《高等代数》多项式试题库.pdf

1 1 数域达标训练题 一 填空题 1数集0对 运算封闭. 2自然数集N对 运算封闭. 3数集 ,Zbabia 对 封闭. 二 判断题 1. 数域必含有无穷多个数. 2. 所有无理数构成的集合是数域. 三 证明 1. 证明 ,)(QbanbanQ 是数域,这里n不是完全平方数. 2. 证明 ,2 3 Qbaba 不是数域. 3. 若 21, P P 是 数 域 , 证 明 21 PP 也 是 数 域 , 而 21 PP 不 一 定 是 数 域. 1 数域达标训练题解答 一 填空题 1加法、 减法、 乘法2.加法、乘法 3.加法、减法、乘法. 二 判断题 1. ( T) 2. ( F) 三、解答题 1 证 明 显 然 nQ1, 0 . 对 任 意 的 )(, 2211 nQnbanba , )()( 2211 nbanba = )( 21 aa + nbb)( 21 )(nQ ; )()( 2211 nbanba nbababnbaa)()( 12212121 )(nQ . 当 0 11 nba 时, nba nba 11 22 )( 2 1 2 1 2121 2 1 2 1 2121 nQn nba abba nba nbbaa .故 ,)(QbanbanQ 对加法减法乘法除法 封闭.即 ,)(QbanbanQ 是数域. 2证明 因为 3 2 ,2 3 Qbaba , 333 422 ,2 3 Qbaba . 即 ,2 3 Qbaba 对乘法不封闭.所以 ,2 3 Qbaba 不是数域. 3证明 由于任意数域都包含有理数, 故 21,P P 也包含有理数域, 从而 21 PP 包 含 有 理 数 域 . 令 21 ,PPba , 则 1 ,Pba , 2 ,Pba . 由 于 21, P P 是 数 域 , 故 2 1 ,Pabba , 2 ,Pabba ;当 0b 时, 21, P b a P b a , 所以 21 ,PP b a abba .即 21 PP 是数域. 例如: 取 1 P = ,2)2(QbabaQ , 2 P,3)3(QbabaQ , 容易验证 21 PP 不 一定是数域; 取 1 P =Q, 2 P,3)3(QbabaQ ,显然 21 PP = ,3Qbaba 是 数域. 2 一元多项式达标训练题 A 组 一 填空题 1. 系数在数域P上的关于文字x的一元多项式指的是形式表达 式 , 其中i次项是 , i次项系数是 , 常 数项是 . 2. 下列形式表达式(i)2;(ii)x 1 ; (iii)0; (iv) )3ln(1 32 xxx ; (v) 1)1 ( 23 xiix ;(vi) n x n xx ! 1 ! 3 1 !2 1 1 3 ; 其中 是 多项式. 3. 零多项式是 , 零次多项式是 . 4. 设 多 项 式 m i i i n i i i xbxgxaxf 11 )(,)( , 则 )()(xgxf 的k次 项 系 数 是 . 二 判断题 1. 0 是零次多项式. 2. 若 )()()()(xhxfxgxf ,则 )()(xhxg . 3. 若 )(),(),(xhxgxf 都是数域P上的多项式, 则 )()(xgxf)(xf 或者 )()(xgxf)(xg . 三 解答题 1. 设 )2()1()2()( 22 xxcxbxaxf , 试确定 cba, , 使 )(xf (i)零次多项式; (ii) 零多项式; (iii)一次多项式 5x . 2. 若 )(),(xgxf 是实数域上的多项式, 证明:若 , 0)()( 22 xgxf 则 0)()(xgxf . B 组 1.设 )(),(),(xhxgxf 是实数域上的多项式, 证明:若 ),()()( 222 xxhxxgxf 则 3 0)()()(xhxgxf . 2.求一组满足上式的不全为零的复系数多项式. 3. 次数定理中,式子 )(),(max)()(xgxfxgxf 何时等号成立?何时小于号成立? 2 一元多项式达标训练题解答 A 组 一 填空题 1 1 110 nn nn a xaxa xa i ix a i a 0 a 2.i iii v 3. 0非零常数 4. 1 1 k i ikib a . 二 判断题 1(F) 2. (F).; 3.(F). 三 解答题 1解 因为 222 ( )(2)(1)(2)()f xa xb xc xxac x(2)abc x )24(cba .