《数学哲学史》PPT课件.ppt

二、数学的特征及其在科学中的地位 （一）、数学的特征 1、抽象性 2、逻辑的严格性 3、系统地使用符号 、计算的需要 、逻辑推理的需要 、使数学形式简化的最佳途径 4、广泛的应用性 、数字电视 、1991年海湾战争 、姜伯驹的就职演说 5、数学美 简洁美 对称美 和谐美 奇异美 Poincare（18541912）说： “感觉数学的美，感觉数与形的调和 ，感觉几何学的优雅，这是所有数学 家都知道的真正的美感。” Pythagoras（-580-500）声 称，万物皆数，美是数的和谐。 Davinci（14521519）认为“ 黄金分割 是美的原则。” Euler（17071783） 公式 项武义情理之中，意料之外 （二）、数学在科学中的地位 1、古希腊科学的同义词 2、欧洲中世纪经院哲学盛行 R.培根（12141294）：数学是所有 科学的支柱。 3、文艺复兴时期带头学科 Copernicus 1473-1543,波兰 Kepler 1571-1630,德国 Galliler 1564-1642,意大利 Newton 1642-1727,英国 Galliler： 宇宙是一部巨著,其 中的内容是自然科 学,它的语言是数学 ,符号是几何图形. 如果不懂数学,就无 法读懂它. 4、19世纪，Laplace（17491827） “数学是自然科学的工具” 孔德（法）： 数学 力学 天文学 物理学 化学 生理学 社会学 5、19世纪末，数学与自然科学并列 马克思：一种科学只有在成功地运 用数学时，才能达到真正的完善。 数学是横断科学 三、数学发展的几个重要阶段及其主 要特征 1、数学萌芽时期（至前6 世纪） 算术、几何开始形成 主要成就出现在： 巴比伦、埃及、中国 巴比伦：一些数表 埃及：-1800，算术级数，几何级数 ，正方形锥台的体积 中国：甲骨文中的数字，六十甲子 特点：有简单的推理 2、初等数学时期（-6 世纪17 世纪）： 又称为常量数学或有限数学时期 西方数学的中心： 古希腊阿拉伯和印度西欧 中国数学独立地发展着 （1）、古希腊：科学发展的第一个 黄金时期 泰勒斯 Thales -624_-547 几何学鼻祖 毕达哥拉斯 Pythagoras -572_-497 初等整数论 亚里士多德 Aristoteles -384_-322 逻辑学创始人 欧几里德 Eulid -330_-275 公理法 阿基米德 Archmedes -287_-212 数学之神 穷竭法 积分法 阿波罗纽斯 Apollonius -262_-190 圆锥曲线 丢番图 Diophantus 246-330 代数方程论 1世纪，罗马消灭古希腊，数学 的中心转移到阿拉伯 主要成就： （1）二次方程的解法 （2）二项式定理 （3）三角学出现托勒密（ Ptolemy,100-170） 托勒密（Ptolemy,100-170） （2）、西方文艺复兴前后（15 17 世纪）： 科学发展的第二个黄金时期 、代数学已系统地使用符号。 标志: Vieta 15401603，意，代数学之父 、有三次和四次方程的公式 解法 Tartaglia，意 塔塔里亚 15001557 、“印度阿拉伯数码”定型通用 Fibonacci，1170-1250，意 、产生了十进制 小数及对数 （3）、中国：九章算术 唐朝 李淳风 校定的“算经十书”： 周髀算经，九章算术，海岛算 经，孙子算经，张邱建算经， 五曹算经，五经算术，辑古算 经，夏侯阳算经，缀术 李淳风 602670 主要成就： 、勾股定理及测量赵爽，刘徽 、正负数运算法则刘徽 、多元一次方程组的解法刘徽 、极限思想在几何中的应用刘徽的 “割圆术” 、中国传统数学最辉煌的时期 宋元时期： 泰九韶的剩余定理和高次方程数值解法 李治和朱世杰的天元术和四元术 贾宪和杨辉的二项式展开系数表 朱世杰和沈括的高阶等差级数求和 算筹的发展，元代产生了算盘 初等数时期的特点： 、除虚数外，初等数学已基本完备 、与萌芽时期数学的主要区别 、这一时期的数学虽然有极限思想 及其初步运用，但主要是以常量、有 限和不变图形的研究为特征的初等数 学。 