2005-2017考研数学一真题纯试题排版打印版.pdf

2005 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学(一一)试卷试卷 一、填空题一、填空题(本题共本题共 6 小题小题,每小题每小题 4 分分,满分满分 24 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) (1)曲线 12 2 x x y的斜渐近线方程为 _. (2)微分方程xxyyxln2满足 9 1 ) 1 (y的解为_. (3)设函数 18126 1),( 222 zyx zyxu,单位向量1 , 1 , 1 3 1 n ,则 )3 , 2, 1( n u =._. (4)设是由锥面 22 yxz与半球面 222 yxRz围成的空间区域,是的整个边界的外侧,则 zdxdyydzdxxdydz_. (5)设 123 , 均为 3 维列向量,记矩阵 123 (,)A , 123123123 (,24,39)B , 如果1A,那么B. (6)从数 1,2,3,4 中任取一个数,记为X, 再从X, 2 , 1中任取一个数,记为Y, 则2YP=_. 二、选择题二、选择题(本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 4 分分,满分满分 32 分分.每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求,把所选项前 的字母填在题后的括号内 把所选项前 的字母填在题后的括号内) (7)设函数 n n n xxf 3 1lim)( ,则( )f x在),(内 (A)处处可导(B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点 (8)设( )F x是连续函数( )f x的一个原函数,“NM 表示“M的充分必要条件是“,N则必有 (A)( )F x是偶函数( )f x是奇函数(B)( )F x是奇函数( )f x是偶函数 (C)( )F x是周期函数( )f x是周期函数(D)( )F x是单调函数( )f x是单调函数 (9)设函数 yx yx dttyxyxyxu)()()(),(, 其中函数具有二阶导数,具有一阶导数,则必有 (A) 2 2 2 2 y u x u (B) 2 2 2 2 y u x u (C) 2 22 y u yx u (D) 2 22 x u yx u (10)设有三元方程lne1 xz xyzy,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程 (A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数( , )zz x y (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数( , )xx y z和( , )zz x y (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数( , )yy x z和( , )zz x y (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数( , )xx y z和( , )yy x z (11)设 21, 是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为 12 , ,则 1 , 12 ()A 线性无关的充分必 要条件是 (A)0 1 (B)0 2 (C)0 1 (D)0 2 (12)设A为(2)n n 阶可逆矩阵,交换A的第 1 行与第 2 行得矩阵 * .,BA B分别为,A B的伴随矩阵,则 (A)交换 * A的第 1 列与第 2 列得 * B(B)交换 * A的第 1 行与第 2 行得 * B (C)交换 * A的第 1 列与第 2 列得 * B(D)交换 * A的第 1 行与第 2 行得 * B (13)设二维随机变量(, )X Y的概率分布为 XY01 00.4 a 1b0.1 已知随机事件0X与1YX相互独立,则 (A)0.2,0.3ab(B)0.4,0.1ab (C)0.3,0.2ab(D)0.1,0.4ab (14)设)2(, 21 nXXX n 为来自总体(0,1)N的简单随机样本,X为样本均值, 2 S为样本方差,则 (A) 1 , 0( NXn(B) 22 ( )nSn (C) 1( ) 1( nt S Xn (D) 2 1 2 2 (1) (1,1) n i i nX Fn X 三 、解答题三 、解答题(本题共本题共 9 小题小题,满分满分 94 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分 11 分) 设0, 0,2),( 22 yxyxyxD,1 22 yx 表示不超过 22 1yx 的最大整数. 计算二重积分 D dxdyyxxy.1 22 (16)(本题满分 12 分) 求幂级数 1 21 ) ) 12( 1 1 () 1( n nn x nn 的收敛区间与和函数( )f x. (17)(本题满分 11 分) 如图,曲线C的方程为( )yf x,点(3,2)是它的一个拐点,直线 1 l与 2 l分别 是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数( )f x具有三阶 连续导数,计算定积分 3 0 2 .)