概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案.pdf

1 概率论与数理统计概率论与数理统计第一章第一章课后习题及课后习题及参考参考答案答案 1写出下列随机试验的样本空间 (1) 记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)； (2) 一个口袋中有 5 个外形相同的球，编号分别为 1，2，3，4，5，从中同时取 出 3 个球； (3) 某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； (4) 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 解：(1)100, 2 , 1； (2)345,235,234,145,135,134,125,124,123； (3), 2 , 1； (4)| ),( 22 yxyx 2在10, 2 , 1，432，A，5 , 4 , 3B，7 , 6 , 5C，具体写出下列各式： (1)BA；(2)BA ；(3)BA；(4)BCA；(5)CBA 解：(1),9,101,5,6,7,8A， 5BA； (2)10, 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 1BA ； (3)法 1：10, 9 , 8 , 7 , 6 , 2 , 1B， 10, 9 , 8 , 7 , 6 , 1BA， 5 , 4 , 3 , 2BA； 法 2：5 , 4 , 3 , 2BABABA； (4)5BC， 10, 9 , 8 , 7 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1BC， 4 , 3 , 2BCA， 10, 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 1BCA； 2 (5)7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2CBA， 1,8,9,10CBA 3设20|xx，1 2 1 |xxA， 2 3 4 1 |xxB，具体写出下列各 式： (1)BA；(2)BA；(3)AB；(4)BA 解：(1)BBA， 2 2 3 , 4 1 0|xxxBBA； (2)BA； (3)AAB ， 21 , 2 1 0|xxxAAB； (4) 2 3 1 , 2 1 4 1 |xxxBA 4化简下列各式： (1)(BABA；(2)(CBBA；(3)()(BABABA 解：(1)ABBABABA)()(； (2)ACBCABCBBA)()(； (3)()()(BABBABABABAABABAABAA)( 5A，B，C表示 3 个事件，用文字解释下列事件的概率意义： (1)CBACBACBA；(2)BCACAB； (3)(CBA；(4)BCACAB 解：(1)A，B，C恰有一个发生； (2)A，B，C中至少有一个发生； (3)A发生且B与C至少有一个不发生； (4)A，B，C中不多于一个发生 6对于任意事件A，B，证明：ABAAB)( 3 证：ABBAABAABABAAB)()(AAAA 7把事件CBA表示为互不相容事件的和事件 解：)()(CABAAACBACBA )(BCACBABAACABAA CBABCABAA)( CBABAA 8设0)(AP，0)(BP，将下列 5 个数 )(AP，)()(BPAP，)(BAP，)()(BPAP，)(BAP 按有小到大的顺序排列，用符号“”联结它们，并指出在什么情况下可能 有等式成立 解：因为0)(AP，0)(BP，)()(BPABP， 故)()()()()()()()()(BPAPBAPAPBAPABPAPBPAP， 所以)()()()()()()(BPAPBAPAPBAPBPAP (1) 若AB ，则有)()()(BAPBPAP，)()(BAPAP； (2) 若AB，则有)()(APBAP，)()()(BPAPBAP 9已知BA，3 . 0)(AP，5 . 0)(BP，求)(AP，)(ABP，)(BAP和)(BAP 解：(1)7 . 0)(1)(APAP； (2)BA，AAB ，则3 . 0)()(APABP； (3)2 . 0)()()()(ABPBPABPBAP； (4)(1)()(BAPBAPBAP5 . 