近世代数课件--2.1群的定义.ppt

1群的定义 内容导航 1.1引例 1.2群的第一定义及例子 1.3群的第二定义 1.4群的第三定义 1.5群的第四定义 1.6几个进一步的概念 1.1引例 例1 集合 上所有一一变换 . 引入记号: 例2 保持平面上正不变的保距变换. , 具有乘法运算(映射复 合),满足性质: 对于乘法来说是闭的: 对于 ； 结合律成立： ,对于 ； 里至少存在一个 ，能让 对于 的任何元 都成立, 这样的 称为左单 位元； 对于 的每一个元 ，在 里存在一个元,记 为 ，能让 这样的 称为 的左逆元. 例3 保持 中多项式 不变 的变换. 1.2群的第一定义及例子 群的定义I 我们说，一个不空集合对于 一 个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如: III 里至少存在一个 ，能让 对于 的任何元 都成立, 这样的 称为左单 位元； 对于乘法来说是闭的: 对于 ； 结合律成立： ,对于 ； 对于 的每一个元 ，在 里存在一个元,记 为 ，能让 这样的 称为 的左逆元. 注1 群 与运算联系在一起. 例4. (平凡群) 只包含一个元 乘法是 对于这个乘法来说作成一个群 例5. 在数集中,关于熟习的运算,发现一些群的正 反面的例子 . 例6 在矩阵集合中发现一些群的正反面的例子. 例7 向量空间是一个加法群 例8 (重新定义的运算) 在 上定义运算 判断 关于给定的运算是否构成群. 注2 群定义中, I和II 是验算, III和IV 需要找元素. 注3 III和IV有逻辑先后. 作业业: 判断下列是否构成群 (1) 在 上定义运算 (2) 在上定义义运算 1.3 群的第二定义 引理1 一个左逆元一定也是一个右逆元, 这句话 的意思是： 证明 有元 有左逆元 ，使得 一方面, 但另一方面, 所以 引理2 一个左单位元一定也是一个右单位元这就 是说： 证证明: 群的定义义II 我们说，一个不空集合 对于一个 叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如: 对于乘法来说是闭的: 对于 ； 结合律成立： ,对于 ； III 里至少存在一个 ，能让 对于 的任何元 都成立, 这样的 称为右单 位元； 对于 的每一个元 ，在 里存在一个元,记 为 ，能让 这样的 称为 的右逆元. 证明: (1)定义I 证明定义II, 已经完成 (2)定义II证明定义I, 需要类似的二步(作业) 1.4群的第三定义 群的定义义III 我们说，一个不空集合 对于一 个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如: 对于乘法来说是闭的: 对于 ； 结合律成立： ,对于 ； III 里至少存在一个 ，能让 对于 的任何元 都成立, 这样的 称为右单 位元； 对于 的每一个元 ，在 里存在一个元,记 为 ，能让 这样的 称为 的逆元. 1.5 群的第四定义 群的定义义IV 我们说，一个不空集合 对于一 个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如: 对于这个乘法来说是闭的； 结合律成立： ,对于 ； V对于 的任意两个元 ， 来说，方程 和 都在里有解 证明 定义III 定义IV 定义I 定义III (1)定义III 定义IV, 容易 (2)定义IV 定义I III. 需要证明： 里至少存在一个元 ，叫做 的 一个左单位元，能让 对于 的任何元 都成立 对于一个固定的元 ， 在 里有解我们任意取一个解 ，叫它作： （） 我们要证明这个 就是左单位元，即：对于 的任 意元 ， 成立 有解 ： （） 由（），（） 这样，我们证明了 的存在 对于 的每一个元 ，在 里至少存在一个 元 ，叫做 的一个左逆元，能让 成立这里 是一个固定的左单位元 由V， 可解 (3) 定义I 定义III ，已经完成。 1.6 几个进一步的概念 以下我们还要说明几个名词和符号 一个群 的元素的个数可以有限也可以无限我 们规定 定义1 一个群叫做有限群，假如这个群的元的 个数是一个有限数不然的话，这个群叫做无限 群一个有限群的元的个数叫做这个群的阶 在一个群里结合律是对的，所以 有意义，是 的某一个元这样，我们当然可以把 个相同的元来相乘因为我们用普通乘法的符号 来表示群的乘法，这样得来的一个元我们也用 普通符号来表示： 是正整数 并且也把它叫做 的 次乘方（简称 次方） 在一般