()(dxxfxx (18)(本题满分 12 分) 已知函数( )f x在0,1上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1ff. 证明: (1)存在),1 , 0(使得1)(f. (2)存在两个不同的点) 1 , 0(,使得. 1)()(ff (19)(本题满分 12 分) 设函数)(y具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分 24 ( )2 2 L y dxxydy xy 的值恒为 同一常数. (1)证明:对右半平面0x 内的任意分段光滑简单闭曲线,C有 24 ( )2 0 2 C y dxxydy xy . (2)求函数)(y的表达式. (20)(本题满分 9 分) 已知二次型 21 2 3 2 2 2 1321 )1 (22)1 ()1 (),(xxaxxaxaxxxf的秩为 2. (1)求a的值； (2)求正交变换xyQ,把),( 321 xxxf化成标准形. (3)求方程),( 321 xxxf=0 的解. (21)(本题满分 9 分) (22)已知 3 阶矩阵A的第一行是cbacba,),(不全为零,矩阵 123 246 36k B(k为常数),且ABO,求线性方 程组0x A的通解. (22)(本题满分 9 分) 设二维随机变量(, )X Y的概率密度为 ( , )f x y 1 0 01,02xyx 其它 求:(1)(, )X Y的边缘概率密度)(),(yfxf YX . (2)YXZ2的概率密度).(zfZ (23)(本题满分 9 分) 设)2(, 21 nXXX n 为来自总体(0,1)N的简单随机样本,X为样本均值,记., 2 , 1,niXXY ii 求:(1) i Y的方差niDYi, 2 , 1,. (2) 1 Y与 n Y的协方差 1 Cov( ,). n Y Y 2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学(一一)试卷试卷 一、填空题一、填空题(本题共本题共 6 小题小题,每小题每小题 4 分分,满分满分 24 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上) (1) 0 ln(1) lim 1 cos x xx x . (2)微分方程 (1)yx y x 的通解是. (3)设是锥面 22 zxy(01z)的下侧,则23(1)xdydzydzdxzdxdy . (4)点(2,1, 0)到平面3450xyz的距离z=. (5)设矩阵 21 12 A,E为 2 阶单位矩阵,矩阵B满足2BABE,则B=. (6)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间0,3上的均匀分布,则max, 1PX Y=. 二、选择题二、选择题(本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 4 分分,满分满分 32 分分. 每小题给出的四个选项中每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求,把所选项 前的字母填在题后的括号内 把所选项 前的字母填在题后的括号内) (7)设函数( )yf x具有二阶导数,且( )0,( )0fxfx,x为自变量x在 0 x处的增量,y与dy分别为 ( )f x在点 0 x处对应的增量与微分,若0x ,则 (A)0dxy (B)0ydy (C)0ydy (D)0dyy (8)设( ,)f x y为连续函数,则 1 4 00 ( cos , sin )df rrrdr 等于 (A) 2 2 1 2 0 ( ,) x x dxf x y dy (B) 2 2 1 2 00 ( ,) x dxf x y dy (C) 2 2 1 2 0 ( ,) y y dyf x y dx (C) 2 2 1 2 00 ( ,) y dyf x y dx (9)若级数 1 n n a 收敛,则级数 (A) 1 n n a 收敛(B) 1 ( 1)n n n a 收敛 (C) 1 1 nn n a a 收敛(D) 1 1 2 nn n aa 收敛 (10)设( ,)f x y与( ,)x y均为可微函数,且 1( , ) 0 y x y.已知 00 (,)xy是( ,)f x y在约束条件( ,)0x y下的一 个极值点,下列选项正确的是 (A)若 00 (,)0 x fxy,则 00 (,)0 y fxy(B)若 00 (,)0 x fxy,则 00 (,)0 y fxy (C)若 00 (,)0 x fxy,则 00 (,)0 y fxy(D)若 00 (,)0 x fxy,则 00 (,)0 y fxy (11)设 12 , s 均为n维列向量,A是m n矩阵,下列选项正确的是 (A)若 12 , s 线性相关,则 12 , s AAA线性相关 (B)若 12 , s 线性相关,则 12 , s AAA线性无关 (C)若 12 , s 线性无关,则 12 , s AAA线性相关 (D)若 12 , s 线性无关,则 12 , s AAA线性无关. (12)设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C,记 