2011年全国初中数学竞赛解答题汇编（含答案）.doc

初中数学辅导网 /九年级实验班数学竞赛试卷15已知关于x的方程x3ax22ax+a21=0有且只有一个实数根. 求实数a的取值范围.16如图所示，在平面直角坐标系中有点A（-1，0）、点B（4，0），以AB为直径的半圆交y轴正半轴于点C。（1）求点C的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点D，使四边形BOCD为直角梯形，求直线BD的解析式。-104xyBCAOABCDEM第17题图H17如图，O为ABC的外接圆，BAC=60，H为边AC、AB上高BD、CE的交点，在BD上取点M，使BM=CH。（1）求证：BOC=BHC；（2）求证：BOMCOH； （3）求的值.18一个棋盘有13行17列，每个小方格里都写了一个数，从左上角开始，第一行依次为1, 2, , 17；第二行依次为18, 19, , 34; ，一直写到最后一行，现将此棋盘里的数重写，从左上角开始，第一列从上到下依次为1, 2, , 13；第二列从上到下依次为14, 15, , 26；，一直写到最后一列，这样有一些小方格在两种写法里有相同的数，求所有这些小方格里（有相同数的）的数之和是多少？15、将原方程视为a的一元二次方程，即a2( x2+2x)a+x31=0. 分解因式得a(x1)a(x2+x+1)=0. 则x=a+1或x2+x+1a=0.（6分）因x=a+1不是方程的根，所以，当方程无实根时，原方程有且只有一个实根. 于是=14 ( 1a)0. 解得a0，由（）可知=，=，=， 所以 =，=.因为，所以.于是，即所以由（）中，即，所以于是，可求得 . 将代入，得到点的坐标（，）. 15分再将点的坐标代入，求得 .所以直线的函数解析式为.根据对称性知，所求直线的函数解析式为，或. 20分解法二 设直线的函数解析式为,其中.由（）可知，=，所以.故 .将代入上式，平方并整理得，即.所以 或.又由（），得，.若代入上式得 从而 .同理，若 可得 从而 .所以，直线的函数解析式为，或. 20分 （14）已知，且，证明：中一定存在两个数，使得证明：令， 5分则. 10分故一定存在2010，使得，从而 15分即 20分2011年全国初中数学竞赛（海南赛区） 初 赛 试 卷19如图10，正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点P是AB边上的一个动点（点P不与点A、B重合），CP与BD相交于点Q（1）若CP平分ACB，求证：AP =2QO（2）先按下列要求画出相应图形，然后求解问题. 把线段PC绕点P旋转90，使点C落在点E处，并连接AE设线段BP的长度为x，APE的面积为S. 试求S与的函数关系式；ABCDPOQ图10 求出S的最大值，判断此时点P所在的位置 20文昌某校准备组织学生及学生家长到三亚进行社会实践，为了便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元；已知学生家长与教师的人数之比为21，文昌到三亚的火车票价格（部分）如下表所示：运行区间公布票价学生票上车站下车站一等座二等座二等座文昌三亚81（元）68（元）51（元）（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买张（小于参加社会实践的人数），其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）与之间的函数关系式（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？三、解答题（本大题满分30分，每小题15分）ABCDPEEOQM12GF3图1019.（1）证明：过点O作OM/AB交PC于点M，则COM=CAB. 四边形ABCD是正方形， OA=OC，CAB=CBD=COM=45, AP=2OM. 又 1=2, 1+COM=2+CBD,即 OMQ=OQM. OM=OQ AP=2OQ（本小题也可以过点A作直线平行于OQ证明）（2）根据题意作出图形，如图10所示、当PC绕点P逆时针旋转90时，作EFAB交BA延长线于点F,则EFP=PBC=90，3+CPB=90. 又2+CPB=90,3=2.又PE由PC绕点P旋转形成 PE=PC EPFCPB.EF=BP=, AP=1 .APE的面积S与的函数关系式为 （）.、当PC绕点P顺时针旋转90时，作EGAB交AB延长线于点G,则同理可得EPGCPB，EG=BP=.APE的面积S与的函数关系式为 由、可得APE的面积S与的函数关系式为，（）由知S与的函数关系式为，（）即，（）当时S的值最大，最大值为此时点P所在的位置是边AB的中点处20.