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Schmidt正交化 及正交方阵 一. 向量的内积及其性质 1.向量内积的定义 设 是两个n维向量 令 称是向量X和向量Y的内积。 2. 内积的性质 (1) = (3) = + (2) = 3. 向量的范数 称 为向量X的长度 (范数), 记为|X| 称|X Y|为X与Y之间的距离. 证明： 令 f(t) = ， 显然函数f(t) 0且 f(t) = + = + t + t + t2 = |X|2 + 2t + t2|Y|2 从而有： 即 证毕 称 为向量X与之间的夹角. 即 ,特别 4. 范数的性质 (5) |X| 0, 且 |X| = 0 X = 0 证明: 由 再由得到: 即 : 证毕 例1. 设X, Y, Z皆是n维向量, 试证明三角不等式: 证明: 例2. 设X, Y是两个相互正交的n维向量, 试证明勾 股定理: 证明: 定理1.非零的正交向量组必然是线性无关的。 证明： 设设1, 2, , m是一组 组两两相互正交的 非 零向量.1, 2, , m是一组组数， 11 + 22 + + mm = 0 使得 则 0 = = j 又|j|2 0, 所以j = 0, j = 1, 2, , m 从而1, 2, , m线线性无关 证毕 二. 向量空间的标准正交基 1.标准正交基的定义及其性质 定义:设V是一个向量空间，1, 2, , m是 V的一组基，若满足： 1）1, 2, , m两两相互正交 2）|j| = 1, j = 1, 2, , m 则则称1, 2, , m是向量空间间V的一组标组标 准正 交基. 定理2 若1, 2, , m是向量空间V的一组标准 正交基， = 11 + 22 + + mm是V中 的一个向量，则j = , j = 1, 2, , m 证明： 2. Schmidt正交化过程 定理3 若V是Rn的一个非零子空间，则V一定有 标准正交基 . 证明： 设设1, 2, , m是V的一组 组基。 取 取 取 设1, 2, , s, s = - = - = 0， 说说明向量 - 与V的标标准正交基1, 2, , m中 的任何一个向量皆正交， 从而与V中的任何一个向 量皆正交。 故是向量在向量空间V中的正交投影 向量。 若也是向量在向量空间V中的正交投影向量， 由于:= + = 0，j = 1, 2, , m， 以及V，V的维数等于m， 推知 = 即, 在向量空间V中的正交投影是唯一的。 定理5 设V是Rn的一个非平凡的子空间，Rn， 是在向量空间V中的正交投影向量，则对于 V中的任何一个向量，只要 ，就有：| - | | - |2. 即：| - | = 2. | Y1| = | X1| 3. Y1与Y2之间的夹角等于X1与X2之间的夹角 小结 1. n维向量之间的内积; n维向量的范数; 两个n维
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