110 010 001 P, 则 (A) 1 CP AP(B) 1 CPAP (C) T CP AP(D) T CPAP (13)设,A B为随机事件,且( )0,(|)1P BP A B,则必有 (A)()( )P ABP A(B)()( )P ABP B (C)()( )P ABP A(D)()( )P ABP B (14)设随机变量X服从正态分布 2 11 (,)N ,Y服从正态分布 2 22 (,)N, 且 12 | 1| 1,PXP Y则 (A) 12 (B) 12 (C) 12 (D) 12 三、解答题三、解答题(本题共本题共 9 小题小题,满分满分 94 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分 10 分) 设区域 D= 22 ,1,0x y xyx,计算二重积分 22 1 1 D xy Idxdy xy . (16)(本题满分 12 分) 设数列 n x满足 11 0,sin1,2,. n xxxn . 求:(1)证明lim n x x 存在,并求之. (2)计算 2 1 1 lim n x n x n x x . (17)(本题满分 12 分) 将函数 2 2 x f x xx 展开成x的幂级数. (18)(本题满分 12 分) 设函数 0,f u在内具有二阶导数 且 22 zfxy满足等式 22 22 0 zz xy . (1)验证 0 fu fu u . (2)若 10,11,ff求函数( )f u的表达式. (19)(本题满分 12 分) 设在上半平面 ,0Dx yy内,数,f x y是有连续偏导数,且对任意的0t都有 2 ,f tx tyt f x y. 证明: 对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有( , )( , )0 L yf x y dxxf x y dy . (20)(本题满分 9 分) 已知非齐次线性方程组 1234 1234 1234 1 4351 31 xxxx xxxx axxxbx 有 3 个线性无关的解, (1)证明方程组系数矩阵A的秩 2rA. (2)求,a b的值及方程组的通解. (21)(本题满分 9 分) 设 3 阶实对称矩阵A的各行元素之和均为 3,向量 12 1,2, 1,0, 1,1 TT 是线性方程组0xA的两个 解. (1)求A的特征值与特征向量. (2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得 T Q AQA. (22)(本题满分 9 分) 随机变量x的概率密度为 2 1 , 10 2 1 ,02, 4 0, 令 其它 x x fxxyxF x y 为二维随机变量(, )X Y的分布函数. (1)求Y的概率密度 Y fy. (2) 1 ,4 2 F . (23)(本题满分 9 分) 设总体X的概率密度为(,0)F X1 0 01 12 x x 其它 ,其中是未知参数(01), 12n ,.,XXX为来自总体 X的简单随机样本,记N为样本值 12 ,., n x xx中小于 1 的个数,求的最大似然估计. 2007 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学(一一)试卷试卷 一、选择题一、选择题(本题共本题共 10 小题小题,每小题每小题 4 分分,满分满分 40 分分,在每小题给的四个选项中在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求,把所选项 前的字母填在题后括号内 把所选项 前的字母填在题后括号内) (1)当0x 时,与x等价的无穷小量是 (A)1 e x (B) 1 ln 1 x x (C)11x(D)1 cosx (2)曲线 1 ln(1e ) x y x ,渐近线的条数为 (A)0(B)1 (C)2(D)3 (3)如图,连续函数( )yf x在区间 3, 2,2,3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周,在区间 2,0,0,2的图形分别是直径为 2 的上、下半圆 周,设 0 ( )( ) x F xf t dt.则下列结论正确的是 (A) 3 (3)( 2) 4 FF (B) 5 (3)(2) 4 FF (C) 3 (3)(2) 4 FF(D) 5 (3)( 2) 4 FF (4)设函数( )f x在0x处连续,下列命题错误的是 (A)若 0 ( ) lim x f x x 存在,则(0)0f(B)若 0 ( )() lim x f xfx x 存在,则(0)0f (C)若 0 ( ) lim x f x x 存在,则(0)0 f (D)若 0 ( )() lim x f xfx x 存在,则(0)0 f (5)设函数( )f x在(0, +)上具有二阶导数,且“( )0fx , 令( )1,2, , n uf nn则下列结论正确的是 (A)若 12 uu,则 n u必收敛(B)若 12 uu,则 n u必发散 (C)若 12 uu,则 n u必收敛(D)若 12 uu,则 n u必发散 (6)设曲线:( , )1Lf x y ( , )f x y具有一阶连续偏导数),过第 2 象限内的点M和第象限内的点,N 为L上从 点M到N的一段弧,则下列小于零的是 (A)( , )x y dx (B)( , )f x y dy (C)( , )f