3、近代数学时期（17 世纪中期 19 世纪末期）： 又称为变量数学时期或高等数学 时期或无限数学时期 （1）、十七世纪的数学： 、几何问题代数化 、变量进入数学 、概率论产生，使数学开始涉及偶 然事件 （2）、十八世纪的数学： 、为微积分作奠基工作 、在微积分的基础上发展出无穷 级数，常微分方程，偏微分方程，变 分法等学科 、概率论也发生了变化：组合概 率时期到分析概率时期 （3）、十九世纪的数学：数学发 展的第三个黄金时期。 Gauss Riemann Poincare Lobachevsky Galois Cantor Cauchy Cayley 分析方面确立了微积分的现 代形式，产生了复变函数 几何方面罗氏几何 代数方面伽罗瓦创立群论 4、现代数学时期（19 世纪以来）： 、数学方面： 1900 年希尔伯特提出的23个全局 性问题，是推动19 世纪数学发展的强 大动力。 、现代数学的特点： 、集合论成为各个数学分支的 基础，纯粹数学转向研究基本的数学 结构 、数学的抽象化程度越来越高 ，分支越来越细，内在联系揭露的越 来越深 、电子计算机进入数学领域， 推动了数学的发展 、应用数学蓬勃发展 四、数学的真理性问题 问题：数学体系是否具有真理性 ？（ ） A、严密完善； B、有矛盾，可避免； C、有矛盾，无法彻底消除； D、不知道 （一）、悖论（Paradox）与 三次数学危机 （一）、悖论（Paradox）与三次 数学危机 1、毕达哥拉斯悖论： 、毕达哥拉斯悖论： 希伯索斯(Hippasus)不可公度量 （无理数）的发现导致第一次危机 希伯索斯在研究边长为1 的正方形 时,发现其对角线不能用整数之比 来表示,即证明不可公度量的存在. 意义：无理数的发现导致了西方 数学史上的第一次危机，致使以后 数域的扩张，从而为数学的发展做 出了巨大的贡献。 证明 不是有理数。 证明：（反证）若 是有理数，即 ， ， 则 ，于是 是偶数，则可设 ，代入有 ，即 可得 是偶数，这与 矛盾！ 、关于负数和虚数： 、比“没有”还小的数 、瓦里斯-负数应大于无穷大 、- 1 / 1 = 1 / - 1 负数-错的数,荒谬的数；负根-假根 、虚数的名称：卡尔丹诺诡辩 量；纳皮尔实数的鬼魂；笛卡尔 虚拟的数；莱布尼兹它是介 于存在和不存在之间的两栖物 、关于无穷： 、庄子（- 369 -286 ）： “一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 、芝诺悖论： 芝诺（Zenon，-490-436），古希腊 唯心主义哲学家，巴门尼德的学生， 埃利亚学派的主要代表之一。认为世 界上唯一真实的东西只是 “唯一不动 的存在”。所以“存在”是“一”而 不是“多”，是“静”而不是“动” 。 “二分法”运动不存在 理由是：“运动着的物体在到达目的 地之前，必先到达半路上的一点。” 即欲从甲处到达乙处，必先到达其1 / 2 处，又必先到达其1 / 4处，. . . ， 由于线段无限可分，所以根本就不可 能开始运动。 问：是怎样到达的？ 阿基里斯追龟 假设阿基里斯的速度是乌龟的十倍， 而乌龟在阿基里斯前100米处，二者同 时同向起跑，当阿基里斯追到100米时 ，乌龟前进了10米；阿基里斯追上了 10 米，这时乌龟又前进了1 米；阿基 里斯又追上1米，乌龟又前进了0 . 1米 ，. . .