2013高考数学复习__数列模拟题.doc

数列高考及模拟题1设数列的前项和为，满足，且，成等差数列。（1） 求的值；（2） 求数列的通项公式。（3） 证明：对一切正整数，有.【解答】（1）；（2）；（3）当时又因为所以，所以，所以，2 已知数列的各项均为正数，记，（）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式.（）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列.【解析】解（）对任意,三个数是等差数列，所以即亦即故数列是首项为，公差为的等差数列.于是（）（）必要性：若数列是公比为的等比数列，则对任意，有由知，均大于，于是即，所以三个数组成公比为的等比数列.（）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则，于是得即由有即，从而.因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意nN，三个数组成公比为的等比数列.【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.3、已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立.（）求，的值；（）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值.解析取n=1,得 取n=2,得 又-，得 （1）若a2=0, 由知a1=0, (2)若a2, 由得：5分（2）当a10时,由（I）知，当 , (2+)an-1=S2+Sn-1所以，an=所以令所以，数列bn是以为公差，且单调递减的等差数列.则 b1b2b3b7=当n8时，bnb8=所以，n=7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为T7=12分点评本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.4 函数。定义数列如下：是过两点的直线与轴交点的横坐标。（1）证明：；（2）求数列的通项公式。解：（1）为，故点在函数的图像上，故由所给出的两点，可知，直线斜率一定存在。故有直线的直线方程为，令，可求得所以下面用数学归纳法证明当时，满足假设时，成立，则当时，由即也成立综上可知对任意正整数恒成立。下面证明由由，故有即综上可知恒成立。（2）由得到该数列的一个特征方程即，解得或 两式相除可得,而故数列是以为首项以为公比的等比数列,故。【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用。先从函数入手，表示直线方程，从而得到交点坐标，再运用数学归纳法进行证明，根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通基。【点评】以函数为背景，引出点的坐标，并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式。既考查了直线方程，又考查了函数解析式，以及不等式的证明，试题比较综合，有一定的难度。做这类试题那就是根据已知条件，一步一步的翻译为代数式，化简得到要找的关系式即可。5 设数列的前项和满足，其中。 （I）求证：是首项为1的等比数列；（II） 若，求证：，并给出等号成立的充要条件。【解析】（1）证明：由，得，即。 因，故，得， 又由题设条件知， 两式相减得，即， 由，知，因此 综上，对所有成立，从而是首项为1，公比为的等比数列。（2） 当或时，显然，等号成立。 设，且，由（1）知，所以要证的不等式化为：即证：当时，上面不等式的等号成立。当时，与，（）同为负；当时， 与，（）同为正； 因此当且时，总有 （）（）0,即，（）。上面不等式对从1到求和得，由此得综上，当且时，有，当且仅当或时等号成立。6（本小题满分12分）已知等差数列an前三项的和为-3，前三项的积为8.（1）求等差数列an的通项公式；（2）若a2,a3,a1成等比数列，求数列的前n项的和。7已知各项均为正数的两个数列和满足：，（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，且是等比数列，求和的值【答案】解：（1），。 。 。 数列是以1 为公差的等差数列。（2），。 。（） 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 若则，当时，与（）矛盾。 若则，当时，与（）矛盾。 综上所述，。，。 又，是公比是的等比数列。 若，则，于是。 又由即，得。 中至少有两项相同，与矛盾。 。 。【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。 （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。7（本小题满分12分）已知数列an的前n项和,且Sn的最大值为8.（1）确定常数k，求an；（2）求数列的前n项和Tn。解: （1）当时，取最大值，即，故，从而，又，所以（1） 因为，所以8在等差数列an中，a3+a4+a5=84，a9=73.（）求数列an的通项公式；（）对任意mN，将数列an中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为bm，求数列bm的前m项和Sm。解析：（）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，则，于是，即.（）对任意mN，则，即，而，由题意可知，于是，即.9对于数集，其中，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P. 