x y ds (D) ( , ) ( , ) xy fx y dxfx y dy (7)设向量组 123 , 线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A), 122331 (B), 122331 (C) 122331 2,2,2 (D) 122331 2,2,2 (8)设矩阵 211 121 112 A, 100 010 000 B,则A与B (A)合同,且相似(B)合同,但不相似 (C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似 (9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为01pp,则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中 目标的概率为 (A) 2 3 (1)pp(B) 2 6 (1)pp (C) 22 3(1)pp(D) 22 6(1)pp (10)设随即变量(, )X Y服从二维正态分布,且X与Y不相关,( )Xfx,( )Yfy分别表示,X Y的概率密度,则在 Yy的条件下,X的条件概率密度|( | )XYfx y为 (A)( )Xfx(B)( )Yfy (C)( )Xfx( )Yfy(D) ( ) ( ) X Y fx fy 二、填空题二、填空题(1116 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 24 分分,请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上) (11) 3 1 2 1 1 exdx x =_. (12)设( , )f u v为二元可微函数,(,) yx zf xy,则 z x =_. (13)二阶常系数非齐次线性方程 2 4 32e x yyy的通解为y=_. (14)设曲面:| 1xyz ,则(|)xy ds =_. (15)设矩阵 0100 0010 0001 0000 A,则 3 A的秩为_. (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于 1 2 的概率为_. 三、解答题三、解答题(1724 小题小题,共共 86 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (17)(本题满分 11 分) 求函数 2222 ( , )2f x yxyx y在区域 22 ( , )|4,0Dx yxyy上的最大值和最小值. (18)(本题满分 10 分) 计算曲面积分23,Ixzdydzzydzdxxydxdy 其中为曲面 2 2 1(01) 4 y zxz 的上侧. (19)(本题满分 11 分) 设函数( ), ( )f x g x在 , a b上连续,在( , )a b内具有二阶导数且存在相等的最大值,( )( ),( )( )f ag af bg b,证 明:存在( , )a b,使得( )( )fg. (20)(本题满分 10 分) 设幂级数 0 n n n a x 在(,) 内收敛,其和函数( )y x满足 240, (0)0,(0)1.yxyyyy (1)证明: 2 2 ,1,2,. 1 nn aa n n (2)求( )y x的表达式. (21)(本题满分 11 分) 设线性方程组 123 123 2 123 0 20 , 40 xxx xxax xxa x 与方程 123 21,xxxa 有公共解,求a的值及所有公共解. (22)(本题满分 11 分) 设 3 阶实对称矩阵A的特征向量值 1231 1,2,2.(1, 1,1)T 是A的属于特征值 1 的一个特征向量, 记 53 4,BAAE其中E为 3 阶单位矩阵. (1)验证 1 是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B. (23)(本题满分 11 分) 设二维随机变量(, )X Y的概率密度为 2,01,01 ( , ) 0, xyxy f x y 其他 (1)求2 .P XY (2)求ZXY的概率密度. (24)(本题满分 11 分) 设总体X的概率密度为 1 ,0 2 1 ( ; ),1 2(1) 0, x f xx 其他 12 , n XXX是来自总体x的简单随机样本,X是样本均值 (1)求参数的矩估计量 . (2)判断 2 4X是否为 2 的无偏估计量,并说明理由. 2008 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学(一一)试卷试卷 一、选择题一、选择题(1-8 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 32 分分,下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求,把所选项前的 字母填在题后的括号内 把所选项前的 字母填在题后的括号内.) (1)设函数 2 0 ( )ln(2) x f xt dt 则( )fx的零点个数 (A)0(B)1 (C)2(D)3 (2)函数( , )arctan x f x y y 在点(0,1)处的梯度等于 (A)i(B)-i (C)j(D)j (3)在下列微分方程中,以 123 cos2sin2 x yC eCxCx( 123 ,C C C为任意常数)为通解的是 (A)440yyyy(B)440yyyy (C)440yyyy(D)440yyyy (4)设函数( )f x在(,) 内单调有界, n x为数列,下列命题正确的是 (A)若 n x收敛,则() n f x收敛(B)若 n x单调,则() n f x收敛 (C)若() n f x收敛,则 n x收敛(D)若() n f x单调,则 n x收敛 (5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵. 