=DCB. 四边形ABCD是平行四边形. ABC+DCB=1800. ABC=900. 四边形ABCD是矩形. 矩形的判定 w定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一 半,那么这个三角形是直角三角形. w求证:ABC是直角三角形 已知:CD是ABC边AB上的中线,且 EA B C Dw分析:要证明ABC是直角三角形, 可以点A,B,C构造平行四边形,然后 证明其对角线相等,即可证明是矩形. w证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE. 四边形ACBE是平行四边形. AB=2CD,CE=2CD, CE=AB. 四边形ACBE是矩形. AD=BD,CD=ED, ACB=900. ABC是直角三角形. 直角三角形的判断 w定理:矩形的四个角都是直角. w定理:矩形的两条对角线相等. 推论(直角三角形性质):直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半. w四边形ABCD是矩形, A=B=C=D=900. D BC A D BC A wAC,BD是矩形ABCD的两条对 w角线. AC=BD. 在ABC中,ACB=900, AD=BD, A B C D 矩形的判定 w定理:有三个角是直角的四边形是矩形. w定理:对角线相等的平行四边形是矩形. w定理:如果一个三角形一边上的中 线等于这边的一半,