（1）设参加社会实践的老师有人，学生有人，则学生家长有人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，依题意得：解得 则答：参加社会实践的老师、家长与学生各有10、20与180人（2）由（1）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，当时，最经济的购票方案为：学生都买学生票共180张，（）名成年人买二等座火车票，名成年人买一等座火车票火车票的总费用（单程）与之间的函数关系式为： 即 （）当时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共张火车票的总费用（单程）与之间的函数关系式为：即 （）（3）由（2）小题知，当时，由此可见，当时，的值最小，最小值为11233元，当时，的值最大，最大值为11610元当时，由此可见，当时，的值最小，最小值为11640元，当 时，的值最大，最大值为16980元所以可以判断按（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元2011年全国初中数学竞赛模拟题二、简答下列各题（第9、10题各8分，第11题9分，第12、13、14题各10分，共55分，要求写出简略过程）9、已知a，b，c都是整数，当代数式 的值能被13整除时，那么代数式 的值是否一定能被13整除，为什么？10、如图5所示，在四边形ABCD中，四边形ABEM，MEFN，NFCD的面积分别记为，和，求 =？（提示：连接AE、EN、NC和AC） 11、已知是正整数，且与都是完全平方数. 是否存在，使得是质数？如果存在，请求出所有的值；如果不存在，请说明理由.12、某市电话号码原为六位数，第一次升位是在首位数和第二位数之间加上3成为一个七位数；第二次升位是在首位数前加上2成为一个八位数，某人发现他家中的电话号码升位后的八位数恰好是原六位数的电话号码的33倍。问这家原来的电话号码是多少？13、图6是一个99的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有1至9的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数字从左向右写成一个9位数. 请写出这个9位数，简单说明理由. 14、平面上有6个点，其中任何3个点都不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形没有公共顶点，最多可以选出多少个三角形？如果要求其中任何两个三角形没有公共边，最多可以选出多少个三角形？（前两问不要求说明理由）三、详答下列各题（每题15分，共45分，要求写出详细过程）15、壮壮、菲菲、路路出生时，他们的妈妈都是27岁，某天三位妈妈王雪、刘芳和李薇闲谈时，王雪说：“菲菲比刘芳小29岁”；李薇说：“路路和刘芳的年龄的和是36岁”，刘芳说：“路路和王雪的年龄的和是35岁”. 已知壮壮、菲菲、路路和他们的妈妈6个人年龄的总和是105岁. 请回答：谁是路路的妈妈？壮壮、菲菲和路路的年龄各是多少岁？16、请回答：能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？能否表示为3个互异的完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由.17、甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的2 3，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了13，乙跑第二圈时速度提高了15. 已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，问：这条椭圆形跑道长多少米？9、解：设x，y，z，t是整数，并且假设 比较上式a，b，c的系数，应当有 取，可以得到 ，则有 既然和都能被13整除，就能被13整除.【说明】 表式为均能被13整除的两个代数式的代数和，表达方式不唯一，例如：取，则有 ，则有；实际上，是一组二元整系数不定方程，我们先解第一个，得到 ，这里k是任意整数，将代入其余方程，解得，这里k是任意整数，则可以有.10、解：如图5a，连接AE、EN和NC，易知 由 ，两个式子相加得 并且四边形AECN的面积=. 连接AC(如图5b)由三角形面积公式，易知，两个式子相加得 S四边形AECN = 将式和相加，得到，既然，因此，.图5b11、解：不存在正整数，使得是质数。理由如下： 设，其中，都是正整数，则.