利用多项式相等的定义的: (i) 024 02 0 cba cba ca (ii) 024 02 0 cba cba ca (iii) 524 12 0 cba cba ca 即(i)当 0,3,ccbca 时, )(xf 为零次多项式; (ii)当 0cba 时 )(xf 为零多项 式;(iii) 6,17, 6cba 时 )(xf 是一次多项式 5x . 2证明 设 01 )(axaxaxf n n 01 )(bxbxaxg m m 则 )()( 22 xgxf 的第k次项系数为 )( 0 iki k i iki bbaa =0,当 0k 得 0 00 ba ,当 1k 时得 0 2 1 2 1 ba ,进 而 0 11 ba ,同样地,得到 0 22 ba .因此 0)()(xgxf B 组 1 证明 若 0)(xg (或 0)(xh )显然得 )()()( 222 xxhxxgxf 是一个奇次多项式, 这是不可能的.又若 0)(xf ,则 )(),(xhxg 不全为零,因此也得 )()()( 222 xxhxxgxf 是一个奇次多项式, 这也是不可能的. 所以 0)()()(xhxgxf 2解 取 1)(),1()(,2)(xxhxixgixxf 则 )()()( 222 xxhxxgxf . 3 解 当两个多项式次数不等时或者虽然相等但最高次项系数不是相反数 时,等号成立; 其余情形小于号成立. 4 3 整除的概念达标训练题 A 组 一 填空题 1. )(),(),(xhxgxf 都是 xP 中的多项式,若 )()()(xhxgxf ,则称 整 除 称 为 的因式 为 的倍式记为 . 2. 若 0)(, 0)(),()()()(xrxgxrxqxgxf 或 )()(xgxr ,那么 除 的商式是 ,余式是 ,这里 )(),(),(xPxrxgxf . 二 判断题 1. 零多项式能够整除任意多项式. 2. 整除任意多项式能够被零次多项式整除. 3. 若 )()(),()(xfxgxgxf , 则 )()(xgxf . 4. 若 0)(),()()()(xgxrxqxgxf ,则满足该式的多项式 )(),(xrxq 有且只有一对. 5.若 )()()(xhxgxf ,则 )()()()(xhxfxgxf或 . 三 解答题 1 设 baxxxxf 23 2)( 2)( 2 xxxg )(xg 除 )(xf 的余式 12)(xxr 求 ba, . 2. 如果 )()()(),()()( 2121 xfxfxgxfxfxg , 则 )()(, )()( 21 xfxgxfxg . 2 如果x不整除 )(xf 与 )(xg 则 x不整除 )(xf 与 )(xg 的乘积. 3. 证明 pnmxxxxx pnm ,1 231332 是非负整数. 4. 证明 如果 )()(xfxh , ( ) |( )h xg x , 则 ( ) | ( )( )h xf xg x ; 如果 ( ) |( ),( ) |( )h xfxh xg x ,则 ( ) |( )( )h xf xg x 不一定成立. B 组 一 多项选择题 1. )(xf 是 任 意 多 项 式 , c 是 非 零 常 数 , 则 下 列 结 论 成 立 的 是 . (A) )(0xf ;(B) 0)(xf ;(C) 00 ; (D) c0 ;(E) 0c ;(F) cxf)( ;(G) )(xfc ;(H) )()(xfxcf . 2.若在 xP 中, )(xg 整 除 )(xf 为强 调 数域 我 们记 )()(xfxg P . 设 5 )(),(xQxgxf 下列结论 正确的有 . (A)若 )()(xfxg Q ,则 )()(xfxg R ;(B) 若 )()(xfxg R ,则 )()(xfxg q ; (C)若 )()(xfxg Q ,则 )()(xfxg R ;(D)若 )()(xfxg R ,则 )()(xfxg q . 3. 设 )()(),()(xgxpxfxp ,则 )(xp 整除于 . )()(xgxf ; )()( 22 xgxf ; )()(xgxf ; )()( 33 xgxf . 二 证明题 1. 证明 )(xfx k 的充分必要条件是 )(xfx . 2. 证明 11 3691234578 xxxxxxxxxx . 3. 证明 1 d x 整除 1 n x 的充要条件是 nd . 4. 证明, 若 )()()(1 424423 xhxxxgxfxxx ,则 1x 同时整除 )(),(),(xhxgxf . 与例 2 联系,将此题推广到一般结果,并证明你的结论. 5. 对照多项式的整除性理论讨论整数的整除性理论. 