若 3 0A,则 (A)EA不可逆,EA不可逆(B)EA不可逆,EA可逆 (C)EA可逆,EA可逆(D)EA可逆,EA不可逆 (6)设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程( , , )1 x x y zy z A在正交 变换下的标准方程的图形如图,则A的正特征值个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (7)设随机变量,X Y独立同分布且X分布函数为 F x,则max,ZX Y分布函数为 (A) 2 Fx(B) F x F y (C) 2 11F x (D) 11F xF y (8)设随机变量0,1XN,1,4YN且相关系数1 XY ,则 (A)211P YX (B)211P YX (C)211P YX (D)211P YX 二、填空题二、填空题(9-14 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 24 分分,请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程0xyy 满足条件 11y的解是y . (10)曲线sinlnxyyxx在点0,1处的切线方程为. (11)已知幂级数 0 2 n n n ax 在0x 处收敛,在4x 处发 散,则 幂级数 0 3 n n n ax 的收敛域 为 . (12)设曲面是 22 4zxy的上侧,则 2 xydydzxdzdxx dxdy . (13)设A为 2 阶矩阵, 12 , 为线性无关的 2 维列向量, 1212 0,2AA,则A的非零特征值为 . (14)设随机变量X服从参数为 1 的泊松分布,则 2 P XEX. 三、解答题三、解答题(1523 小题小题,共共 94 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.) (15)(本题满分 10 分)求极限 4 0 sinsin sinsin lim x xxx x . (16)(本题满分 10 分) 计算曲线积分 2 sin221 L xdxxydy ,其中L是曲线sinyx上从点0,0到点,0的一段. (17)(本题满分 10 分) 已知曲线 222 20 : 35 xyz C xyz ,求曲线C距离XOY面最远的点和最近的点. (18)(本题满分 10 分) 设 f x是连续函数, (1)利用定义证明函数 0 x F xf t dt可导,且 Fxf x. (2)当 f x是以 2 为周期的周期函数时,证明函数 2 00 2( )( ) x G xf t dtxf t dt 也是以 2 为周期的周期函数. (19)(本题满分 10 分) 2 1(0)f xxx ,用余弦级数展开,并求 1 2 1 1 n n n 的和. (20)(本题满分 11 分) TT A, T 为的转置, T 为的转置.证明: (1)()2rA. (2)若, 线性相关,则()2rA. (21)(本题满分 11 分) 设矩阵 2 2 21 2 1 2 n n a aa aa A ,现矩阵A满足方程AXB,其中 1, , T n xxX,1,0,0B, (1)求证1 n naA. (2)a为何值,方程组有唯一解,求 1 x. (3)a为何值,方程组有无穷多解,求通解. (22)(本题满分 11 分) 设 随 机 变 量X与Y相 互 独 立 ,X的 概 率 分 布 为 1 1,0,1 3 P Xii ,Y的 概 率 密 度 为 101 0 Y y fy 其它 ,记ZXY, (1)求 1 0 2 P ZX . (2)求Z的概率密度. (23)(本题满分 11 分) 设 12 , n XXX是总体为 2 ( ,)N 的简单随机样本. 记 1 1 n i i XX n , 22 1 1 () 1 n i i SXX n , 22 1 TXS n (1)证明T是 2 的无偏估计量. (2)当0,1时 ,求DT. 2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学(一一)试卷试卷 一、选择题一、选择题(1-8 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 32 分分,下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求,把所选项前的 字母填在题后的括号内 把所选项前的 字母填在题后的括号内.) (1)当0x 时, sinf xxax与 2 ln 1g xxbx等价无穷小,则 (A) 1 1, 6 ab (B) 1 1, 6 ab (C) 1 1, 6 ab (D) 1 1, 6 ab (2)如图,正方形 ,1,1x yxy被其对角线划分为四个区域 1,2,3,4 k Dk ,cos k k D Iyxdxdy,则 14 max k k I (A) 1 I(B) 2 I (C) 3 I(D) 4 I (3)设函数 yf x在区间1,3上的图形为 则函数 0 x F xf t dt的图形为 1 ( )f x 2 0 23x 1 O (A) ( )f x 0 23x12 1 1 (B) ( )f x 0 23x12 1 1 (C) ( )f x 0 23x11 1 (D) ( )f x 0 23x12 1 1 (4)设有两个数列 , nn ab,若lim0 n n a ,则 (A)当 1 n n b 收敛时, 1 nn n a b 收敛.