若，则不是质数；若，则于是，矛盾.综上所述，不存在正整数，使得是质数.12、解：设原电话号码为，则升位后为，令，即，化简得，的整数），故，.于是.故所求的电话号码为859375.13、解答：填数的方法是排除法，用（m，n）表示位于第m行和第n列的方格.第七行、第八行和第3列有9，所以，原题图6左下角的“小九宫”格中的9应当填在（9，2）格子中；第1列、第2列和第七行有数字5，所以，在图6右下角的“小九宫”格中的数字5只能填在（9，3）中；第七行、第八行有数字6，图6中下部的“小九宫”格的数字6应当填在（9，6）；此时，在第九行尚缺数字7和3，由于第9列有数字7，所以，7应当填在（9，8）； 3自然就填在（9，9）了，填法见图6a. 九位数是 495186273.14、解答： （1）先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点，有6种取法；再从余下的5个点中选取1个做三角形的第二个顶点，有5种取法；再从余下的4个点中选取1个做三角形的第三个顶点，有4种取法. 因为任何3个点不在同一条直线上，所以，这样选出的三个点可以做出1个三角形. 但是，如果选出的三个点相同的话，则做出的三角形相同，三个点相同的取法有321=6种，所以，以这6个点为顶点可以构造 个不同的三角形. （2）每个三角形有3个顶点，所以，6个点最多只能构造2个没有公共顶点的三角形.（3）用英文大写字母A、B、C、D、E、F记这6个点，假设可以选出两两没有公共边的5个三角形，它们共有15个顶点，需要15个英文大写字母. 这里不同的英文大写字母仅有6个. 因此，这5个三角形中至少有3个三角形有同一个顶点，无妨设为A. 根据假设，这3个三角形两两没有公共边，即除去公共顶点A之外，其余6个顶点互不相同，即表示这6个顶点的字母不相同. 但是，除A之外，我们仅有5个不同的字母. 所以，不可能存在5个三角形，它们两两没有公共边. 又显然，和这4个三角形两两没有公共边. 所以，最多可以选出4个三角形，其中任何两个三角形都没有公共边.三、解答题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）15、解：设刘芳的年龄为x岁. 刘芳和路路的年龄和是36岁，是个偶数，他们的年龄差也是一个偶数，而路路和妈妈的年龄的差是奇数，因此路路的妈妈不是刘芳. 注意到菲菲比刘芳小29岁，菲菲的妈妈不是刘芳，所以，壮壮的妈妈是刘芳.壮壮和妈妈刘芳的年龄的和为( 路路岁，他的妈妈应当是 岁，和为 菲菲岁，她的妈妈应当是 岁，和为 由于6个人共105岁，所以，. 解出x=32,菲菲比刘芳小29岁，所以菲菲3岁；路路和刘芳的年龄的和是36，路路4岁；路路和王雪的年龄的和是35岁，所以王雪31岁.答：王雪是路路的妈妈；壮壮5岁、菲菲3岁和路路4岁.16、解： （1）由于，故有 . 所以，能表示为3个互异的正整数的倒数的和（表示法不唯一）.（2）不妨设，现在的问题就是寻找整a，b，c，满足由，则有，从而,所以 . 又有，所以 ，故或16.若，则有 ，由于，并且 ，所以，.故 ，100或121. 将 、100和121分别代入 ，没有一个是完全平方数，说明当 时，无解.若 ，则 . 类似地，可得： ，即 ，此时，不是整数. 综上所述，不能表示为3个互异的完全平方数的倒数之和.17、解：让我们画两个示意图(上图)，并设一开始时甲的速度是a，于是乙的速度便是23a。再设跑道长是L，则甲、乙第一次相遇点，按甲前进方向距出发点为35L。甲跑完第一圈，乙跑了23L，乙再跑余下的13L，甲已折返，且以a(113)43a的速度跑，所以在乙跑完第一圈时，甲已折返跑了23L，这时，乙折返并以23a(1十15)45a的速度跑着。从这时起，甲、乙速度之比是43a45a53，即53。所以在二人第二次相遇时，甲跑了余下的L3的58，而乙跑了它的38，即第二次相遇时距出发点38L3L8。可见两次相遇点间的距离是35-18L190(米)，即1940L190(米)，L400(米)答：跑道长为400米 SDF2011年全国初中数学联赛江西省初赛试题解答第一试 一、（分）试确定，对于怎样的正整数，方程有正整数解？