3 整除的概念达标训练题解答 A 组 一 填空题 1 )(),(xhxg )(xf )(),(xhxg )(xf )(xf )(),(xhxg )()(),()(xfxhxfxg )(xg )(xf 2. )(xq )(xr . 二 判断题 1.(F) 2. (T) 3. (F); 4.(F); 5.(F) 三 解答题 1解 利用带余除法得 )2()1)()(baxxxgxf 所以 12)2(xbax 即 3, 2ba . 2证明 )()()(),()()( 2121 xfxfxgxfxfxg , 利用整除性的性质我们有 )()( 2 1 )()( 2 1 )( 2121 xfxfxfxfxg 即 )()(, )()( 21 xfxgxfxg . 3证明 若 )()(xgxfx , x不整除 )(xf 与 )(xg 则存在常数 0, 0 21 rr ,使 2211 )()(,)()(rxxqxgrxxqxf , 所以 )()()()( 21 xqxxqxxgxf 2112 )(rrxqr , 由于 )()(xgxfx , 所以 2 1r rx ,得出矛盾.即x不能整除 )()(xgxf 证明 由于三次单位根 21, 都是 23133 pnm xxx 的根即 1 2 xx 的根都是 23133 pnm xxx 的根. 从而 pnmxxxxx pnm ,1 231332 . 4. 证明 因为 2 12 1()(),xxxx 其中 (1, 2) i i 是三次单位虚根, 而 33132 0 mnp iii ,即 33132 (1,2) mnp i xxxxi ,再利用 12 ,xx 互素 6 得到 33132 12 ()() mnp xxxxx , 即 233132 1 mnp xxxxx 5 证明 如 果 )()()(xgxfxh , 因 为 )()(xfxh , 由 整 除 性 性质 得 : )()()()(xfxgxfxh ,即 )()(xgxh ,与 )()(xgxh 矛盾, 所以 )()()(xgxfxh . B 组 一 多项选择题 1B,C,E,G,H 2.(A)(D);3. 二、证明题 1证明 充分性显然,仅证必要性. 设 rxxqxf)()( ,则 )()()(xqxCrxxqxf kko k kk rxqxC kk k )( 111kk k kk k rCrxxqC 11 )( k rxxp)( 因为 )(xfx 且 )(xxpx 由整除性的性质得 )(xfx k . 2证明 利用带余除法, )1 )(1(1 2343457836912 xxxxxxxxxxxxxx 所以 11 3691234578 xxxxxxxxxx . 3证明 充分性显然,仅证必要性. 设 rdqn 若 drr, 0 , )1()1(11 rrdqrdqn xxxxx ,而 11 dqd xx ,因此 11 rd xx ,得出矛盾.所以 0r ,即 nd . 4证明 因为 )3 , 2, 1( 4 s i n 4 k k i k c o nwk 是 1 23 xxx 的根, 显 然 )()()( 4244 xhxxxgxfwx k ,即 0)1 ()1 ()1 ( 2 hwgwf kk ( 3 , 2 , 1k ), 从而 0) 1 () 1 () 1 (hgf . 一般地,我们有如下的结果: 若 )()()(1 1 2 21 21n n nnnnn xfxxxfxfxxx ,则 1, 2, 1),(1nixfx i . 事实上,设 iii rxqxxf)()1()( ,则 i n i nn i rxqxxf)()1()( ,进一步有 )()( )()()(1()()()( 1 2 211 2 211 2 21 n nn n n nnnn n nnn rxxrrxqx xxqxqxxfxxxfxf 由于 )()()(1 1 2 21 21n n nnnnn xfxxxfxfxxx , )()()()1(1 1 2 21 21n n nnnnnn xqxxxqxqxxxx 则 1 1 21 21 1 n nnn rxxrrxxx . 5参见张禾瑞先生的高等代数 第三版 高等教育出版社教材或 7 者初等数论教材. 4 最大公因式达标训练题 A 组 一、填空 1对于任意两个多项式 ),(),(xgxf 它们总有公因式 我们称 它为平凡公因式. 2两个零多项式的做大公因式是 . 3 零 多 项 式 与 任 意 多 项 式 )(xf 的 最 大 公 因 式 是 . 4若 ),()(xfxg 则 )(),(xfxg 的最大公因式是 . 5 xxgxxf1)(,1)( 2 则 )(),(xgxf ,取 )(xu , )(xv = ,使 ).