(B)当 1 n n b 发散时, 1 nn n a b 发散. (C)当 1 n n b 收敛时, 22 1 nn n a b 收敛.(D)当 1 n n b 发散时, 22 1 nn n a b 发散. (5)设 123 , 是 3 维向量空间 3 R的一组基,则由基 123 11 , 23 到基 122331 , 的过渡矩阵为 (A) 101 220 033 (B) 120 023 103 (C) 111 246 111 246 111 246 (D) 111 222 111 444 111 666 (6)设,A B均为 2 阶矩阵, * ,A B分别为,A B的伴随矩阵,若2,3AB,则分块矩阵 OA BO 的伴随矩阵为 (A) * * 3 2 OB AO (B) * * 2 3 OB AO (C) * * 3 2 OA BO (D) * * 2 3 OA BO (7)设随机变量X的分布函数为 1 0.30.7 2 x F xx ,其中 x为标准正态分布函数,则EX (A)0(B)0.3 (C)0.7(D)1 (8)设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布0,1N,Y的概率分布为 1 01 2 P YP Y,记 Z Fz为随机变量ZXY的分布函数,则函数 Z Fz的间断点个数为 (A)0(B)1 (C)2(D)3 二、填空题二、填空题(9-14 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 24 分分,请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)设函数,f u v具有二阶连续偏导数,zf x xy,则 2z x y . (10) 若 二 阶 常 系 数 线 性 齐 次 微 分 方 程0yayby的 通 解 为 12 exyCC x, 则 非 齐 次 方 程 yaybyx满足条件 02,00y y 的解为y . (11)已知曲线 2 :02L yxx,则 L xds . (12)设 222 , ,1x y z xyz ,则 2 z dxdydz . (13)若 3 维列向量, 满足2 T ,其中 T 为的转置,则矩阵 T 的非零特征值为. (14)设 12 , m XXX为来自二项分布总体,B n p的简单随机样本,X和 2 S分别为样本均值和样本方差.若 2 XkS为 2 np的无偏估计量,则k . 三、解答题三、解答题(1523 小题小题,共共 94 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤骤.) (15)(本题满分 9 分) 求二元函数 22 ( , )2lnf x yxyyy的极值. (16)(本题满分 9 分) 设 n a为曲线 n yx与 1 1,2,. n yxn 所围成区域的面积,记 1221 11 , nn nn Sa Sa ,求 1 S与 2 S的值. (17)(本题满分 11 分) 椭球面 1 S是椭圆 22 1 43 xy 绕x轴旋转而成,圆锥面 2 S是过点4,0且与椭圆 22 1 43 xy 相切的直线绕x轴 旋转而成. (1)求 1 S及 2 S的方程. (2)求 1 S与 2 S之间的立体体积. (18)(本题满分 11 分) (1) 证 明 拉 格 朗 日 中 值 定 理 : 若 函 数 f x在, a b上 连 续 , 在( , )a b可 导 , 则 存 在, a b, 使 得 f bf afba . (2)证明:若函数 f x在0x 处连续,在0,0内可导,且 0 lim x fxA ,则 0f存在,且 0fA . (19)(本题满分 10 分) 计算曲面积分 3 222 2 xdydzydzdxzdxdy I xyz ,其中是曲面 222 224xyz的外侧. (20)(本题满分 11 分) 设 111 111 042 A, 1 1 1 2 (1)求满足 21 A的 2 . 2 31 A 的所有向量 2 , 3 . (2)对(1)中的任意向量 2 , 3 证明 123 , 无关. (21)(本题满分 11 分) 设二次型 222 1231231323 ,122f x x xaxaxaxx xx x. (1)求二次型f的矩阵的所有特征值; (2)若二次型f的规范形为 22 12 yy,求a的值. (22)(本题满分 11 分) 袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以, ,X Y Z分别表示两次取球所 取得的红球、黑球与白球的个数. (1)求 10p XZ. (2)求二维随机变量,X Y概率分布. (23)(本题满分 11 分) 设总体X的概率密度为 2 ,0 ( ) 0, x xex f x 其他 ,其中参数(0) 未知, 1 X, 2 X, n X是来自总体X的简单随 机样本. (1)求参数的矩估计量. (2)求参数的最大似然估计量. 