《数学史》朱家生版课后题目参考答案第二章.docx

11数本(1)班 郭奇 20110410471、 试从数学科学发展的角度，探讨古希腊把逻辑学中的演绎证明引入数学的理由，并进一步论述数学与逻辑的关系。答：一般认为，数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，逻辑是研究思维形式及其规律和方法的一门科学，但它们都完全撇开其内容，仅仅从形式方面加以研究，因而均具有高度的抽象性，所以在分类上它们同属于形式科学。同时，数学和逻辑的应用都十分广泛，往往成为研究其它科学的工具，因此常常同被人们称为工具性科学。围绕逻辑与数学的关系讨论下去，曾经形成三种意见逻辑主义、形式主义和直觉主义。其中逻辑主义、直觉主义，过多强调了数学和逻辑的同一性，而忽视了数学与逻辑的差异性。因此，认识数学和逻辑的关系，在于把握二者关系的辩证性同一、差异又互补。研究中国传统数学中逻辑思想与方法的必要性一直以来，不论是在逻辑史学界，还是在数学史学界，对于中国传统数学中逻辑思想与方法的研究没有得到应有的重视。但从下面我们简单论述来看，加强这方面的研究却具有显明的必要性。一、从逻辑与数学的关系看数学与逻辑的研究对象虽各不相同，但它们的性质、特点却有很多共同和类似的地方，正因为如此，才使得它们关系十分密切，在内容和方法上可以互相运用和相互渗透。一般认为，数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，逻辑是研究思维形式及其规律和方法的一门科学，但它们都完全撇开其内容，仅仅从形式方面加以研究，因而均具有高度的抽象性，所以在分类上它们同属于形式科学。同时，数学和逻辑的应用都十分广泛，往往成为研究其它科学的工具，因此常常同被人们称为工具性科学。围绕逻辑与数学的关系讨论下去，曾经形成三种意见逻辑主义、形式主义和直觉主义。其中逻辑主义、直觉主义，过多强调了数学和逻辑的同一性，而忽视了数学与逻辑的差异性。因此，认识数学和逻辑的关系，在于把握二者关系的辩证性同一、差异又互补。首先，肯定数学和逻辑的同一性。这是因为：(1)数学和逻辑都是高度抽象的学科，数学是研究数量的形式结构的，逻辑是研究思维的形式结构的，形式结构都是高度抽象的，是抽象结构，它们的定义、定理、原理、法则等的正确性均不涉及各种事物具体内容；(2)数学和逻辑都讲严格性，数学只有具有推理论证的严密性和结论的确定性或可靠性才成其为科学，逻辑也只有当它的推理论证严格而公理系统化时才形成科学；(3)数学和逻辑都具有广泛的应用性，数学的应用自不待言，对逻辑而言可以肯定地说哪里有思维哪里就要逻辑，一切科学都在应用逻辑。其次，数学与逻辑的差异性也是明显的。一方面，数学和逻辑的研究对象不同，数学的研究对象是一切事物的数与量的属性，而逻辑学的研究对象是思维的形式及规律；另一方面，数学和逻辑的任务和目标不相同，数学的主要目标和任务是揭示客观事物的量和数的规律性，而逻辑的主要目标和任务却是为了解决思维推理形式的有效性或真值性问题。最后，数学和逻辑二者有很强的互补性。一方面数学可能得益于逻辑。从数学或其某一分支的产生和发展来看，它都是人对客观世界中抽象出某一空间形式或数量关系进行研究的成果。在其开始阶段，需要有一个有关经验材料的积累过程；进人提炼整理阶段，需要有一个组织和演绎的过程，最后才形成一个系统。无疑，在整个过程中都需要运用逻辑(开始阶段运用归纳逻辑多一些，在整理阶段则应用演绎逻辑多一些)，特别是由于数学是一门形式(或演绎)科学，它的结论的正确性不能建立在实验之上，能依赖于逻辑的推理证明，这是因为逻辑也是一间形式科学，其规则是普遍有效的，所以在应用中就能保证数学结论的正确性。数学一旦形成一个系统时(运用公理方法)，它就由两部分构成，一是原始概念与公理，另一是定义和推理的规则，然后由原始概念依据定义规则逐次建立起其它的概念(所谓派生概念)，及由公理出发，借助于逻辑推理逐次得到进一步的结论(定理)，最后组成一个有机的整体。