例如具有性质P.(1)若x2，且，求x的值；(4分)(2)若X具有性质P，求证：1X，且当xn1时，x1=1；(6分)(3)若X具有性质P，且x1=1，x2=q(q为常数)，求有穷数列的通项公式.(8分).解：对于数集，其中，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P. 例如具有性质P.(1)若x2，且，求x的值；(4分)(2)若X具有性质P，求证：1X，且当xn1时，x1=1；(6分)(3)若X具有性质P，且x1=1，x2=q(q为常数)，求有穷数列的通项公式.(8分)解(1)选取，Y中与垂直的元素必有形式. 2分所以x=2b，从而x=4. 4分(2)证明：取.设满足.由得，所以、异号.因为1是X中唯一的负数，所以、中之一为1，另一为1，故1X. 7分假设，其中，则.选取，并设满足，即，则、异号，从而、之中恰有一个为1.若=1，则，矛盾；若=1，则，矛盾.所以x1=1. 10分(3)解法一猜测，i=1, 2, , n. 12分记，k=2, 3, , n.先证明：若具有性质P，则也具有性质P.任取，、.当、中出现1时，显然有满足；当且时，、1.因为具有性质P，所以有，、，使得，从而和中有一个是1，不妨设=1.假设且，则.由，得，与矛盾.所以.从而也具有性质P. 15分现用数学归纳法证明：，i=1, 2, , n.当n=2时，结论显然成立；假设n=k时，有性质P，则，i=1, 2, , k；当n=k+1时，若有性质P，则也有性质P，所以.取，并设满足，即.由此可得s与t中有且只有一个为1.若，则，所以，这不可能；所以，又，所以.综上所述，i=1, 2, , n. 18分解法二设，则等价于.记，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称. 14分注意到1是X中的唯一负数，共有n1个数，所以也只有n1个数.由于，已有n1个数，对以下三角数阵 注意到，所以，从而数列的通项公式为，k=1, 2, , n. 18分10.（本小题满分12分）设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列（1）求数列的公比；（2）证明：对任意，成等差数列【解析】（1）设数列的公比为（）。由成等差数列，得，即。由得，解得，（舍去），所以。（2）证法一：对任意， ，所以，对任意，成等差数列。证法二：对任意， ，因此，对任意，成等差数列11 各项为正数的数列的前n项和为，且满足：（1）求；（2）设函数求数列解：（1）由得，当n2时，；由化简得：，又数列各项为正数，当n2时，故数列成等差数列，公差为2，又，解得；5分（2）由分段函数 可以得到：； 7分当n3，时，12设等差数列公差为(),等比数列公比为,若分别为 的前三项,且.（1）求数列,的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的前项和.解:(1).设等差数列的首项为,则由成等比数列可得:,化简得:, 4分故的前三项为:,即:,又,6分故, 7分(2).当时, 当时,故.9分即: .故 . .由-得: 13分故: .14分13 已知数列an满足：（1）证明数列是等差数列，并求an的通项公式；（2）数列bn满足：，求bn的前n项和Sn解：（1）因为所以所以是首项为3，公差为3的等差数列。 所以，所以 ； （）由已知 6 得 9所以 1214 己知函数 (1)求Sn；(II)设且bnbn-1对所有正整数n恒成立,求a的取值范围.15已知数列中，且点在直线上 (1)求数列的通项公式; (2)求函数的最小值； (3)设表示数列的前项和。试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？ 若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。解：（1）由点P在直线上，即，-2分且，数列是以1为首项，1为公差的等差数列 ，同样满足，所以-4分 （2） -6分 所以是单调递增，故的最小值是-10分（3），可得，-12分 ， ，n2-故存在关于n的整式g（x）=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立-16分16 设函数，数列满足（1）若，试比较与的大小；（2）若，求证：对任意恒成立解：（1）时，所以，所以，所以。4分（2）用数学归纳证明当时，对任意恒成立，时，结论成立；设时，则当时，即，6分当时，即是上的单调递增增函数，所以，即即时，结论成立，综上可得，当时，对任意恒成立，10分17 已知数列，定义其平均数是，.（）若数列的平均数，求；（）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，其平均数为，求证：.解：（I）由题意得，则当时有 来源: /相减得 ，当时也适合 （）因为，其平均数 则，故 令， 则 相减得，即 ，故 18 已知曲线，从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点，设.。求数列的通项公式； 记，数列的前项和为，试比较与的大小；记，数列的前项和为，试证明：。19设函数，且存在函数，满足（）证明：存在函数满足；（）设证明：解：（）令，代入化简得 由于等式对所有成立，可知解得 令，代入，化简得所以存在使得 （）令注意到，由（）知， 化为可知从而统一写为从而有 20 .已知函数.令.(I)求数列的通项公式；(II)证明.解 由(I)方法一：先求出，猜想.用数学归纳法证明.当n = 1显然成立；假设n = k成立，即，则，得证. (II)方法一：证明.事实上，.我们注意到，（贝努利（Bernoulli）不等式的一般形式：，） 于是21 记函数证明：当是偶数时，方程没有实根；当是奇数时，方程有唯一的实根，且。证明：用