，阿基里斯总要经过乌龟的起 点，即阿基里斯总在乌龟的后面，不 管这个距离如何短。所以阿基里斯永 远追不上乌龟。 飞箭不动 一只飞着的箭在一定的时间内经过许 多点，但在每一个瞬间都占有一个特 定的位置，它在这一瞬间是不动的， 无限个不动的瞬间的总和还是不动， 所以飞箭不动。如果说它在动，那就 等于说它同时在这一点上又不在这一 点上，矛盾！ 、普罗克鲁斯悖论 一个无穷大 两个无穷大 、亚里士多德悖论 大小不同的两个圆周长相等 、伽俐略悖论：“部分等于全体 ” 2 、贝克莱悖论： 1650年，牛顿和莱布尼兹创立了微 积分，使数学进入了变量时代，但 当时的微积分理论还不是很严密， 例如关于实无穷小量，产生了严重 的逻辑困难，因而导致了第二次数 学危机。 、展开 ，含有 ，当时 认为 是有限的非零的量，要多小 就有多小，在 展开式中 不去掉； 、但求导数时，又可以把高阶无 穷小 去掉。 Newton认为，对函数 有 英国的贝克莱（Beckly）大主教说 ：“是逝去量的鬼魂！”招之 即来，挥之即去。 马克思在数学手稿中也曾说过 ：“把高阶无穷小去掉是暴力镇压 ！”-导致了第二次数学危机。 分析的严密化过程 1719世纪 、分析学最后归结为实数理论 、戴德金（Dedekind，18131916 ，德）的分划说对数轴用不同的 分划有不同的有理数和无理数 、康托（Cantor，18291920，德 ）：基本序列用有理数的逼近构 造无理数 微积分理论建立在实连续统的基础上 、集合论的建立 集合论的建立成 为整个现代数学 的基础。它的创 始人是 康托 Cantor，1829 1920，德朴素 的集合论 结论：到19世纪，现代数学是建立 在实数理论和与它相联系的集合论 的基础上的。 这样，分析的严密化过程基本结束 。 3 、集合论悖论： （1）、Russell 悖论1902年： A = 集合 A | A不属于A 问:A是否属于A ？ “由一切不包含自身的集合所组成 的集合”是否包含自身的问题。 Russell 悖论的替代说法 “理发师悖论”1919年: 某城镇中只有一个理发师，而 镇中的每一个人都要理发，理发师 就约定：“我给且只给镇中那些不 给自己理发的人理发，”问：这位 理发师是否给他自己理发？ Russell 悖论的影响 弗雷格（Frege，18481925，德）的 算法基础第三卷 戴德金（Dedkind，18311916，德） 的名著什么是数和数是什么 布劳维尔（Brouwer，18811966，荷 兰) （3）、Cantor悖论 1899年 对等与基数 一方面,有 另一方面,若令 S 为大全集,则有 （4）、说谎者悖论 一个克里特人说：“所有的克里特 人都说谎。” 请问这个克里特人是否在说谎？ 等价的一句话：“这句话是假的。 ” 4 、其他悖论： （1）、柏拉图苏格拉底悖论： 柏拉图：下面苏说的话是假的 苏格拉底：柏拉图前面说了真话 问：苏格拉底是否在说真话？ （2）、梵学者的预言： 印度预言家的女儿，在纸上写了一件 事（一句话），让她的父亲预言这件 事情在今天下午三点钟之前是否发生 ，并在卡片上写下“是”或“不”字 。此梵学者在卡片上写下了一个“是 ”字。她女儿在纸上写的这件事（这 句话）是“在今天下午三点钟之前， 您将写一个不字在卡片上。” （3）、意料之外的考试： 一位教授宣布，下周的某一天要进 行一次“意料之外的考试”，并说 没有一个学生能够在考试那天之前 的一天推测出考试的日期。 一个学生“证明”了：考试不会在 一周的最后一天进行。 （4）、哪辆车中的异性多： 甲乙两辆汽车都坐满了40人，甲车 中40个男人，乙车中40个女人，甲 车中10个男人到乙车中去了，又从 乙车中下来10 个人（几男几女不 清楚）到甲车中去，问：甲乙二车 中哪辆车中的