(),()()()()(xgxfxvxgxuxf 6.若 , 1)()()()(xvxgxuxf 则 )(xu 与 )(xv . 二、判断题 1.若 )(xd 是 )(),(xgxf 的最大公因式则 )(xcd 也是 )(),(xgxf 的最大公因式 c( 是 常数. 2. 存在惟一一对多项式 ),(),(xvxu 使 ).(),()()()()(xgxfxvxgxuxf 3若 , 1)(),(xgxf 则存在惟一一对 ),(),(xvxu 使 . 1)()()()(xvxgxuxf 4若 )(),(xgxf 不全为零则 . 1) )(),( )( , )(),( )( ( xgxf xg xgxf xf 5由于16,8=8,所以多项式 8 与 16 不互素. . )(xf 与 )(xg 的次数最高的公因式是最大公因式. 三、解答题 1. 判 定 32)(, 1363)( 223 xdxxgxxxxf 是 否 互 素 , 并 求 ),(),(xvxu 使 ).(),()()()()(xgxfxvxgxuxf 2. 证明: ).()(),()()(),()(),(xgxfxfxgxfxfxgxf 3. 证明:两个多项式 )(),(xgxf 都与 )(xh 互素的充要条件是它们乘积 )()(xgxf 与 )(xh 互素. 4. 若 , 1)(),(xgxf 则 . 1)(),(xgxf mm B 组 一、 选择题 1. 若 ),()(),(xdxgxf 则 成立. (A) );()()(),(xdxgxfxf (B) );()()()().()(xhxdxhxgxhxf (C) ).()()()(),()()();()(),( , xhxdxhxgxhxfDxdxgxf nmmm 2. 若 , 0)(xf 且 ),()()()()(),()(, )(xdxvxgxuxfxdxgxf 则 错 误 结 是 . ; 1) )( )( , 0( )( )();()(),()( xd xg xd xf BxdxgxfA nnn 8 ).()(),()()();()(),()(xdxgxgxfDxdxvxuC 3.(多项选择)若 ),()()()(xrxqxgxf 则 成立. ),()(),()(xgxgxfA( );r x( )( ),( )( ), ( )Bf xg xf xr x ).(),()(),()( );(),()(),()();(),()(),()( xrxqxqxfE xqxgxrxfDxrxqxgxfC 二、 解答题 1. 确定k,使 24)6( 2 kxkx 与 kxkx2)2( 2 的最大公因式是一次的. 2.设 )(),(xgxf 不全为零,则 )(xf 与 )(xg 的次数最高的公因式是最大公因式;反 之, )(xf 与 )(xg 的最大公因式都是次数最高的公因式. 3. 证明:若 , 1)(),(xgxf 且 , 0)(, 0)(xgxf 那么存在惟一第一对多项式 ),()(),()(),(),(xfxvxgxuxvxu 使 1)()(, 0()(xvxgxuxf 4. 依照两个多项式的最大公因式式理论,讨论的有限多个多项式的最大公 因式的理论(定义,存在性,求法,互素). 4 最大公因式达标训练题解答 A 组 一、 填空题 1 零 次 多 项 式 2. 零 多 项 式 ;3. 多 项 式 ( )cf x c 为 零 次 多 项 式;4. )(xcg ,c为零次多项式; 5. 1, 1xx ;6.互素. 二、判断题 1 F2.F;3.F;4.T;5.F;6.F. 三、解答题 1. 解:通过辗转相除法求得 1)(),(xgxf , 97 36 97 33 97 18 )(, 97 11 97 6 )( 2 xxxvxxu . 2.证明:设 )()(),(xdxgxf ,容易证明 )(xd 是 )()(),(xgxfxf 的公因式; 对 )()(),(xgxfxf 的任意公因式,容易证明它是 )(),(xgxf 的公因式,从而它整 除于 )(),(xgxf 的最大公因式 )(xd .即 )()(),(xgxfxf 的任意公因式整除于它 的公因式 )(xd ,所以 )(xd 是 )()(),(xgxfxf 的最大公因式. 3.证明: 1)(),(xhxf , 1)(),(xhxg ,则存在 )(),(xvxu 与 )(),(xqxp ,使 1)()()()(xhxvxfxu , 1)()()()(xqxhxpxg , 以 上 两 式 相 乘 容 易 得 到 1)()()()()(xhxVxgxfxU ,故 1)(),()(xhxgxf .