0)()()(1ABPBPAP 10设有 10 件产品，其中 6 件正品，4 件次品，从中任取 3 件，求下列事件的 概率 (1) 只有 1 件次品；(2) 最多 1 件次品；(3) 至少一件次品 4 解：从 10 件产品中任取 3 件，共有 3 10 C种取法， (1) 记A从 10 件产品中任取 3 件，只有 1 件次品， 只有 1 件次品，可从 4 件次品中任取 1 件次品，共 1 4 C中取法，另外的两件 为正品，从 6 件正品中取得，共 2 6 C种取法则事件A共包含 2 6 1 4C C个样本点， 2 1 )( 3 10 2 6 1 4 C CC AP (2) 记B从 10 件产品中任取 3 件，最多有 1 件次品， C从 10 件产品中任取 3 件，没有次品， 则CAB，且A与C互不相容 没有次品，即取出的 3 件产品全是正品，共有 3 6 C种取法，则 6 1 )( 3 10 3 6 C C CP， 3 2 )()()()(CPAPCAPBP (3) 易知C从 10 件产品中任取 3 件，至少有 1 件次品，则 6 5 )(1)(CPCP 11盒子里有 10 个球，分别标有从 1 到 10 的标号，任选 3 球，记录其号码，求： (1) 最小号码为 5 的概率；(2) 最大号码为 5 的概率 解：从 10 个球中任选 3 球，共有 3 10 C种选法， (1) 记A从 10 个球中任选 3 球，最小标号为 5， 事件A发生，则选出球的最小标号为 5，另外两个球的标号只可从 6，7，8， 9，10 这 5 个数中任选，共有 2 5 C种选法，则 12 1 )( 3 10 2 5 C C AP (2) 记B从 10 个球中任选 3 球，最大标号为 5， 事件B发生，则选出球的最大标号为 5，另外两个球的标号只可从 1，2，3， 4 这 4 个数中任选，共有 2 4 C种选法，则 5 20 1 )( 3 10 2 4 C C BP 12设在口袋中有a个白球，b个黑球，从中一个一个不放回地摸球，直至留在 在口袋中的球都是同一种颜色为止求最后是白球留在口袋中的概率 解：设A最后是白球留在口袋中， 事件A即把ba个球不放回地一个一个摸出来，最后摸到的是白球，此概 率显然为 ba a AP )( 13 一间学生寝室中住有 6 位同学， 假定每个人的生日在各个月份的可能性相同， 求下列事件的概率： (1) 6 个人中至少有 1 人的生日在 10 月份； (2) 6 个人中有 4 人的生日在 10 月份； (3) 6 个人中有 4 人的生日在同一月份 解：设 i B生日在i月份，则 i B生日不在i月份，12, 2 , 1i， 易知 12 1 )( i BP， 12 11 )( i BP，12, 2 , 1i (1) 设A6 个人中至少有 1 人的生日在 10 月份， 则A6 个人中没有一个人的生日在 10 月份， 66 10 ) 12 11 (1)(1)(1)(BPAPAP； (2) 设C6 个人中有 4 人的生日在 10 月份， 则 6 2 244 6 2 10 4 10 4 6 12 1115 ) 12 11 () 12 1 ()()()( CBPBPCCP； (3) 设D6 个人中有 4 人的生日在同一月份， 则 5 2 1 12 12 1115 )()( CPCDP 14 在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径 上的位置是等可能的，即交点在这一直径上一个区间内的可能性与此区间的 长度成正比，求任意画的弦的长度大于R的概率 解：设弦与该直径的交点到圆心的距离为x，已知，当Rx 2 3 ，弦长大于半径 6 R，从而所求的概率为 2 3 2 2 3 2 R R P 15 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在同一昼夜 内到达的时刻是等可能的， 如果甲船的停泊时间是 1h， 乙船的停泊时间是 2h， 求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率 解：设A两艘中的任何一艘都不需要等候码头空出， 则A一艘船到达泊位时必须等待， 分别用x和y表示第一、第二艘船到达泊位的时间， 则10 , 20| ),(xyyxyxA， 从而1207. 0 24 22 2 1 23 2 1 24 )( )( )( 2 222 A AP； 8993. 0)(1)(APAP 16甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.5，现已 知目标被击中，问由甲射中的概率为多少？ 解：设A甲击中目标，B乙击中目标，C目标被击中， 则BAC，由题设知A与B相互独立，且 6 . 0)(AP，5 . 0)(BP， 所以)()()()()(ABPBPAPBAPCP 8 . 0)()()()(BPAPBPAP， 从而 4 3 )( )( )( )( )|( CP AP CP ACP CAP 17 某地区位于河流甲与河流乙的汇合点， 当任一河流泛滥时， 该地区即被淹没， 设在某时期内河流甲泛滥的概率是 0.1，河流乙泛滥的概率是 0.2，又当河流 甲泛滥时引起河流乙泛滥的概率为 0.3， 求在该时期内这个地区被淹没的概率， 7 又当河流乙泛滥时，引起河流甲泛滥的概率是多少？ 