这里运用逻辑的规则和方法是它显着的特点，体现着它的结论的确定性和逻辑的严谨性。由此可以看出，逻辑对于数学来说确是十分重要的，如果离开了逻辑，就将成为一些经验材料的堆砌，也不可能成为一门科学。数学是高度抽象的学科，它的公式，定理、法则、原则等的正确性不可能由具体实验和经验实践来证明，只能从逻辑上加以严格演绎论证才被确认。如果没有逻辑，数学的大厦就无法建造，至少以说不能建构系统的公理化的演绎的数学科学，即现今意义上的数学是根本不可能存在的。另一方面，逻辑的发展也要依靠数学的推动。很明显数理逻辑的诞生和发展是离不开数学方法应用的，当今逻辑学的发展更是需要站在相当的数学基础之上，离开了数学方法，当今逻辑学的最先发展就不可能实现，如果说传统形式逻辑向数理逻辑发展依靠的是数学方法的应用，那么当今或今后逻辑学的发展与进步也必须以广泛的数学方法应用为基础。总之，数学与逻辑的发展是密切相关的，它们相互影响互相推进，数学发展影响和推进了逻辑的前进，反过来逻辑发展又影响和推动了数学的进步当然，上面的论述，并不是说我们对于历史文化的演进过程中逻辑与数学或者数学与逻辑的关系就是十分明晰的了，相反，我们对于历史的逻辑与历史的数学之间的关系一直没有清晰的认识，甚至于是十分模糊的，特别在我国的情况。因此，挖掘和梳理中国传统数学中逻辑内容，达到厘清中国传统数学与中国古代逻辑的关系具有十分重要的理论意义和指导现实的意义。 2、古典时期的希腊学派对数学科学的发展最重要的贡献有哪些？并通过对资料的分析，论述团队协作对数学发展的重要性。 答：有爱奥尼亚学派的演绎证明，毕达哥拉斯学派的“万物皆数”芝诺悖论与巧辩学派，芝诺关于运动的三个悖论，巧辩学派在芝诺的那些悖论让古希腊人伤透脑筋的时候，提出了三大著名作图问题。柏拉图学派，柏拉图学派把德谟克利特的原子论和毕达哥拉斯的数学成就等结合起来，提出了几何学的原子说。3、 毕达哥拉斯学派是怎样引起第一次数学危机的？他们为什么要对这次数学危机采取回避的态度？这种态度对数学发展有什么重要的影响？答：毕达哥拉斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。他们知道满足直角三角形三边长的一般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达。这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数比，所以不可公度量的发现引起第一次数学危机。这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。这表明，几何学的某些真理与算数无关，几何量不能完全出整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战，所以，毕达哥拉斯学派对数学危机采取回避的态度。同时这也反应出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这是数学思想上一次巨革命，这也是第一次数学危机的自然产物。 4、希腊数学学派的数学观各有什么相同与不同的地方，它们对数学以及整个科学的发展有什么影响？答：在公元前6世纪公元前3世纪期间，先后出现了许多数学学派，其中最有影响的有爱奥尼亚学派、毕达哥拉斯学派、巧辩学派和柏拉图学派。1、爱奥尼亚学派，享有“希腊科学之父”盛誉的泰勒斯（公元前636公元前546）在这里创立了古希腊历史上的第一个数学学派爱奥尼亚学派。泰勒斯是一个精明的商人，青壮年时代，他依靠自己的聪明才智，在商场上积累了足够的财富，使他的后半生能够从事游历和研究。泰勒斯对数学科学发展的贡献不仅在于他发现一些定理，更重要的是泰勒斯对它们提供了某种逻辑推理。从泰勒斯开始，人们已不仅仅利用直观和实验来寻求数学结论了。泰勒斯已经将逻辑学中的演绎推理引入了数学，奠定了演绎数学的基础，这使得他获得了第一位数学家和论证几何学家鼻祖的美誉。