反过来若 1)(),()(xhxgxf 则存在 )(),(xvxu 使 1)()()()()(xvxhxuxgxf 若令 )()()(xpxuxg 则有 1)()()()(xvxhxpxf 故 1)(),(xhxf 同样的若令 9 )()()(xqxuxf 则有 1)()()()(xvxhxqxg 故 1)(),(xhxg . 4 证明首先利用上题及归纳法容易证明若 1)(),(xgxf 1)(),(xgxf m 同样的利用归纳法证明 1)(),(xgxf nm . B 组 一、 选择题 1 A(D)2.C;3. (A,E) 二、 解答题 1解 利用辗转相除法容易得到: )224()()(kxxgxf , ) 1)(3( 4 1 ) 2 3 2 )(224( 4 1 )(kk k xkxxg 因此最大公因式是一次的条件是 3k 或者 1k . 2.证明 设 )(xd 是 )(),(xgxf 的次数最高的公因式, )( 0 xd 是 )(),(xgxf 的最 大公因式,所以 )()( 0 xdxd ,而 0)( 0 xd 因此 )( 0 xd 的次数等于 )(xd 的次数,从而 )()( 0 xcdxd .故 )(xd 是 )(),(xgxf 的最大公因式式.反之,若 )( 0 xd 是 )(),(xgxf 的最大公因式,由于 )(xd 是公因式,因此 )()( 0 xdxd ,所以要么 )(xd 是零多项式, 要么 )(xd 的次数不大于 )( 0 xd 的次数.但 0)( 0 xd ,所以 )(xd 的次数不大于 )( 0 xd 的次数.故 )( 0 xd 是 )(),(xgxf 的次数最大的多项式. 3.证明: 由 互素的充分必要条件知存在 )(),(xvxu 使 1 gvfu . 首 先 证 明 若 gu , 必 有 fv . 由 gvfu 1gvfu , 所 以 vguf ,因此若 gu ,必有 fv . 其次证明如果,可以重新选取 11,v u ,使 11,v u 符合要求. 由 带 余 除 法 定 理 知 存 在 rq, 使 grrrgqu0, , 所 以 1)(gvrgqf .若 0r 上式为 1)( vfqg ,可得到 0g 与已知矛盾.若 gr ,上式为 1)(vfqgfr ,由(1)知 fvfq)( 令 11, vvfqur ,则 有 1 11 gvfu . 最后证明唯一性. 如果存在 2211 ,;,vuvu , 2, 1, 1, 1 2211 ifvgugvfugvfu ii 则 )()( 1221 vvguuf ,因为 1),(gf ,所以 12 vvf ,故 21 vv ,同样的 21 uu . 4.(参照张禾瑞编高等代数) 10 5 因式分解定理达标训练题 一、填空题 1. )(xp 是不可约多项式, ,)(xPxf 若 )(xp )(xf ,则 . 2. )(xp 是不可 约多 项式, ,)(xPxf 则 )(xp 与 )(xf 互 素的充 要 条件 是 . 3.判定多项式 2 x+2在数域 P 上的可约性.(i)P=Q 时 ; )(ii P=R 时 ; )(iii P=C 时 . 4. )(xf = )42(x 2 3 )33(x)2(x 的标准分解式是 . 5. )(xf =2 )2(x 3 )1()4( 24 xx , )(xg =4 )3(x) 1( x 2 )2(x 2 , 则 ( )(xf , )(xg )= . 二、 判断题 1. 任意数域上都有不可约多项式. 2. 若 )(xh )(xf )(xg ,则 )()(xfxh 或 ).()(xgxh 3. )(xp 是不可约多项式, )()(xfxp 且 )()(xgxp ,则 )()()(xgxfxp . 三、 解答题 1.分别在有理数、实数域、复数域上分解 1 4 x 为不可约多项式的乘积. 2.证明:若 )(xp 不可约, )(xp ( )(xf + )(xg ), )(xp)(xf)(xg ,则 )(xp)(xf ,且 )(xp)(xg .若 )(xp 可约,上述结论是否成立?为什么? 3. )(xp 是次数大于零的多项式,若 )(xp 与任一多项式 )(xf 的关系只有两种 情况( )(xp , )(xf )=1, 或 )(xp)(xf , )(xp 是否是不可约的?并说明理由. 4.若 )(xf 是次数大于零的首项系数为 1 的多项式,证明 )(xf 是不可约多项式 的方幂的充要条件是:对任意的多项式 )(xg ,或者( )(xf , )(xg )=1,或者存在正整数 m,使 )()(xgxf m . 5 因式分解定理达标训练题解答 一、填空题 1. 