2016年高中数学联赛试题答案.pdf

2016 年全国高中数学全国高中数学联合竞赛一联合竞赛一试试（A 卷）卷） 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明：说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设填空题只设 8 分和分和 0 分两档；其他各题的分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题小题 4 分为一个档次，第分为一个档次，第 10、 11 小题小题 5 分为一个档次，不要增加其他中间档次分为一个档次，不要增加其他中间档次 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分 1. 设实数a满足 3 911aaaa= ， 即 2 1911 1a =，即从B中取走的两张纸币不能 都 是1元 纸 币 ， 相 应 有 22 73 CC18=种 取 法 因 此 ， 所 求 的 概 率 为 22 57 3 18549 = CC10 2135 5. 设P为一圆锥的顶点，,A B C是其底面圆周上的三点， 满足90ABC， M为AP的中点若1,2,2ABACAP，则二面角MBCA的大小 为 答案答案： 2 arctan 3 解解：由90ABC知，AC为底面圆的直径 设底面中心为O，则PO 平面ABC易知 1 1 2 AOAC，进而 22 1POAPAO 设H为M在底面上的射影，则H为AO的中 点在底面中作HKBC于点K，则由三垂线定理 知MKBC，从而MKH为二面角MBCA的平面角 因 1 2 MHAH，结合HK与AB平行知， 3 4 HKHC ABAC ，即 3 4 HK ， 这样 2 tan 3 MH MKH HK 故二面角MBCA的大小为 2 arctan 3 6. 设函数 44 ( )sincos 1010 kxkx f x ，其中k是一个正整数若对任意实数a， 均有( )1( )f xaxaf xxR，则k的最小值为 答案答案：16 解解：由条件知， 2 2222 ( )sincos2sincos 10101010 kxkxkxkx f x 2 1123 1sincos 25454 kxkx ， 其中当且仅当 5 () m xm k Z 时，( )f x取到最大值根据条件知，任意一个长 为1的开区间( ,1)a a至少包含一个最大值点，从而 5 1 k ，即5k 反之，当5k时，任意一个开区间( ,1)a a均包含( )f x的一个完整周期， 此时( )1( )f xaxaf xxR成立 综上可知，正整数k的最小值为5116 2 7. 双曲线C的方程为 2 2 1 3 y x ，左、右焦点分别为 1 F、 2 F过点 2 F作一 直线与双曲线C的右半支交于点,P Q，使得 1 90FPQ，则 1 FPQ的内切圆 半径是 答案答案：71 解解：由双曲线的性质知， 12 2134FF ， 1212 2PFPFQFQF 因 1 90FPQ，故 222 1212 PFPFFF，因此 222 121212 2()()PFPFPFPFPFPF 22 2422 7 从而直角 1 FPQ的内切圆半径是 111212 111 ()()()71 222 rFPPQFQPFPFQFQF 8. 设 1234 ,a aaa 是1, 2,100中的 4 个互不相同的数，满足 2222222 123234122334 ()()()aaaaaaa aa aa a， 则这样的有序数组 1234 (,)a aaa的个数为 答案答案：40 解解：由柯西不等式知， 2222222 123234122334 ()()()aaaaaaa aa aa a，等 号成立的充分必要条件是 312 234 aaa aaa ，即 1234 ,a aaa 成等比数列于是问题等 价于计算满足 1234 ,1, 2, 3,100a aaa的等比数列 1234 ,a aaa 的个数设 等比数列的公比1q ，且q为有理数记 n q m ，其中,m n为互素的正整数，且 mn 先考虑nm的情况 此时 3 3 1 41 3 a nn aa mm ，注意到 33 ,mn互素，故 1 3 a l m 为正整数相应地， 1234 ,a aaa分别等于 3223 ,m l m nl mn l n l，它们均为正整数这表明，对任意给 定的1 n q m ，满足条件并以q为公比的等比数列 1234 ,a aaa的个数，即为满 足不等式 3 100n l 的正整数l的个数，即 3 100 n 由于 3 5100，故仅需考虑 34 2, 3, 4, 23 q 这些情况，相应的等比数列的个 数为 100100100100100 12331120 827276464 