2010 年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学(一一)试卷试卷 一、选择题一、选择题(1-8 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 32 分分,下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求,把所选项前的 字母填在题后的括号内 把所选项前的 字母填在题后的括号内.) (1)极限 2 lim ()() x x x xa xb = (A)1(B)e(C)ea b (D)eb a (2)设函数( , )zz x y由方程(,)0 y z F x x 确定,其中F为可微函数,且 2 0,F 则 zz xy xy = (A)x(B)z(C)x(D)z (3)设,m n为正整数,则反常积分 2 1 0 ln (1) m n x dx x 的收敛性 (A)仅与m取值有关(B)仅与n取值有关 (C)与,m n取值都有关(D)与,m n取值都无关 (4) 22 11 lim ()() nn x ij n ni nj = (A) 1 2 00 1 (1)(1) x dxdy xy (B) 1 00 1 (1)(1) x dxdy xy (C) 11 00 1 (1)(1) dxdy xy (D) 11 2 00 1 (1)(1) dxdy xy (5)设A为m n型矩阵,B为n m型矩阵,若,ABE则 (A)秩(),mA秩( )mB(B)秩(),mA秩( )nB (C)秩(),nA秩( )mB(D)秩(),nA秩( )nB (6)设A为 4 阶对称矩阵,且 2 0,AA若A的秩为 3,则A相似于 (A) 1 1 1 0 (B) 1 1 1 0 (C) 1 1 1 0 (D) 1 1 1 0 (7)设随机变量X的分布函数( )F x 00 1 01, 2 1 e2 x x x x 则1P X = (A)0(B)1(C) 1 1 e 2 (D) 1 1e (8)设 1( ) f x为标准正态分布的概率密度 2 ,( )fx为 1,3上均匀分布的概率密度, ( )f x 1 2 ( ) ( ) af x bfx 0 0 x x (0,0)ab 为概率密度,则,a b应满足 (A)234ab(B)324ab (C)1ab(D)2ab 二、填空题二、填空题(9-14 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 24 分分,请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)设 2 0 e ,ln(1), t t xyudu 求 2 2 0t d y dx =. (10) 2 0 cosxxdy =. (11)已知曲线L的方程为1 1,1,yx x 起点是( 1,0),终点是(1,0), 则曲线积分 2 L xydxx dy =. (12)设 22 ( , , )|1,x y zxyz 则的形心的竖坐标z=. (13) 设 123 (1,2, 1,0) ,(1,1,0,2) ,(2,1,1,) , TTT 若 由 123 , 形 成 的 向 量 空 间 的 维 数 是 2, 则 =. (14)设随机变量X概率分布为(0,1,2,), ! C P Xkk k 则 2 EX=. 三、解答题三、解答题(1523 小题小题,共共 94 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.) (15)(本题满分 10 分) 求微分方程322 exyyyx的通解. (16)(本题满分 10 分) 求函数 2 2 1 ( )()e x t f xxtdt 的单调区间与极值. (17)(本题满分 10 分) (1)比较 1 0 ln ln(1)nttdt 与 1 0 ln(1,2,) n tt dt n 的大小,说明理由. (2)记 1 0 ln ln(1)(1,2,), n n uttdt n 求极限lim. n x u (18)(本题满分 10 分) 求幂级数 1 2 1 ( 1) 21 n n n x n 的收敛域及和函数. (19)(本题满分 10 分) 设P为椭球面 222 :1S xyzyz上的动点,若S在点P的切平面与xoy面垂直,求P点的轨迹,C并计算曲 面积分 22 (3)2 , 44 xyz IdS yzyz 其中是椭球面S位于曲线C上方的部分. (20)(本题满分 11 分) 设 11 010 ,1 , 111 a Ab已知线性方程组Axb存在两个不同的解. (1)求, .a (2)求方程组Axb的通解. (21)(本题满分 11 分) 设二次型 123 (,) T f x xxAxx在正交变换xyQ下的标准形为 22 12, yy且Q的第三列为 22 (,0,) . 22 T (1)求.A (2)证明AE为正定矩阵,其中E为 3 阶单位矩阵. (22)(本题满分 11 分) 设二维随机变量()XY的概率密度为 22 22 ( , )e, xxy y f x yAxy 求常数及A条件概率 密度 | ( | ). Y X fy x (23)(本题满分 11 分) 设总体X的概率分布为 X123 P1 2 2 其中