泰勒斯曾用全等三角形的知识计算出海船到海岸的距离，因此他被西方学者称为“测量学的鼻祖”。2、毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯是古希腊哲学家、数学家、天文学家和音乐理论家，出身于爱琴海中的萨摩斯海。在学术方面，这个学派主要致力于哲学和数学的研究。相传希腊文中“哲学”和“数学”这两个词就是由毕达哥拉斯学派创造的。尽管人们将许多几何学的成就归功于毕达哥拉斯学派，但这个学派的基本信条却是“万物皆数”。按照“万物皆数”的观点，毕达哥拉斯学派相信：任何量都可以表示成两个整数之比（即某个有理量）。（18）这在几何上相当于对于任何两条给定的线段，总能找到第三条线段作为单位线段，将所给定的两条线段划分为整数段。他们称这样的两条线段为“可公度量”，既有公共的度量单位。 3、芝诺悖论与巧辩学派，毕达哥拉斯学派发现的不可公度量向希腊数学提出了一个难题，这就是如何处理离散与连续、有限与无限的关系。芝诺关于运动的三个悖论是：（1）二分说：物体运动是不存在的；（2）阿基里斯追龟说：阿基里斯是古希腊神话中的“神行太保”，却永远追不上乌龟；（3）飞箭静止说：飞箭在飞行中的某一瞬间总是停留在某一确定的位置上，他此时是不动的，因此说飞箭实际上是静止的。芝诺的悖论在当时是十分困难的，因为他的问题已经涉及到对于当时的希腊数学家而言还很模糊的无限与连续的概念。更重要的是，人们明知它的悖论是不符合常理的，却又不能驳倒他，这就促使人们开始思考一个理论能否自圆其说的问题。 巧辩学派创立、活动于雅典。这个学派中聚集了各方面的学者大师，如文法、修辞、辩证法、人文，以及几何、天文和哲学方面的学者。巧辩学派研究的主要目标之一是用数学来讨论宇宙的运转。巧辩学派的名字与著名的尺规作图不能问题紧密地联系在一起的。巧辩学派在芝诺的那些悖论让古希腊人伤透脑筋的时候，提出了三大著名作图问题，又让古希腊人陷入了困惑。所谓三大尺规作图不能问题是指，只允许用圆规和直尺作一正方形，使其与给定的圆面积相等；给定立方体的一边，求作另一立方体之边，是后者体积两倍于前者体积；三等分任一已知角。4、柏拉图学派，柏拉图是古希腊哲学家和教育家，出生于雅典的贵族家庭。柏拉图学派把德谟克利特的原子论和毕达哥拉斯的数学成就等结合起来，提出了几何学的原子说。柏拉图学派设想物质世界的本原不是土、气、水和火，而是两种直角三角形，即正方形之半与等腰三角形之半。因为这两种图形是最完美的图形，它们可以无限分下去。因此，神就用它们构成4种正多面体的界面：火微粒是正四面体，圡微粒是立方体，气微粒是正八面体，水微粒是正二十面体；最初一切是混乱的，后来它们才被安排好，从而形成了宇宙。 5、 希腊数学的鼎盛时期为什么会出现在亚历山大时期？试论述数学科学发展与社会发展的关系。答：1）亚历山大师从亚里士多德，文化修养很高，一般有文化的皇帝都重视文化的传播和 教育 2）亚历山大东征促使东西方文化和技术的交流，当然就包括数学 3）生产力的迅速发展是推动数学进步的决定力量4）罗马征服地中海后，禁止数学的教育与传播；基督教的兴起也对自然科学起到了极 大地抑制作用！ 6、欧几里得几何原本对数学以及整个科学的发展有什么重要影响？其重要影响的成就有哪些？ 答：欧几里得首先收集、整理已有的数学成果，以命题的形式作出表述，完善前人的各种定理并给于重新证明，使其达到无懈可击的地步。然后，他做出了自己的伟大创造：对定义进行筛选，选择出具有重大意义的公理，逻辑地、严密地按演绎方法组织命题及其证明，最后形成了具有公理化结构和严密逻辑体系的几何原本。前六卷相当于平面几何内容，第一卷首先用23个定义给出了点、线、面、圆以及平行线等原始概念，接着提出了5个公设和5个公理。值得指出的是，由于几何原本中第5公设所阐述的事实不像其他4个公设那样明显，人们怀疑它可能由前4条公设推出，（既不独立于前4条公设）。因此，在几何原本问世以后的2000多年中，许多人都曾试图由其它的公设给出这一公设的证明。