1)(),(xfxp ; 2. )(xp 不整除于 )(xf 3. 不可约, 不可 约,可约; 4. 32 ) 1()2)(2(36xxx ; 5. 1. 二、判断题 1.T; 2.F; 3.F . 三、 解答题 1. 解 在有理数 1 4 x 为不可约多项式, 因此在有理数 1 4 x 的 分解式为其本身. 在实数域: 422 1(21)(21)xxxxx 11 在复数域上: )()()()(1 2 3 2 3 2 1 2 1 224 ixixixixixixx . 2. 证明:若 )(xp 不可约, 由 )(xp)(xf)(xg ,则 )(xp)(xf 或 )(xp)(xg .若 )(xp)(xf 成立, 又 )(xp ( )(xf + )(xg ),所以 )(xp)(xf)(xg ,则 )(xp)(xg 成立; 同样地若 )(xp)(xg 成立利用 )(xp ( )(xf + )(xg )得到 )(xp)(xf 成立.总之有 )(xp)(xf 与 )(xp)(xg 同时成立. 若 )(xp 可约,上述结论不成立.事实上取 ,)(,)(,)( 22 xxxgxxfxxp 则 )()()(xgxfxp 且 )(xp ( )(xf + )(xg ),但 )(xp 即不整除 0(xf 也不整除 )(xg . 3. )(xp 是不可约多项式. 证明如下: 若 )(xp 可约,则存在 )2, 1)()(0),(ixpxpxp ii ,使 )()()( 21 xpxpxp , 利用题设可以得出( )(xp , )(xpi )=1 或者 )()(xpxp i ,而事实上,这两种结果都不能 成立.因此 )(xp 可约的假设不正确. 4证明:必要性.设 )()(xpxf m ( )(xp 为不可约多项式),显然对任意的 )(xg , 若 1)(),(xgxp ,则 1)(),()(),(xgxpxgxf m ,若 )()(xgxp ,则 )()(xgxp mm , 即存在正整数m,使 )()(xgxf m . 充 分 性 : 设 ) 1)()( , 0)()()()()( 1111 xfxpxfxpxfxpxf k 不可约 , 取 )()( 1 xpxg ,则( )(xf , )(xg )=1 不成立, 且对任意正整数m, )()(xgxf m 不成立.故 ) 1)()( , 0)()()()()( 1111 xfxpxfxpxfxpxf k 不可约 不成立.即 )(xf 是不可 约多项式的方幂. 6 重因式达标训练题 一、 填空题 1.设多项式 )(xf = 22 )4x 2 )2(x)2(x)3(x ,则 )(xf 的单项式是 , 重因式是 ,它们的重数分别是 . 2.若 )(xp 是 )(xf 的 5 重因式,则 )(xp 是 的 3 重因式, 的单项式. 3. )( 2 xf 的微商是 . 4. 与 )(xf 有相同的不可约因式,但无重因式. 5, )(xp 是( )(xf , )( / xf )的 ) 1(kk 重因式,则 )(xp 是 )(xf 的 重因 12 式. 一、 判断题 1. )(xp 是 )(xf 的k重因式,则 )(xp 是 )( / xf 的 1k 重因式 )1(k 2., )(xp 是 )( / xf 的k重因式,则 )(xp 是 )(xf 的 1k 重因式. 2 多项式的重因式不因数域的扩大改变. 四、解答题 1. 判断下列多项式有无重因式,若有,求出重因式. (i) )(xf = 354 23 xxx ;(i i) )(xf = 3 x 1 2. 将 )(xf = xxx 23 2 单项式化,然后分解因式. 3. 证明: )(xf =1+ !2 2 n xx x n 没有重因式. 4. a,b满足什么条件,baxx 3 3 有重因式. 6 重因式达标训练题解答 一、 填空题 1. 3x , 2x 与 2x , 4 与 3; 2. )(x f ; 3. )()(2xfxf ; 4. )(),( )( xfxf xf ; 5. 1k . 二、 判断题 1.F; 2.T; 3.F. 三、 解答题 1. 解 : (1) 利 用 辗 转 相 除 法 容 易 求 出 1)(),( x fxf , 所 以 )(xf = 354 23 xxx 无重因式. (2)同(1). 2. 解容易计算 )1()(),(xxfxf 所以 1x 是 )(xf 的二重因式又 ) 1( )(),( )( xx xfxf xf 故 )(xf = 2 ) 1(xx xxx 23 2 . 3. 证明: 12 )!1( 1 !2 1 1)( n x n xxxf , 1) )!1( 1 1 , ! 