当nm时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列 1234 ,a aaa 综上可知，共有40个满足条件的有序数组 1234 (,)a aaa 3 二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 9. （本题满分 16 分） 在ABC中， 已知23AB ACBA BCCA CB 求sinC 的最大值 解解：由数量积的定义及余弦定理知， 222 cos 2 bca AB ACcbA 同理得， 222 2 acb BA BC ， 222 2 abc CA CB 故已知条件化为 222222222 2()3()bcaacbabc， 即 222 23abc 8 分 由余弦定理及基本不等式，得 2222 222 1 (2) 3 cos 22 abab abc C abab 36 ab ba 2 2 363 ab ba ， 所以 2 7 sin1cos 3 CC=， 12 分 等号成立当且仅当: :3:6 : 5a b c因此sinC的最大值是 7 3 16 分 10. （本题满分 20 分） 已知( )f x是R上的奇函数，(1)1f， 且对任意0x， 均有( ) 1 x fxf x x 求 1111111 (1) 1002993985051 ffffffff 的值 解解：设 1 (1, 2,3,) n afn n ，则 1 (1)1af 在( ) 1 x fxf x x 中取 * 1 ()xk k N，注意到 1 1 1 1 11 k k x xk ，及 ( )f x为奇函数，可知 11111 1 fff kkkkk ， 5 分 即 1 1 k k a ak 从而 11 1 1 11 11 (1)! nn k n kk k a aa akn 10 分 因此 505049 101 110 11 (1)! (100)! (99)! ii iii a a iiii 4 984949 9999 999999 00 111112 CCC2 99!99!299!299! iii ii 20 分 11.（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角 坐标系xOy中，F是x轴正半轴上的一个动点以 F为焦点、O为顶点作抛物线C设P是第一象限 内C上的一点，Q是x轴负半轴上一点， 使得PQ为 C的切线，且2PQ 圆 12 ,CC均与直线OP相 切于点P，且均与x轴相切求点F的坐标，使圆 1 C与 2 C 的面积之和取到最小值 解解：设抛物线C的方程是 2 2(0)ypx p， 点Q的坐标为(, 0)(0)aa， 并设 12 ,CC的圆心分 别为 111222 ( ,),(,)O xyO xy 设直线PQ的方程为(0)xmya m，将其与C的方程联立，消去x可知 2 220ypmypa 因为PQ与C相切于点P，所以上述方程的判别式为 22 44 20p mpa ， 解得 2a m p 进而可知，点P的坐标为(,)( ,2) PP xyapa于是 2 2 10122 (2 ) P a PQmypaa pa p 由2PQ 可得 2 424apa 5 分 注意到OP与圆 12 ,C C相切于点P，所以 12 OPOO设圆 12 ,C C与x轴分别相切于点 ,M N，则 12 ,OOOO分别是,POMPON的 平分线，故 12 90OOO从而由射影定理 知 2 121212 y yO M O NO P O POP 222 2 PP xyapa 结合，就有 22 12 243y yapaa 10 分 由 12 ,OP O共线，可得 11111 2222 2 2 2 P P ypayyO PO My yyPOO Nypay ， 化简得 5 1212 2 2 yyy y pa 15 分 令 22 12 Tyy，则圆 12 ,CC的面积之和为T根据题意，仅需考虑T取到 最小值的情况 根据、可知， 222 12121212 4 ()22 2 Tyyy yy yy y pa 22 222 22 4(43)(2) (43)2(43) 441 aa aa aa 作代换 2 1ta 由于 2 44420tapa，所以0t 于是 (31)(1)11 342 342 34 tt Ttt ttt 上式等号成立当且仅当 3 3 t ，此时 1 11 3 at 因此结合得， 2 131 21 3333 1 3 patt a ， 从而F的坐标为 1 , 0, 0 2 33 p 20 分 6 2016 年全国高中数学联合竞赛加试全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）卷） 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明：说明： 1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分参考本评分标准适当划分档次评分, 10 分为一个档次，不要增加其他中间档次分为一个档次，不要增加其他中间档次. 