并求出方程的所有正整数解解：将方程改写为 ， 5由于表成两个正整数的平方和，只有两种不同的形式： 10所以， ，或 ，或 15由得（当或）；由得（当或）；由得 （当 或）； 或 （当或）；由得（当）；或 （当或） 20二、（分）锐角三角形的外心为，外接圆半径为，延长，分别与对边交于；证明：证： 延长交于，由于共点， 5则 10而，15同理有,， 20代入得， 所以 25三、（分）设为正整数，证明：1、如果是两个连续正整数的乘积，那么也是两个连续正整数的乘积；2、如果是两个连续正整数的乘积，那么也是两个连续正整数的乘积证明：1、如果是两个连续正整数的乘积，设，其中为正整数，5则为两个连续正整数的乘积； 102、如果是两个连续正整数的乘积，设，其中为正整数，则 15于是，是的倍数，且是奇数；设，由得， 20因此，即，它是两个连续正整数的乘积252011年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题参考答案及评分标准三、解答题（本大题共4小题，每小题满分20分，共80分）（11）（本小题满分20分）若多项式加上一个单项式后，能成为一个含有的完全平方式，求所有满足条件的单项式【解】设满足条件的单项式为，则当时，； 5分当时，； 15分当时，、均满足条件 可以证明满足条件的单项式有且仅有以上4个20分BCDA（12）（本小题满分20分）如图，有任意四边形，点依次是顶点关于点的对称点，设表示四边形的面积，表示四边形的面积，试求的值【解】如图，连接，,根据题意，点是顶点关于点的对称点， 点是顶点关于点的对称点，点是线段的中点，点是线段的中点BCDA 10分同理可得：； 15分而，即 20分B CDMEA（13）（本小题满分20分）如图所示，在平行四边形中，是的中点，于点，求证：【证明】 如图，延长交的延长线于点，连接在平行四边形中，B CDMEAF，又， 5分由于是的中点，又， 在中，有 10分由已知，有 15分而，又， 20分（14）（本小题满分20分）已知抛物线上有一点位于轴的下方（）求证：已知抛物线必与轴有两个交点；（）设已知抛物线与轴的两个交点为，其中，求证：；（）当点的坐标为时，求（）中的整数，【解】（）点在抛物线上，且位于轴的下方，这表明二次方程根的判别式，则该方程有两个不相等的实数根，于是抛物线必与轴有两个交点 5分（）根据题意，抛物线与轴有两个交点， 又点位于轴的下方，又， 10分（）点在已知抛物线上，且， 是整数，也均为整数，且由，有，或 即或 20分中国教育学会中学数学教学专业委员会“数学周报杯”2011年全国初中数学竞赛试题11已知：不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x1，试求a、b的值。12.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值. 13如图，点为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点.（1）求证：=；（2）若点的坐标为（0，1），且=60，试求所有满足条件的直线的函数解析式. （第13题）14（甲）如图，ABC中，点P在ABC内，且，求ABC的面积（第14题）11. 解：把x1代入原方程并整理得（b4）k72a要使等式（b4）k72a不论k取什么实数均成立，只有解之得，12解：设方程的两个根为，其中为整数，且，则方程的两根为，由题意得，两式相加得 ， 即 ， 所以 或 解得 或又因为 所以；或者，故，或29. 13解：（1）如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为.设点的坐标为（0，），则点的坐标为（0，-）.设直线的函数解析式为,并设的坐标分别为 ,.由（第13题）得 ，于是 ，即 . 于是 又因为，所以. 因为，所以， 故=.（2） 设，不妨设0，由（1）可知=，=，=， 所以 =，=.因为，所以.于是，即，所以由（1）中，即，所以于是可求得 将代入，得到点的坐标（，）. 再将点的坐标代入，求得 所以直线的函数解析式为.根据对称性知，所求直线的函数解析式为，或.14解：如图，作ABQ，使得则ABQACP . 由于，所以相似比为2.于是（第14题）. 由知，于是所以 ，从而于是 . 故 初三联考数学试题二：解答题：（每题10分，共40分）19. 某射击运动员在一次比赛中，前6次射击已经得到52环，该项目的记录是89环（10次射击，每次射击环数只取110中的正整数）.（1）如果他要打破记录，第7次射击不能少于多少环？（2）如果他第7次射击成绩为8环，那么最后3次射击中要有几次命中10环才能打破记录？（3）如果他第7次射击成绩为10环，那么最后3次射击中是否必须至少有一次命中10环才有可能打破记录？20.求关于的不等式的解GCABFD21.如图，设是直角三角形，点在斜边上，已知圆过点相交于，与相切于的中点，求证：。D22.