1 ()(),()()(),( 1 nn x n xx n xfxfxfxfxf .故无重 因式. 4.解: 显然当 0ab 时 baxx3 3 有三重因式x当 0,0ab 时 13 baxx3 3 无重因式 当 0a 时 当 2 0 4 b a a 时 2 ( ),( )2 2 b f xfxxxa a baxx3 3 有二重因式 2 2xa 7 多项式函数达标训练题 A 组 一、 填空题 1.多项式 有无穷多个根. 2,若 )(xf = 234 32xxx ,则 )2(f = , )(xf 的根是 , 重根是 ,其重数是 . 3.是多项式 )(xf 微商的k重根,则 是 )( )3( xf 的 重根.这里 k5. 4.若是 )( / xf 的k重根,且满足 , 是 )(xf 的 1k 重根. 二、 判断题 1. 若 )(xf 没有重根,则 )(xf 没有重因式. 2. 若 )(xf 没有根,则 )(xf 不可约. 3. )(xf 没有重根,( )(xf , )( / xf )=1 4. ( )(xf , )( / xf )=1,则 )(xf 无重根. 三、 解答题 1. 求一个次数小于 3 的多因式,使 f (2)=1, ) 1(f =2, f (3)=2. 2. 证明多项式 )(xf = !)1( 21 nxnnnxx nnn 无重根. B 组 1. 求一个满足下列条件的三次多项式: (i) 3x )(xf ;(ii) 3x 除 )(xf 的余数是 4; (iii) )(xf 被 2x , 2x 除的余数相 等. 2. 证明 xsin 不能表示成x的多项式. 3. 多项式 )(xf 满足 )(xf = )(bxf 求证: )(xf 是常量,这里 0b . 4. 证明:如果 )()()(1 4 3 24 2 4 1 23 xfxxxfxfxxx 则 f (1)=0,=1,2,3. 5. 设 )(xf 和 )(xp 是有理系数多项式, )(xp 在 Q 上不可约,若 )(xf 与 )(xp 有 一个公共复根,则 )()(xfxp . 7 多项式函数达标训练题答案 A 组 一、 填空题 14 1零多项式2.-12, 0(二重),3,-1, 0,2; 3. 4k ; 4. 是 )(xf 的根; 二、判断题 1F2.F; 3.F; 4.T. 三、解答题 1解 利用拉格朗日插枝公式 1 3 2 3 1 )1(3)(23( )1()(2(2 )31)(21( )3)(2(2 )32)(1(2( )3)(1(1 )( 2 xx xxxxxx xf 2.证明 )!1()2)(1() 1()( 221 nxnnnxnnnxxf nnn 所以 )()(),()(),(xfxfxfxfxf),)!1()2)(1() 1( 321nnnn xnxnnnxnnnx =1. 所以 )!1()2)(1()1()( 21 nxnnnxnnnxxf nnn 无重根. B 组 1 解设 )()3()(xgxxf cbxaxxg 2 )( 则 cxbcxabaxxf3)3()3()( 2 利用综合除法得到用 3x 除 )(xf 得余数 461854cba , 用 2, 2xx 除 )(xf 得 到 的 余 式 分 别 是 20510, 42baba .由题设得到下列方程组 cbacba cba 5102024 461854 由此解出一个解 0 45 8 45 6 c b a . 2 证明若 xsin 表示成一个n次多项式则它最多只能有n个根因此 它是 0.事实上 0sinx . 3 证明 令 )0)()()(bbxfxfxg 则 )(xg 若不是零多项式则 其常数项为 0)(bf 从而 ,2, bb 都是 )(xf 根这样 0)(xf .若 )(xg 不是 0 多项式而它有无穷多个根. 4 证明考虑四次单位根4 2 sin 4 2 cos k i k k 3 , 2, 1k 显然 )(1 4 3 1 23 xxxx k则4 2 sin 4 2 cos k i k k 是 )()()( 424 2 2 1 xfxxxfxf 的根 即 )3 , 2, 1(0)1 ()1 ()1 ()1 ( 3211 kffff kkk 进一步得 0)1 ( k f . 5 证明 首先多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变.因此若 )(xp 在有理数域上不能整除于 )(xf 则无论在有理数域还是复数域均有 1)(),(xfxp 而事实上在复数域上 1)(),(xfxp 不成立.因此 )(xp 在有理数 15 域上整除于 )(xf . 