直到19世纪初由于罗巴切夫斯基、高斯、波尔约等人的工作导致了“非欧几何”的诞生，人们才知道该公设是不能由其它公设推导出来的，从而证明了这5个公设是相互独立的。同时，随着非欧几何的诞生，人们关于几何的认识也从欧几里得的框架中解放出来，使得几何学得到迅速的发展。7、 阿基米德是如何让用力学方法发现和证明球体积计算公式的？试比较他的方法与其他民族，如中国古代数学家的球体积计算公式的推导方法的异同。答：阿基米德推导球体积公式的思想方法是先利用力学中的杠杆平衡原理得出球体积公式,然后运用几何方法加以论证，巧妙地将他敏锐的洞察力、理论知识和实践，以及他的渊博知识联系在一起，最终求得球体体积。而第二种方法是中国古代数学家祖冲之的儿子祖暅利用祖氏定理幂势既同，则积不容异和出入相补原理方法，在牟合方盖的基础上，巧妙地求得出了球体体积。尽管两种求解方法极不相同，但我们可以肯定是：阿基米德给予我们的方法、思想和祖暅原理给予我们的方法、思想均有相同的启示：要注重基础理论知识的学习；学会等价联系和转化；勇于发明、创新；注重学习兴趣、思想、方法的培养；培养敏锐的观察力。 8、圆锥曲线的概念是如何提出的？古希腊的数学家们又是如何得到圆锥曲线的？ 答：阿波罗尼斯首创了通过改变截面的角度，从一对对顶圆锥得到三种圆锥曲线的方法，并依据曲线的做法推导出它们的特征关系式，进而导出了圆锥曲线的弦、直径、共轭直径、切线等的定义和性质，甚至还得到类似于在坐标变换下曲线性质的不变性的结论。9、 希腊数学最重要的成就有哪些?他们留给了后人哪些问题？这些问题为什么在希腊人的手里无法解决？答：1）主要成就包括：泰勒斯领导的爱奥尼亚学派开了希腊命题论证之先河，并证明了四 条定理和”泰勒斯定理”，毕达哥拉斯学派，证明了毕达哥拉斯定理，即勾股定理，并 讨论了许多数论的性质，发现了不可公度量，欧几里得的原本是数学史上的一座 丰碑，最大的功绩就在于数学中的演绎范式的确立，即公理化思想，阿基米德用穷竭 法计算圆的周长和面积公式，阿波罗里斯创立了完美的圆锥曲线理论，丢番图的算 术是希腊算数与代数成就的最高标志等。 2）留下的问题：任意角三等分、倍立方问题、化圆为方问题。 3）因为这些问题经证明是不可能解决的问题，在这一时期，定量研究有了很大的进展， 但并没有使偏重几何的方向发生逆转，算数和代数中，演绎室的逻辑结构始终没有建 立起来，三角学的研究尚未摆脱天文学，这就决定了对于数学的研究仍然是直观、经 验的，其发展是缓慢的，从而使几何的发展步履艰难。 10、收集阅读相关资料，并对其进行整理，论述欧几里得和阿基米德的科学精神和爱国主义情操。 答：欧几里得出生于雅典，曾受教于柏拉图学院。雅典衰落后，应托勒密国王的邀请，来亚历山大城主持数学学派的工作。欧几里得是一位温和仁慈的蔼然长者，学生们都很尊敬他。他严谨治学，不图名利，据说当托勒密国王向他询问学习几何知识的捷径时，他答道：“几何无王者之道”。当有一位学生刚学完第一个几何命题便问欧几里得学了几何后将得到什么好处时，欧几里得则幽默地对侍者说：“拿一个便士给这位先生，因为他总要从他学习的东西中获取好处的。”欧几里得是一位勤奋的学者，他以满腔热情将以雅典为代表的希腊数学成果，运用欧多克索斯曾经部分采用过的严密的逻辑方法重新编纂成书。欧几里得首先收集、整理已有的数学成果，以命题的形式作出表述，完善前人的各种定理并给于重新证明，使其达到无懈可击的地步。然后，他做出了自己的伟大创造：对定义进行筛选，选择出具有重大意义的公理，逻辑地、严密地按演绎方法组织命题及其证明，最后形成了具有公理化结构和严密逻辑体系的几何原本。它是在公元前300年左右完成的。欧几里得还写了许多其他出色的著作，他对天文学和光学都有研究，但在纯数学方面保留下来的仅有两本：（1）数据这是在几何原本基础上进一步研究几何学的一本问题集，共95个问题；（2）论图形的分割，研究将图形分割成比例的问题，共有36个问题。 阿基米德出生于意大利西西里岛的叙拉古。