先阅读短文，再回答短文后面的问题 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线KlyOMFx下面根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程如上图，建立直角坐标系xoy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合设KFp（p0），那么焦点F的坐标为（，0），准线l的方程为x设点M（x，y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d，由抛物线的定义，抛物线就是满足MFd的点M的轨迹MF dx x将上式两边平方并化简，得y22px（p0） 方程叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是（，0），它的准线方程是x一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同所以抛物线的标准方程还有其它的几种形式：y22px，x22py，x22py这四种抛物线的标准方程，焦点坐标以及准线方程列表如下：标准方程焦点坐标准线方程y22px（p0）（，0）xy22px（p0）（，0）xx22py（p0）（0，）yx22py（p0）（0，）y解答下列问题：（1）已知抛物线的标准方程是，则它的焦点坐标是 ，准线方程是 已知抛物线的焦点坐标是F（0，6），则它的标准方程是 （2）点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x50的距离小1，求点M的轨迹方程（3）直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长 19.解：设第7、8、9、10次射击分别为x7、x8、x9、x10环（1）52+x7+x8+x9+x1089 又x810 x910 x1010x77如果他要打破纪录，第7次射击不能少于8环 （3分）（2）52+8+x8+x9+x1089 而 x8+x9+x1029又x8、x9、x10只取110中的正整数x8=x9=x10=10即：要有3次命中10环才能打破纪录 （3分）（3）52+10+x8+x9+x1089 而x8+x9+x1027又x8、x9、x10只取110中的正整数x8、x9、x10中至少有一个为10即：最后三次射击中必须至少有一次命中10环才可能打破纪录 （4分）20：解：原不等式可化为： （1分）(1) 当时，不等式的解为； （2分）(2) 当时， 时，不等式的解为； （2分） 时，不等式的解为； （2分） 时，不等式的解为全体实数 （1分）(3) 当时，不等式无解 （1分）综上所述：当或时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为全体实数；当时，不等式无解（1分）21.证明：过D作DE AC于E BAC = 90 DEAB （3分）又 AB切圆于点G （切割线定理）又 AG = AB RtAED RtABF （5分） EAD = ABF EAD + DAB = 90 ABF + DAB = 90 即 AD BF （2分）22：（1）： （1分） （1分） （2分）（2）： （3分）（3）：16/3 （三分之十六） （3分）2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一、（本题满分20分）已知三个不同的实数满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根求的值解 依次将题设中所给的四个方程编号为，设是方程和方程的一个相同的实根，则 两式相减，可解得5分设是方程和方程的一个相同的实根，则两式相减，可解得。2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第4页（共8页）所以 10分又方程的两根之积等于1，于是也是方程的根，则。又 ，两式相减，得 15分若，则方程无实根，所以，故于是 又，解得 20分二（本题满分25分）如图，在四边形ABCD中，已知，对角线交于点，且，为的中点求证：（1）；（2）证明 （1）由已知得 ，从而四点共圆，为直径，为该圆的圆心 5分作于点，知为的中点，所以，从而 10分（2）作于点，则又， ， 15分 RtRt， ，又，所以，故，所以 25分三（本题满分25分）已知为正整数，设，O为坐标原点若，且（1）证明：；（2）求图象经过三点的二次函数的解析式解 （1）因为，所以，即由，得5分又2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第5页（共8页），从而有，即 10分（2）由，知是关于x的一元二次方程 的两个不相等的正整数根，从而，解得。又为正整数，故或 15分当时，方程为，没有整数解当时，方程为，两根为综合知： 2