一一、（本题满分（本题满分 4 40 0 分）分） 设实数 122016 ,aaa满足 2 1 911(1, 2, 2015) ii aai + = 求 2222 12232015201620161 () ()() ()aaaaaaaa的最大值 解解 令 2222 12232015201620161 () ()() ()Paaaaaaaa= 由已知得，对1, 2, 2015i =，均有 222 111 11 0 9 iiii aaaa + 若 2 20161 0aa，则0S 10 分 以下考虑 2 20161 0aa的情况约定 20171 aa=由平均不等式得 1 201620162016 22 2016 11 111 11 () 20162016 iiii iii Paaaa + = = 201620162016 2 111 11 (1) 20162016 iiii iii aaaa = = 20 分 2 2016 1 1(1)111 2016 20162201644 ii i aa = + = ， 所以 2016 1 4 P 30 分 当 122016 1 2 aaa=时 ， 上 述 不 等 式 等 号 成 立 ， 且 有 2 1 911 ii aa + (1, 2, 2015)i =，此时 2016 1 4 P = 综上所述，所求最大值为 2016 1 4 40 分 二二、 （本题满分（本题满分 4 40 0 分）分） 如图所示， 在ABC中， ,X Y是直线BC上两点（, , ,X B C Y顺次排列） ，使得 BX ACCY AB 设ACX，ABY的外心分别为 12 ,O O，直线 12 OO与,AB AC分别交于点,U V 证明：AUV是等腰三角形 V U O2 O1 Y BC A X 证法证法一一 作BAC的内角平分线交BC于点P. 设三角形ACX和ABY的外 接圆分别为 1 和 2 . 由内角平分线的性质知， BPAB CPAC =. 由条件可得 BXAB CYAC =. 从而 PXBXBPABBP PYCYCPACCP + = + ， 即CP PXBP PY= 20 分 故P对圆 1 和 2 的幂相等，所以P在 1 和 2 的根轴上 30 分 于是 12 APOO，这表明点,U V关于直线AP对称，从而三角形AUV是等腰 三角形. 40 分 证证法法二二 设ABC的外心为O，连接 12 ,OO OO过点 12 ,O O O分别作直线BC 的垂线，垂足分别为 12 ,D DD作 1 O KOD于点K 我们证明 12 OOOO在直角三角形 1 OKO中， 1 1 1 sin O K OO OOK 由外心的性质， 1 OOAC又ODBC，故 1 OOKACB 而 1 ,D D分别是,BC CX的中点，所以 11 111 222 DDCDCDCXBCBX 因此 11 1 1 1 2 sinsin 2 BX O KDDBX OOR AB OOKACBAB R ， 这里R是ABC的外接圆半径同理 2 CY OOR AC 10 分 由已知条件可得 BXCY ABAC ，故 12 OOOO 20 分 由于 1 OOAC，所以 12 90AVUOOO同理 21 90AUVOO O 30 分 又因为 12 OOOO， 故 1221 OOOOO O， 从而AUVAVU 这样AUAV， 即AUV是等腰三角形 40 分 K D2DD1 O V UO2 O1 Y BC A X P V UO2 O1 Y A CB X 三三、 （本题满分（本题满分 5 50 0 分）分） 给定空间中 10 个点, 其中任意四点不在一个平面 上将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形， 试确定所连线段数目的最大值 解解 以这 10 个点为顶点, 所连线段为边, 得到一个 10 阶简单图G. 我们证 明G的边数不超过 15 设G的顶点为 1210 ,v vv，共有k条边，用deg( ) i v表示顶点 i v的度. 若 deg( )3 i v对1,2,10i =都成立，则 10 1 11 deg( )10 315 22 i i kv = = = 假设存在 i v满足deg( )4 i v不妨设 1 deg( )4vn=，且 1 v与 21 , n vv + 均相 邻于是 21 , n vv + 之间没有边，否则就形成三角形所以， 121 , n v vv + 之间恰有 n条边 10 分 对每个j（210nj+） ， j v至多与 231 , n v vv + 中的一个顶