解：A甲河流泛滥，B乙河流泛滥，C该地区被淹没， 则BAC，由题设知1 . 0)(AP，2 . 0)(BP，3 . 0)|(ABP， 从而)()()()()(ABPBPAPBAPCP 27. 0)|()()()(ABPAPBPAP， 15. 0 )( )|()( )( )( )|( BP ABPAP BP ABP BAP 18设n件产品中有m件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件不合格 品，求另一件也是不合格品的概率 解：设A有一件产品是不合格品，B另一件产品也是不合格品， i D取出的两件产品中有i件不合格品，2 , 1 , 0i， 显然， 21 DDA， 21D D， 2 DBAB 从n件产品种任取两件，共有 2 n C种取法； 若 1 D发生， 即取出的两件产品中有 1 件不合格品， 则该不合格品只能从m件 不合格品中取得，共有 1 m C种取法；另一件为合格品，只能从mn件合格品中取 得，共有 1 mn C 种取法，则事件 1 D中共有 11 mnmC C 个样本点， ) 1( )(2 )( 2 11 1 nn mnm C CC DP n mnm ， 类似地， ) 1( ) 1( )( 2 2 2 nn mm C C DP n m ， 所以 ) 1( ) 1()(2 )()()()( 2121 nn mmmnm DPDPDDPAP， ) 1( ) 1( )()( 2 nn mm DPABP， 于是所求概率为 12 1 )( )( )|( mn m AP ABP ABP 8 1910 件产品中有 3 件次品，每次从其中任取一件，取出的产品不再放回去， 求第三次才取得合格品的概率 解：设 i A第i次取得合格品，3 , 2 , 1i， 则所求概率为 128 7 8 7 9 2 10 3 )|()|()()( 213121321 AAAPAAPAPAAAP 20设事件A与B互不相容，且1)(0BP，证明： )(1 )( )|( BP AP BAP 证：事件A与B互不相容，则0)(ABP， )(1 )( )(1 )()( )(1 )( )( )( )|( BP AP BP ABPAP BP BAP BP BAP BAP 21设事件A与B相互独立，3 . 0)(AP，45. 0)(BP，求下列各式的值： (1)|(ABP；(2)(BAP；(3)(BAP；(4)|(BAP 解：事件A与相互独立，事件A与B也相互独立， (1)45. 0)()|(BPABP； (2)()()()(ABPBPAPBAP)()()()(BPAPBPAP615. 0； (3)385. 0)(1)(1 )()()(BPAPBPAPBAP； (4)7 . 0)()|(APBAP 22某种动物活到 10 岁的概率为 0.92，活到 15 岁的概率为 0.67，现有一只 10 岁的该种动物，求其能活到 15 岁的概率 解：设A该种动物能活到 10 岁， B该种动物能活到 15 岁， 显然AB ，由题设可知 92. 0)(AP，67. 0)(BP， 所以 92 67 )( )( )( )( )|( AP BP AP ABP ABP 9 23某商店出售的电灯泡由甲、乙两厂生产，其中甲厂的产品占 60%，乙厂的 产品占 40%，已知甲厂产品的次品率为 4%，乙厂的次品率为 5%一位顾 客随机地取出一个电灯泡，求它是合格品的概率 解：设A电灯泡是次品， 1 B电灯泡由甲厂生产， 2 B电灯泡由乙厂生产， 则A电灯泡是合格品 由题设可知6 . 0)( 1 BP，4 . 0)( 2 BP，04. 0)|( 1 BAP，05. 0)|( 2 BAP， 044. 0)|()()|()()( 2211 BAPBPBAPBPAP， 所以956. 0)(1)(APAP 24已知男子有 5%是色盲患者，女子有 0.25%是色盲患者今从男女人数相等 的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 解：设A选出的人是色盲患者， B选出的人是男性， B选出的人是女性， 由题设可知 2 1 )()(BPBP，05. 0)|(BAP，0025. 0)|(BAP， 则 21 20 )|()()|()( )|()( )|( BAPBPBAPBP BAPBP ABP 25甲、乙、丙三人独立地向一敌机射击，设甲、乙、丙命中率分别为 0.4，0.5 和 0.7，又设敌机被击中 1 次、2 次、3 次而坠毁的概率分别为 0.2，0.6 和 1 现三人向敌机各射击一次，求敌机坠毁的概率 解：设 1 A， 2 A， 3 A分别表示甲、乙、丙射击击中敌机， i B敌机被击中i次，3 , 2 , 1i，C敌机坠毁， 则 3213213211 AAAAAAAAAB， 3213213212 AAAAAAAAAB， 3213 AAAB ， 10 由题设可知4 . 0)( 1 AP，5 . 0)( 2 AP，7 . 0)( 3 AP， 2 . 