8 复数域与实数域上多项式的因式分解达标训练题 A 组 一、填空题 1复数域上不可约多项式是 实数域上不可约多项式 是 . 2. )(xfxR 是首项系数为 1 的 7 次多项式,且 )(xf 有 2 重根 i 32 ,单根 0、 1、-2则 )(xf 的标准分解式是 . 3. )(xf = 3 xRqpxx , 有 一 须 根 ,bia 则 )(xf 的 所 有 根 是 . 4. 4 4 x 在复数域上分解式是 .在实数域上的分解式 是 . 二、解答题 1. 求有单根 i21 及 2 重根 1 懂得次数最低的受项系数为 1 的复系数多项 式和实系数多项式. 2. 证明:奇数次实系数多项式必有实根. 3. 设 )(xp 是R上不可约多项式,对于 )(xfxR ,如果 )(xp 与 )(xf 在C中有多 项式,证明 )()(xfxp . B 组 1.( 选 择 填 空 ) 若 多 项 式 )(xf 的 各 项 系 数 都 同 号 , 那 么 )(xf . (i)无实根;(ii)无复实根;(iii)无正实根;(iv)既有正根又有负根. 2.在 C 和 R 上分解 1 n x 为不可约因式之积. 3.设 )(xf 表示把多项式 )(xf 的系数换成它们的公轭复数所得到的多项式.证 明: (i)若 )()(xfxg ,则 )()(xfxf ; (ii)( )(xf , )(xf )= )(xd 是实系数多项式. 8 复数域与实数域上多项式的因式分解达标训练题解 答 A 组 一、 填空题 1 一 次 多 项 式 一 次 与 部 分 二 次 不 可 约 多 项 式 2. 22 )74)(2)(1(xxxxx 3.2 a2 biabia, 16 4. )2)(2)(2)(2(ixixxx )2)(2)(2( 2 xxx . 二、解答题 1解在复数域上 )21)(21()1()( 2 ixixxxf , 在实数域上 )32()1()( 22 xxxxf . 2 .证明: 若无实根,则该多项式全是虚根,而实系数多项式的虚根 成对出现,因此与多项式是奇数次的矛盾. 3 证明: 首先多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变.因此若 )(xp 在 实 数 数 域 上 不 能 整 除 于 )(xf 则 无 论 在 实 数 数 域 还 是 复 数 域 均 有 1)(),(xfxp 而事实上在复数域上 1)(),(xfxp 不成立.因此 )(xp 在实数域 上整除于 )(xf . B 组 1 iii 2解在实数域上 1 1(1)(1) nn xxxx 在复数域上 011 22 1()()(),cossin,0,1,1 n nk kk xxxxikn nn . 3 证明 (i)若 )()(xfxg ,则存在 ( ),( )( ) ( )h xf xg x h x 利用共轭复数的运 算性质喝多项式乘法法则有 ( )( ) ( )f xg x h x 故 ( )( )g xf x ; (ii)由于 ( )( )f xf x 是实系数多项式 ( ),( )( ),( )( )f xf xf xf xf x , 故( ( ),( )( )f xf xd x 是实系数多项式. 9 有理数域上多项式 达标训练题 A 组 一、填空题 1.设 )(xf 是数域P上的不可约多项式, )(xf =n,若P=C,则n= .; 若 P=R,则n= ; 若 P=Q,则n= . 2.若整系数多项式 )(xf 不存在素数 p满足艾氏判别法的条件,则)(xf 的 Q 上 . 3. 12 2 1 3 34 xxx 所有可能的有理数根是 . 二、 判断题 1. 若不存在素数 p能整除整系数多项式)(xf 的所有系数,则 )(xf 是本原的 2. 任何一个有理系数多项式都能表示成一个有理数与本原多项式之积. 3. 若 )(xf 是次数1 的整系数多项式,则 )(xf 在 Q 上可约 )(xf 能分解成 两个次数较低的整系数多项式的乘积. 4. )(xf Q x 有无理根,则 )(xf 在 Q 上不可约. 三、 解答题 1. 把下列多项式表示成一个有理数与本原多项式的乘积. 17 )(i ; 462 23 xx )(ii .2 7 1 3 1 3 xx 2. 证明下列多项式在 Q 上不可约. )(i13)(1)( ;642 3234234 xxiiixxxxiixxx 3. 用试根法求 43 23 xx 的有理根. 4. 证明 3 2是无理数. B 组 1. 5 次 有 理 系 数 多 项 式 )(xf 在 Q 上 可 约 , 则 下 类 断