0)|( 1 BCP，6 . 0)|( 2 BCP，1)|( 3 BCP， 则)()()()( 3213213211 AAAPAAAPAAAPBP )()()()()()()()()( 321321321 APAPAPAPAPAPAPAPAP 36. 0， 类似地，51. 0)( 2 BP，14. 0)( 3 BP， 由全概率公式得 458. 0)|()()( 3 1 i ii BCPBPCP 26三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为 5 1 ， 3 1 和 4 1 问三 人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？ 解：分别设事件A，B，C为甲、乙、丙破译密码，则三人中至少有一人能将此 密码译出可表示为CBA，有 )()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP )()()()()()()()()()()()(CPBPAPCPBPCPAPBPAPCPBPAP 5 3 27甲袋中装有n只白球、m只红球，乙袋中装有N只白球、M只红球今从 甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的 概率是多少？ 解：设A从甲袋中取出白球， B从乙袋中取出白球， 则由题设可知 mn n AP )(， mn m AP )(， 1 1 )|( MN N ABP， 1 )|( MN N ABP， 由全概率公式，得 )|()()|()()(ABPAPABPAPBP ) 1)( ) 1( NMnm mNNn 28从区间) 1 , 0(内任取两个数，求这两个数的和小于 1.2 的概率 11 解：设x和y分别为所取的两个数，显然10 x，10 y，即试验的样本空间 为边长为 1 的单位正方形，记2 . 1| ),(yxyxA，由几何概型，有 68. 0 11 8 . 08 . 0 2 1 11 )( AP 29 一个系统由 4 个元件联结而成(如图)， 每个元件的可靠性(即元件能正常工作 的概率)为r(10 r)，假设各个元件独立地工作，求系统的可靠性 解：设 i A第i个元件能正常工作，4 , 3 , 2 , 1i， B系统能正常工作， 则 4314214321 )(AAAAAAAAAAB， 由题知rAP i )(， i A相互独立，4 , 3 , 2 , 1i， 所以)()( 431421 AAAAAAPBP)()()( 4321431421 AAAAPAAAPAAAP )()()()()()()()()( 4321431421 APAPAPAPAPAPAPAPAPAP 3 )2(rr 30某篮球运动员投篮命中的概率为 0.8，求他在 5 次独立投篮中至少命中 2 次 的概率 解：设A该篮球运动员 5 次独立投篮中至少命中 2 次， i B该篮球运动员 5 次独立投篮中命中的次数，5 , 1 , 0i， 则由题可知 5432 BBBBA， 10 BBA， i B互不相容，5 , 1 , 0i， 所以)()(1)(1)( 10 BPBPAPAP 9933. 02 . 08 . 02 . 08 . 01 411 5 500 5 CC 31设概率统计课的重修率为 5%，若某个班至少一人重修的概率不小于 0.95， 1 3 2 4 12 问这个班至少有多少名同学？ 解：设该班有n名同学， A该班每名同学概率统计课重修， i B该班n名同学中有i名同学概率统计课重修， C该班n名同学中至少有 1 名同学概率统计课重修， 则 n i in BBBBC 1 21 ， 0 BC ， 由题可知05. 0)(AP， nn n CBPCPCP95. 0195. 005. 01)(1)(1)( 00 0 ， 由题意，应有95. 095. 01 n ，解得59n 32某种灯泡使用时数在 1000h 以上的概率为 0.6，求 3 个灯泡在使用 1000h 以 后最多有 1 个损坏的概率 解：设A该种灯泡使用时数在h1000以上， i B3 个灯泡在使用h1000以后有i个损坏，3 , 2 , 1 , 0i， C3 个灯泡在使用h1000以后最多有 1 个损坏， 则 10 BBC，由题知6 . 0)(AP， i B互不相容，3 , 2 , 1 , 0i， 所以648. 06 . 04 . 06 . 04 . 0)()()( 211 3 300 310 CCBPBPCP 33甲、乙两名篮球运动员投篮的命中率分别为 0.7 和 0.6，每人投篮 3 次，求： (1) 二人进球数相等的概率； (2) 甲比乙进球数多的概率 解：设A甲篮球运动员投篮命中，B乙篮球运动员投篮命中， i A甲篮球运动员投篮命中i次，3 , 2 , 1 , 0i， i B乙篮球运动员投篮命中i次，3 , 2 , 1 , 0i， C甲、乙进球数相等，D甲